Менеджмент.Финансовая математика

Глава 16

СТРАХОВЫЕ АННУИТЕТЫ

§16.1. Финансовая эквивалентность

встраховании

Впреобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения методов количественного анализа явля­ ются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инве­ стиционных проектов возникает необходимость в использова­ нии условных рент (contingent annuity), в которых важную роль играют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с та­ кими рентами, причем для конкретности ограничимся страхо­ ванием. Выплата члена ренты в страховании зависит от насту­ пления страхового события. Назовем такие ренты страховыми аннуитетами. Заранее число платежей в страховых аннуитетах,

ачасто и их срок, остаются неизвестными.

Согласно договору страхования страхователь уплачивает впе­ ред страховщику некоторую сумму — премию {premium). В свою очередь он (или иной выгодоприобретатель) имеет право полу­ чить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления этого события q заранее извест­ на (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то тео­ ретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фак­ тора времени), премия Р определяется как

Р= Sq.

Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип финан­ совой эквивалентности обязательств страхователя и страховщи­ ка. Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип при расчете страховой нетто-премии, под которой понимается тео­ ретическая цена страхования.

331

На практике премия, которая поступает страховой организа­ ции, обычно превышает величину нетто-премии, так как вклю­ чает помимо нетто-премии и так называемую нагрузку (loading), последняя охватывает все расходы по ведению дела и некото­ рую прибыль страховой организации. Определение брутто-пре- мии (нетто-премия плюс нагрузка) является чисто арифметиче­ ской задачей, поэтому далее речь пойдет только о нетто-пре­ мии.

Пусть Р — размер премии, qn — вероятность страхового со­ бытия (например, смерть застрахованного через п лет после на­ чала страхования). Если страховое событие произойдет на пер­ вом году страхования, то страховщик получит сумму Р (пусть премия выплачивается в начале года), если же это событие на­ ступит во втором году, то сумма премий равна 2Р и т.д. Мате­ матическое ожидание такого ряда премий составит:

Pq{ + 2Pq2 + ... + пPqn.

Полученная величина хотя и обобщает все взносы застрахо­ ванного с учетом вероятностей их выплат, однако при сумми­ ровании соответствующих величин не принимается во внима­ ние, что премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (с помощью дисконтирования сумм пла­ тежей) находим математическое ожидание современной стои­ мости (актуарная стоимость) взносов:

Е(А) = P[qt + (1 + v)q2 + (1 + v + v2)^ + ... +

+ (1 + v + ... + v"-1)^!,

где v — дисконтный множитель по ставке /.

Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sqv во втором году Sq2 и т.д. Математи­ ческое ожидание с учетом фактора времени (актуарная стои­ мость) выплат, очевидно, можно определить как

E(S) = S(v<7, + v2^ + ... + v"qn).

Исходя из принципа эквивалентности обязательств страхов­ щика и страхователя, теперь можно написать равенство

332

E(S) = E(A),

которое позволяет найти искомое значение нетто-премии Р. Та­ ков в общем виде теоретический подход к методу расчета нет­ то-премии, принятый в личном страховании.

Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятности наступления страхового случая постоянны, то актуарная стоимость премий за п лет составит

Е(А) = P[q + (1 + v)q + ... + (1 + v + ... + v""1)?] = PqK,

В свою очередь актуарная стоимость выплат страховых сумм находится как

E ( s ) - s q 2 v ‘.

Из равенства актуарных стоимостей взносов и выплат нахо­ дим искомый размер нетто-премии.

В практике страховых, или как их часто называют, актуар­ ных расчетов разработаны специальные приемы формирования упомянутых выше потоков платежей (страховых аннуитетов) и расчета их актуарных стоимостей.

До обсуждения проблем формирования страховых аннуите­ тов, связанных с жизнью людей (life annuity) и их использова­ ния для расчетов премий и страховых резервов необходимо оз­ накомиться с методикой определения необходимых вероятно­ стей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых су­ щественно упрощается решение соответствующих задач. Речь пойдет о таблицах смертности и коммутационных функциях.

§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности

Таблицы смертности. Для осуществления актуарных расчетов, в том числе расчетов стоимостей страховых аннуитетов, необ­ ходимы исходные данные, характеризующие совокупность за­ страхованных по полу и возрасту, а также система нормативных демографических показателей, отражающих статистические за­

333

кономерности дожития до того или иного возраста. Последние содержатся в таблицах смертности (mortality tables).

Таблица смертности представляет собой числовую модель про­ цесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокуп­ ности людей. Такая таблица показывает, как последовательно с увеличением возраста уменьшается эта совокупность, достигая нуля сразу после предельного возраста со. Она является обобще­ нием данных демографической статистики за некоторый пери­ од времени.

В России таблицы смертности разрабатываются статистиче­ скими органами для страны в целом, а также для крупных эконо­ мических районов и областей, как для всего, так и отдельно для городского и сельского населения раздельно для каждого пола1.

Прежде чем приступить к описанию таблицы смертности и актуарных методов анализа необходимо сказать несколько слов о применяемых в актуарных расчетах обозначениях. Актуарная символика в личном страховании сложна, своеобразна и с этим приходится мириться, так как обозначения унифицированы на международном уровне. Одна из отличительных особенностей этой символики — множество нижних и верхних индексов, ко­ торые приписываются как справа, так и слева от основной пе­ ременной. Например, ^qx, Л и т.д.

Основной показатель таблицы смертности — число людей 1Х в возрасте ровно х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности /0, обычно равной 100 тыс. человек. Заметим, что и начальный возраст и первоначальное количество людей в таб­ лице могут быть любыми — выбор того или иного начального возраста не влияет на результаты актуарных расчетов. Для акту­ арных расчетов применяют полные таблицы смертности, в ко­ торых возраст показан с интервалом в 1 год.

Величины 1Х(кроме /0) определяются расчетным путем на ос­ нове заданных вероятностей смерти (qx), или, что реже, коли­ чества умерших (dx). В современных таблицах смертности ис­ ходным показателем обычно служит вероятность смерти, т.е до­ ля умерших в возрасте от х до х + 1 лет из числа доживших до возраста х лет. Указанные вероятности получают на основе дан­ ных статистики населения с последующим их усреднением и сглаживанием.

1 Подробные методики разработки таблиц смертности, включая приемы вы­ равнивания данных, рассматриваются в курсах демографии. Некоторые перво­ начальные сведения по данной проблеме можно получить в “Статистическом словаре”. М.: Финансы и статистика, 1989.

334

Помимо показателей 1Хтаблица смертности содержит число умерших за год в каждой возрастной группе (dx). Никакие иные факторы выбытия, кроме повозрастных вероятностей умереть, при разработке таблицы во внимание не принимаются.

В качестве иллюстрации приведем фрагмент таблицы смерт­ ности для мужчин, в которой начальный возраст — 18 лет1.

	Фрагмент таблицы смертности		Таблица 16.J
X	'/		*;
18	100 000	0,00149	149
19	99 851	0,00173	173
20	99 678	0,00196	195
30	96 991	0,00381	370
35	94 951	0,00487	462
40	92 327	0,00708	654
50	83 640	0,01409	1178
60	68 505	0,02871	1967
70	45 654	0,05691	2598
80	19 760	0,11672	2306

* Округлено до целых чисел.

Показанные в таблице величины 1Хи dx сами по себе не име­ ют смысла. Они приобретают его лишь при сравнении в рамках таблицы смертности.

Показатели таблицы смертности связаны очевидными соот­ ношениями2:

1Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12). Показатели таб­ лицы получены на основе вероятностей qx из таблицы смертности населения

СССР за 1984—1985 гг. (журнал “Вестник статистики”. 1987, № 3).

2 В таблицах, непосредственно применяемых в страховых расчетах, значе­ ния 1Х и dx для повышения точности расчетов, особенно в старших возрастах, не округляют до целых чисел.

335

(t+i

(с

dx

ix х <7х;

Таблица смертности, фрагмент которой приведен выше, яв­ ляется минимальной по набору показателей. Она достаточна для простых видов личного страхования — страхования на до­ житие и страхования жизни. На практике применяют и более полные таблицы. В частности, в групповом пенсионном и ме­ дицинском страховании применяют таблицы выбытия (decre­ ment tables), в которых помимо смертности учитываются и дру­ гие причины сокращения числа участников страхования.

Страховые вероятности. На основе данных таблицы смертно­ сти нетрудно получить систему вероятностей дожития, необхо­ димую для расчета соответствующих страховых показателей. Рассмотрим наиболее важные из таких вероятностей.

Вероятность прожить от возраста х до х + я:

Л - ¥ ■

('«•!>

Вероятность прожить еще один год после возраста х лет:

П Р И М Е Р 1 6 .1 . Вероятность мужчине в возрасте 30 лет прожить еще 10 лет составит1:

/до

92 3 2 7

“>Р” ~ ^ > ш l e i S T =

По данным таблицы смертности находят и вероятности смерти в определенных возрастах. Например, вероятность уме­ реть в возрасте от х до х + л:

1Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности на­ селения СССР 1984—1985 гг.

336

/	/	1 x+w-1	(16.2)
		I d j .
	*x	*дс у	-д с

П Р И М Е Р 1 6 .2 . Вероятность для мужчины в возрасте 30 лет уме­ реть в течение 10 следующих лет определяется как

10^30 = ^ " ю^зо = ^ ” 0,9 519 1 = 0,04809.

Вероятность умереть через т лет (на протяжении года т + 1) для лица в возрасте х лет составит:

—	(с+т	^х+т	^х+т	1ч
niflx ~ тРх х Чх+т “	1	Х /	— /	(16.3)
	дс	х+т	х

В свою очередь вероятность для лица в возрасте х лет уме­ реть в возрастном интервале от х + т до х + т + п лет опреде­ лим следующим путем:

^х+т	Ь т + п	hс+т	^х+т	/	^х+т+н, , ,
фЧх -----------	7	= “ 7“	х --------		(,6-4)
	дс		дс	lx+	т

Из последнего выражения вытекает, что

nipflx ~ пРх х tflx+m'

Иначе говоря, искомая вероятность равна произведению ве­ роятности дожить до возраста х + т и вероятности умереть в следующие п лет.

П Р И М Е Р 1 6 .3 . Найдем для мужчины в возрасте 30 лет вероят­ ность умереть в течение двух лет после достижения им 33 лет. Находим

	Узз " ;з5		95 821 - 94 951	Л плвп,
3|2Q30"	'зо	”	96 991	" ° ’00897-

В некоторых актуарных расчетах (например, в пенсионном страховании) необходимы вероятности дожития супружеских пар. Эти вероятности также рассчитываются по таблицам смертности. Пусть речь идет о супругах в возрасте х и у лет и необходимо оценить вероятности прожить еще п лет для каждо­

337

го из них. Обозначим эти вероятности как прх, пру. Определим их следующим образом:

_	/х + л		_ ^у+п
ПРх ~	I ’	пРу	I ’
	X		у

где 1у — числа доживших до соответствующих возрастов (бе­ рутся из таблиц смертности для мужчин и женщин).

В свою очередь вероятности умереть для каждого из супру­ гов составят:

tflx

^

»Рх>

п Ь ~ 1

п Р у

Рассчитаем еще две вероятности. Однако предварительно примем две рабочие гипотезы:

—оба супруга достигают возрастов х и у в один день;

—смерть одного супруга — страховое событие, независимое от смерти другого супруга.

Вероятность прожить супругам вместе еще п лет (вероят­ ность “сохранения” супружеской пары) рассчитывается как произведение вероятностей двух независимых событий:

( r +Я	^у+п	(*+/1	*	^у+п		s
пРху = „ Р х * ПРу = —	* 1 =	/	х	/	•	О 6 -5 )
х	у	х			у

В актуарной практике фигурирующие в формуле произве­ дения чисел доживших принято обозначать следующим обра­ зом:

( е х (к ~ И Ьп х V » _ ^ху+п'

Формулу (16.5) теперь можно записать:

с а д

V

Найдем теперь вероятность того, что супруг (заключивший договор страхования в возрасте х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до х + п лет, а супруга, напротив, доживет до у + п лет. Искомая вероятность (обозначим ее как прх \у) равна произведению вероятностей:

338

лЛф’	пЧх х пРу		О	пРх^пРу		пРу пРх х пРу
			и .п		Uху+п.	Об-7)
П Р И М Е Р	1 6 .4 . Пусть возраст супругов 50 и 45 лет. П о таблицам
смертности находим:
для мужчины /со = 83640, / «					= 7 7 0 0 7 ,
для женщины		= 9 6 26 1,			= 94348.
Вероятность того, что оба супруга проживут следующие 5 лет,
составит:			7 7 0 0 7		94348
5050:45 ~	5Р 50 х 5Р 45 ~					~~ 0*92070 х 0 ,9 8 0 13 -
			83640		х 952@1

= 0,9024.

Вероятность того, что супруг не проживет 5 лет, а супруга про­ живет (с м .(16 .7)):

5Pso|45 = <1 ’ 5Pso)sP45 = (1 " 0 ,9 20 7) х 0,98013 = 0 .0 0 77 7 2 .

§16.3. Коммутационные функции

Для сокращения записи страховых аннуитетов и упрощения расчетов применяют так называемые коммутационные функции (commutationsfunctions), или коммутационные числа. Смысл этих чисел трудно, хотя и возможно, содержательно интерпретиро­ вать. Их проще воспринимать как чисто технические, вспомо­ гательные средства.

Стандартные коммутационные функции делятся на две груп­ пы. В основу первых положены числа доживающих до опреде­ ленного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановим­ ся на методике получения наиболее важных в практическом от­ ношении функций. Основными в первой группе являются функции Dx и N x:

Dx = /,v*,	(16.8)
Nx - % D j ,	(16.9)

j-X

где v — дисконтный множитель по сложной ставке /, со — пре­ дельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

339

По определению

N x = N x+l + Dx>

N..= D.,

Внекоторых актуарных расчетах необходимы суммы комму­ тационных чисел Dx для заданных возрастных интервалов. В этих случаях можно воспользоватся коммутационными числами Nx:

к

2)D x*t - ^ * + 1 - ^ + *+ 1- (-1

На практике применяются еще два варианта функции Nx, к которым обращаются тогда, когда платежи производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо с достаточной для прак­ тических расчетов точностью применим следующее выражение:

+Jii j r 4

<|6|0>

Для платежей пренумерандо

N<m) -	N -	~	1 О .	(16.11)
*	х	2т	х

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются Сх и Мх:

Cx = dxvxH,	(16.12)
M x - ^ C j .	(16.13)
j-X

Между коммутационными числами обеих групп существуют

определенные взаимозависимости:
Сх = dxv * ' = (/; -	= lxv*v -	= Dxv - D ^v
Аналогично можно доказать, что
М х =	- А ^	, .

Страховые организации разрабатывают таблицы коммутаци­ онных функций с учетом принятых в них норм доходности.

340