|
Фрагмент таблицы коммутационных чисел1 |
Таблица 16.2 |
|
|
X |
(г |
21 |
Dx |
Nx |
ЛГО* |
с, |
К |
18 |
100 000 |
199 |
244 593 |
254 309 |
28,98 |
1003,6 |
19 |
99 851 |
19 420 |
223 393 |
232 294 |
30,82 |
974,7 |
20 |
99 678 |
17 786 |
203 973 |
212 125 |
31,98 |
943,8 |
30 |
96 991 |
7310 |
80 677 |
84 027 |
25,55 |
648,9 |
35 |
94 951 |
4651 |
49 910 |
52 042 |
20,78 |
530,3 |
40 |
92 327 |
2940 |
30 376 |
31 723 |
19,09 |
431,4 |
50 |
83 640 |
|
1125 |
10 465 |
10 981 |
14,54 |
260,7 |
60 |
68 505 |
|
389 |
3082 |
3261 |
10,25 |
134,7 |
70 |
45 654 |
|
110 |
684 |
734 |
5,72 |
53,1 |
80 |
19 760 |
|
20 |
85 |
95 |
2,14 |
13,0 |
При страховании супружеских пар возникает необходимость в коммутационной функции:
D xy = lxy * v(X+y)n- |
|
0 6 .14) |
Величина 1ху определена при расчете |
|
(см (16.6)). |
Функцию (16.14) можно получить на основе коммутацион |
ных функций Dx, Dy следующим образом: |
|
|
Dxy=Dx xD y x v" ^ ) / 2 = Dx х Dy x |
(1 + |
(16.15) |
В свою очередь |
|
|
|
|
V » ” V |
. х v”w |
w |
' |
|
V . - ° л . * V * V - 1 '^ W |
I - 0 ,+, |
к |
х (1 + |
ц м г и п . |
Поскольку произведения коммутационных чисел имеют большую размерность, то их обычно умножают на 10~3.
1 Подсчитано по таблице смертности населения СССР (см. § 16.2) при ус ловии, что / s 9%. Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12).
П Р И М Е Р 1 6 .5 . Определим коммутационные числа О 50;45 и О 55;50 для супружеской пары примера 16 .4 . Находим:
(х + у) / 2 = (50 + 45) / 2 = 4 7,5 .
Коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 9 % , имеют следующие значения (первая строка — для муж чины, вторая — для женщины):
0 ,,, |
= 112 4 ,8 ; |
055 = |
6 7 3 ,1 ; |
О ^ |
= 19 9 1,9 ; |
0 ^ = |
1268,8. |
Отсюда
Oso.45 = 10-3 х 1 1 2 4 -8 х 1991 -9 х 1.0947'5 = 13 4 308;
D 55.50 = 10‘ 3 х 6 73 ,1 х 1268,8 х 1 ,095+47,5 = 7 8 7 7 0 .
По аналогии с функцией Nx найдем:
§16.4. Стоимость страхового аннуитета
Отправным моментом актуарного анализа является опреде ление стоимости страхового аннуитета. Для записи формул вве дем следующие обозначения для стоимостей годовых аннуите тов постнумерандо:
ах — для немедленного пожизненного аннуитета, ах:{\ — для немедленного ограниченного аннуитета, нрх — для отложенного пожизненного аннуитета, nfxj\ ~ для отложенного ограниченного аннуитета.
Аналогичная символика применяется и для аннуитетов пре нумерандо, однако вместо символа а записывается а.
Пусть лицу, начиная с возраста х лет, пожизненно в конце каждого года выплачивается по 1 рублю (аннуитет пожизнен ный, постнумерандо, немедленный). Тогда
а х = Рх х v + г Р х х v 2 + ••• + * -х Р х х v “ _ Jt =
Умножим числитель и знаменатель каждого слагаемого на Vх. После чего можно применить коммутационные функции Dx и Nx для расчета немедленного, пожизненного аннуитета постну мерандо с ежегодными выплатами :
I,X*J
М _________________ _ N x*\
L x v x
Аналогичным образом определим стоимости других видов аннуитета. Так, для немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо с ежегодной выплатой по 1 руб. имеем:
ах ш\ + px x v + 2px x v2+... + ш. хрх х v“-* -
W-JC |
|
S ' . . , * ”" ' |
N |
j -0_________ |
JZx |
lx x v x |
D.X |
Нетрудно убедиться в том, что |
|
ах = ах + 1 или |
х v = ах. |
Формулы для расчета различных видов годовых аннуитетов приведены в табл. 16.3.
П Р И М Е Р 1 6 .6 . Определим стоимость отложенного на 20 лет, о г раниченного 5 годами аннуитета пренумерацдо для мужчины в возрасте 30 лет. Находим
|
А/so - Л/55 |
|
10465,3 - 5 8 2 6 ,7 |
|
2 0 | « 3 0 :5 1 ~ |
Don |
~ |
7 3 10 ,3 |
" ° ' 63453' |
В табл. 16.3 приведены формулы для годовых аннуитетов. Если платежи выплачиваются т раз в году, то в формулах вме сто Nx следует использовать N£m) или N}m\ Приведем формулы для соответствующих аннуитетов при условии т = 12 .
Для ежемесячных платежей постнумерандо имеем следую щие выражения.
Немедленный пожизненный аннуитет:
|
|
1V(l2) |
N |
11 |
|
|
|
|
йх ж—ft — ш~ 7 Г ~ й ' |
|
|
( 1 6 2 5 > |
|
|
Dx |
Dx |
24 |
|
|
|
Немедленный ограниченный аннуитет: |
|
|
|
JV<‘2>- W(12) Nx - |
Nx+t - Щ й х - |
/>„,) |
(16.26) |
о<|2>____*------- |
________________ 24J------------ |
|
L. |
Я* |
|
|
|
|
Я* |
|
|
|
Отложенный пожизненный аннуитет: |
|
|
|
,(12) |
w(,2) |
|
24 |
|
. |
(16.27) |
------*♦»------------ |
|
|
|
|
Dx |
|
|
Dx |
|
|
|
Отложенный ограниченный аннуитет: |
|
|
|
|
|
|
fj( 12) _ ^ ( 12) |
|
|
|
|
|
^ ( 1 2 ) ш |
х+п_______x+n+t |
т |
|
|
|
«I |
*:'l |
|
Dr |
|
|
|
(16.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
N x *n ~ N x+n+t ~~^7 (А г+п ~ Dx+n+t) |
|
|
|
|
Ж |
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
|
П Р И М Е Р 1 6 .7 . Для |
условий |
примера |
16 .6 , |
но с |
ежемесячными |
выплатами, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M s o - N s s - j j K - P s s ) |
|
|
201 30:51 “ |
|
D30 |
|
|
|
|
10465,3 - |
5 8 26 ,7 - ; J j ( l 12 4 ,8 - 673, l) |
|
|
-------------------- |
|
ТЗЩЗ-------------------- |
|
|
°'е0484‘ |
|
Для ежемесячных выплат постнумерандо находим следую щие соотношения.
Немедленный пожизненный аннуитет:
\ r |
1 1 |
(16.29) |
й('2) , _^*±L . "£±L + I I . |
|
24 |
|
Немедленный ограниченный аннуитет:
уу<'2> -* < '2> 12) в х+|____JC+/+1
(16.30)
^ х +1 - ^x*t*I + 2^_(^JC+I “ Д*+/+|)
ДX
Отложенный на п лет пожизненный аннуитет:
ЛГ(,2) , |
^ +я+1 + ^ Д с+» +1 |
|
»1в<‘ } |
------------- -------------• |
(16-31) |
Отложенный ограниченный (выплаты в течение t лет) аннуи тет:
|
|
лЛ12) |
_ лЛ12* |
|
л |
(1 2 ) |
j c + n + 1 ________J C+ W + / + 1 |
|
пГх:(\ |
|
f) |
(16.32) |
|
|
|
°* |
^ X + n+l ~ |
^ДС+Я+f+l |
24 ( Дс +Л+1 —Дс+я+/+|) |
|
|
|
|
д* |
|
Современные стоимости регулярных потоков платежей (обо значим их, как это принято в финансовой математике, через Ах) определяются элементарно. Если размер годового платежа ра вен R, то для немедленного пожизненного потока годовых пла тежей пренумерандо имеем Ах = R х ах, а для аналогичного, но отложенного на п лет аннуитета, = R х £ х и т.д.
П Р И М Е Р 1 6 .8 . Рассчитаем актуарные стоимости нескольких ва
риантов аннуитетов для сорокалетнего мужчины. Платежи ежегод ные и ежемесячные, выплаты — пожизненные и ограниченнные (срок — 10 лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма го дового платежа 1000 руб. Полученные величины приведены в табл. 16.4.
|
|
|
|
Таблица 16А |
Вид |
Постнумерандо |
Пренумерандо |
потока |
годовые |
ежемесячн. |
годовые |
ежемесячн. |
Немедл. Пожизнен. |
9334 |
9792 |
10 334 |
9875 |
Огранич. |
6156 |
6415 |
6773 |
6490 |
Отложен. Пожизнен. |
5529 |
5788 |
6153 |
5867 |
Огранич. |
3776 |
3941 |
4 171 |
3990 |
Выделим четыре фактора, определяющих стоимость страхо вого аннуитета:
—демографический фактор, отражаемый таблицей смертно сти,
—процентная ставка (установленная норма доходности),
—длительность отсрочки выплат,
—срок аннуитета.
Кратко остановимся на указанных факторах. Ясно, что чем выше показатели смертности, тем ниже актуарная стоимость аннуитета. Отсюда следует, что при сложившейся в России де мографической ситуации стоимость аннуитета для женщины будет заметно выше, чем для мужчины при всех прочих равных условиях. В табл. 16.S приведены стоимости годовых немедлен ных аннуитетов пренумерандо у мужчин и женщин для двух ва риантов процентной ставки — 9 и 5 % .
|
Стоимости немедленных аннуитетов |
Таблица 16.5 |
|
|
|
/ = 9% |
i = 5% |
Возраст |
Мужчины |
Женщины |
Мужчины |
Женщины |
18 |
11,54 |
11,87 |
18,20 |
19,33 |
30 |
11,04 |
11,61 |
16,65 |
18,22 |
40 |
10,33 |
11,17 |
14,86 |
16,80 |
50 |
9,30 |
10,41 |
12,65 |
14,50 |
60 |
7,92 |
9,17 |
10,11 |
12,16 |
70 |
6,25 |
7,22 |
7,44 |
8,16 |
Как видим, с увеличением возраста стоимость аннуитета уменьшается (так как сокращается средняя продолжительность предстоящей жизни), причем у всех возрастов стоимость анну итета для женщин выше, чем для мужчин.
Влияние процентной ставки очевидно — повышение про центной ставки уменьшает стоимость аннуитета (см. рис. 16.1 и
табл. 16.5). Отсрочка выплат также сокращает эту величину. В свою очередь увеличение срока аннуитета при всех прочих рав ных условиях увеличивает стоимость аннуитета. Пределом, ес тественно, является стоимость пожизненного аннуитета (см. рис. 16.2).
В следующей главе показано, как стоимости страховых анну итетов используются при решении сугубо практических задач — расчетах нетто-премий и страховых резервов в таких видах лич ного страхования, как страхование на дожитие, страхование жизни и индивидуальное страхование пенсий.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Гербер X. Математика страхования жизни. М.: АНКИЛ, 1995.
2.Касимов Ю. Ф. Начала актуарной математики (для страхования жизни и пен сионных схем). Зеленоград, 199S.
3.Четыркин Е. М. Актуарные методы в негосударственном медицинском стра ховании. М.: Дело, 1999. Гл. 3.
Глава 17
ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ
§17.1. Нетто-премии в личном страховании
Страхование на дожитие. Для начала рассмотрим самый про стой, но очень важный в методическом плане случай личного страхования — страхование на дожитие (pure endowment). Итак, человек в возрасте х лет договаривается со страховой организа цией о том, что при достижении им, допустим, 60 лет он полу чит S рублей. Для определения размера премии найдем матема тическое ожидание суммы страховой выплаты, дисконтирован ной на срок страхования, т.е. на 60 —х лет. Размер нетто-пре мии данного вида страхования обозначим как пЕх. Для рассма триваемого примера:
60-А = 60-хРх * v60 * * S>
где ^ _хрх — вероятность лицу в возрасте х лет дожить до 60 лет, у60-* — дисконтный множитель по принятой ставке сложных процентов.
В общем виде с использованием коммутационной функции Dx получим
- jr - S . (17.1)
X
Влияние принятой процентной ставки здесь очевидно. Чем она выше, тем меньше страховая премия.
П Р И М Е Р 1 7 . 1 . Необходимо найти стоимость страхования на до житие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если расчет основы вать на процентной ставке, равной 9%, то согласно (17.1) полу чим1
1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.
|
~^~S |
3 8 9 ,17 |
?0E , = |
Deo |
|
|
= — - г — S = 0,13239 S . |
20 * ©40 |
|
2939,5 |
Премия здесь составляет чуть больше 13 % страховой суммы. Полученная величина представляет собой нетто-ставку страхова ния на дожитие, т.е . ставку, определенную из условия эквивалент ности обязательств страхователя и страховщика. Напомним, что она не учитывает расходов страховщика на ведение дела.
Для того чтобы лучше понять смысл полученных результа тов, предположим, что число застрахованных на дожитие в при мере 17.1 равно 1000 человек, а страховая сумма равна 1 тыс. руб. Таким образом:
число застрахованных |
1000 |
премия от одного застрахованного |
132,39 руб. |
общая сумма премии |
132 390 руб. |
сумма с процентами за 20 лет |
741 968 руб.____ |
количество лиц, доживших до 60 лет |
742 (точно 741,968) |
общая сумма выплат |
742 000 тыс. руб. |
Как видим, наблюдается полная сбалансированность между взносами и выплатами, демонстрирующая соблюдение принци па эквивалентности обязательств страхователей и страховщика (небольшая разница объясняется округлением числа доживших).
Приведенный пример иллюстрирует действие принципа со лидарной ответственности страхователей — важнейшего стра хового принципа. Дело в том, что страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет тех лиц, которые не дожили до обусловленного возраста (согласно таблице смертности та ких окажется в среднем 258 человек из тысячи застрахованных). Если оговоренную сумму он обеспечивает самостоятельно, без солидарной ответственности всех участников, то ему необходи мо было бы внести на сберегательный счет 178,43 руб., а не 132,39 руб.
Страхование супружеской пары. Выше постановка задачи лич ного страхования обсуждалась применительно к отдельному че ловеку. Распространим теперь методику страхования на супру жескую пару, при этом ограничимся страхованием на дожитие.
Пусть речь идет о супружеской паре, имеющей возраст дс и у лет. Страховым событием здесь является дожитие до возрастов х + п и у + п или дожитие одного из супругов до оговоренного
