Менеджмент.Финансовая математика

возраста. В первом варианте нетто-премия в расчете на один рубль страховой суммы определяется как

А - = «Рх* nPy * vn== H f 2 '»

( 1 7 -2)

ХУ

где прх и пру — вероятности прожить еще п лет для каждого из

супругов, DYV — коммутационная функция (см.(16.14) и (16.15)).

■V

Во втором варианте страховая сумма выплачивается одному из супругов, например вдове, при условии, что она проживет до у + п лет. Получим следующую величину нетто-премии:

А \у = »Рх\у* vn = -’y - v " -	(17.3)
У	Ху

где прх|у — вероятность того, что супруг (заключивший договор в х лет, когда его супруге было у лет) не доживетдо возраста х + п, а супруга, напротив, доживет до у + п лет(см.(16.7)).

Величину пЕх]у можно рассчитать с помощью коммутацион­ ных чисел. Обратимся к первой дроби в правой части равенст­ ва (17.3). Умножим и разделим ее на v-*'. Получим знакомое вы­ ражение для нетто-премии на дожитие (17.1). Что касается вто­ рой дроби, то для ее определения необходимы другие коммута­ ционные числа (см. (16.14) и (16.15)).

Вернемся к формуле (17.3). Умножим и разделим вторую дробь на v ^ ) / 2. После чего получим

Е , = - ^ ± 2 - _ _ ^ 2 ± 2 .		П 7 4 ч
" & D	D	\ U 'V

У*У

Искомая величина равна разности нетто-премий страхова­ ния на дожитие супруги и страхования на дожитие супружеской пары.

П Р И М Е Р 1 7 . 2 . Определим размер нетто-премии страхования на
5	лет на дожитие супругов. Для супружеской пары (х = 50, у =
=	45 лет) находим следующие коммутационные числа при усло­

вии, что процентная ставка равна 9 %	(первая строка — для муж­
чин, вторая — для женщин):
D X = D Sо = 112 4 ,8 ;	- О и = 6 7 3 ,1 ;

3S1

			Dy = D 45 =			1991,9;			Dy+n = 0 ^ = 1268,8;
				(x + y)/2 = (50 +					45) / 2 =	4 7,5 .
Отсюда
	°*У = °50; 45 “				10-3 x 1 124'8 x 1991-9 * 1 .0947,5 = 134 799;
Dxy+n =			°55; 50 =		10"3 x 673 -1 x				1268>8 x	1.095+47'5 ■ 78	770 .
При страховании на дожитие супружеской пары получим
				пЕху - 5£50; 45 -				78 770
								134 799 ~ °>58435-
При страховании на дожитие вдовы:
Е					1		78	770
,	=		=	1268,8							0,05263.
				---------- ---------------------- --- 0,63698 - 0,58435 =
псх|у		5 50|45		1991 9			134 799			’	'

§17.2. Страхование жизни

Этот вид страхования (life insurance), называемый также стра­ хованием на случай смерти, является наиболее распространен­ ным. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смер­ ти застрахованного. Допустим, страховой договор заключается в возрасте х лет. Если смерть наступит на первом году страхо­ вания, а выплата страховых сумм наследникам производится в конце года наступления страхового события, то с учетом веро­ ятности этого события современная величина выплаты (на мо­ мент заключения контракта) составит qx(Sv); если страховой случай наступит во втором году, то аналогичная по содержанию величина равна 2qx(Sv*) и т.д.

Единовременную нетто-премию определим исходя из прин­ ципа эквивалентности обязательств. Искомая величина равна современной стоимости страхового аннуитета или математиче­ скому ожиданию суммы дисконтированных выплат. Поскольку необходимые значения вероятностей находятся на основе таб­ лицы смертности как dx/lx (см. § 16.2), то искомая величина премии при условии, что страхование пожизненное, определя­ ется как

352

</„	dr..	d,
A — ~ rvS H-----:— v*S +		... H— ~ vw_Jc.S.
lx	lx	lx

Умножим и разделим каждое слагаемое на v* и используем коммутационную функцию Dx. После чего получим

( dr		'
А Х =		+ . . . + - f v
\ X	х	и х /

Применив коммутационную функцию Мх (см. (16.13)), окон­ чательно имеем

М х

=	(17-5)
	X

Пожизненное страхование жизни встречается не так уж час­ то. Обычно практикуют страхование на срок. Пусть этот срок равен п годам. Нетто-премия в этом случае составит

Л —	Л/ —Л /, _
	<17-6>

П Р И М Е Р 1 7 . 3 . Найдем величину премии в виде доли от страхо­ вой суммы для сорокалетнего мужчины при пожизненном страхо­ вании жизни:

М 40	4 3 1,4
A^ ^ = ^	S = l i i ^ - S=S°-14678S-

Для варианта с ограничением срока страхования двадцатью годами получим:

^	-	^	4,31,4-134,7
И х гИ < о	D<0	S	2939,5	■

Как видим, ограничение срока заметно снизило стоимость страхования.

На практике часто премии выплачиваются в рассрочку. Пос­ леднее равносильно замене разовой выплаты премии постоян­ ной рентой. Пусть рассрочка осуществляется посредством пла­ тежей пренумерандо в течение t лет. Условие равенства обяза­ тельств сторон в страховании запишем следующим образом:

353

л/	—л /+„
**х* - s х	х п ,
	п

где Л — член страхового аннуитета (размер ежегодной премии), axi\ — стоимость немедленного ограниченного страхового анну­ итета (см. (16.22)).

После несложных преобразований имеем

Л/, — Л С ,

* =	S•	(17.7)
/YJC	/YJC+f

П Р И М Е Р 1 7 . 4 . Допустим, единовременный взнос в примере 17 .3 (пожизненное страхование) заменяется на выплаты в рассрочку в течение 20 лет. В этом случае

М * ,	I,— S	4 3 1 ,4
Я = ~Г,—		= -т — г т - Ч — - S = 0 ,01581 S .
w<o “ weo		30376 - 3082

Смешанное страхование. Нетрудно объединить страхование на дожитие и на случай смерти. Если страховое возмещение обоих рисков одинаково, то в расчете на один рубль страховой суммы получим следующую сумму единовременной нетто-пре­ мии:

Z).	+ А/ —Л/, „
Л + Л =	П -------— S.	(17.8)
	X

Для рассрочки платежей в течение t лет получим

о	+ А/„—Мг+„
* -	N	1 N	S■	(17-9)
	1Ух	Iyx+t

§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем

Проблема пенсионного обеспечения затронула в последнее десятилетие все развитые страны, что в значительной мере свя­ зано с заметным старением населения. Не избежала этой проб­ лемы и Россия. Свой вклад в ее решение вносят негосударст­ венные пенсионные фонды (НПФ). Пенсионные фонды не но­

354

вость для России. До 1917 г. подобного рода учреждения функ­ ционировали в стране под названием пенсионные и эмериталь­ ные кассы.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе НПФ представляет собой своеобразный дол­ госрочный инвестиционный процесс, на первом этапе кото­ рого осуществляются вложения (взносы в фонд) и последова­ тельное наращение средств за счет доходов от инвестиций свободных денежных средств, на втором — получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий. Особенности данного процесса определяются принятыми правилами, рег­ ламентирующими взносы и выплаты пенсий (пенсионные схемы).

В длительно действующих пенсионных фондах скаплива­ ются громадные средства. Например, активы пенсионных фондов стран Европейского союза в 1993 г. составляли более 1 ,2 трлн долл.

По условиям финансирования пенсионные схемы, практикуе­ мые в России, подразделяются на:

—нефондируемые (предусматривается выплата пенсий из те­ кущих поступлений); эти схемы не представляют большо­ го интереса в отношении применения количественного финансового анализа;

—фондируемые, или накопительные, (для обеспечения вы­ плат пенсий создаются целевые фонды);

—частично фондируемые (целевые фонды создаются не для всех участников; например, только для лиц, выходящих на пенсию).

К фондируемым схемам относятся:

—сберегательные (отличительные особенности: не учитыва­ ются вероятности дожития каждого участника фонда, пре­ дусматривается наследование накоплений, отсутствует со­ лидарность участников в обеспечении выплат, оговарива­ ется конкретный срок выплат); данный метод обеспече­ ния старости представляет собой покупку индивидуаль­ ной финансовой ренты;

—страховые (солидарность участников, нет наследования накоплений, учитываются вероятности дожития застрахо­ ванных);

355

—смешанные сберегательно-страховые схемы (предусматри­ вается последовательное использование двух схем, напри­ мер, на этапе накопления применяется сберегательная схема, на этапе выплат пенсий — страховая).

Страховые схемы различаются по охвату участников фонда:

—индивидуальные схемы, в которых пенсии эквивалентны индивидуальным накоплениям для каждого участника,

—групповые схемы, в которых пенсии и накопления экви­ валентны для всех участников фонда “в массе”.

Сбалансированность взносов и выплат (иначе говоря, экви­ валентность обязательств) — необходимое условие для нор­ мального ведения дела и важный элемент гарантии выполнения обязательств НПФ по выплатам пенсий. В страховых схемах ба­ ланс обеспечивается на основе применения страховых принци­ пов, которые реализуются с помощью актуарных расчетов. В сберегательных схемах баланс достигается на основе теории верных финансовых рент.

При применении любой из пенсионных схем с фондирова­ нием сталкиваются с необходимостью решения двух задач. Пер­ вая выступает в двух “сопряженных” вариантах: определение размера пенсии по величине установленных взносов либо рас­ чет величины взносов по заданным размерам пенсии.

Вторая задача заключается в расчете страховых резервов. В следующих параграфах главы обсуждаются обе задачи.

§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы

В российских НПФ получили распространение как страхо­ вые, так и сберегательные пенсионные схемы. В методических целях анализ удобнее начать с последних. В таких схемах пла­ тежи (взносы и пенсии) не увязываются с вероятностями их вы­ плат, поэтому нет необходимости применять таблицы смертно­ сти и коммутационные числа, где аргументом является возраст. Строго говоря, здесь, по-видимому, нет оснований и для при­ менения терминов “премия” и “пенсия”. Однако для единооб­ разия сохраним эти термины и в сберегательных схемах обеспе­ чения старости.

Для расчета премий, очевидно, следует применять формулы, определяющие современные стоимости рент, если премия вы-

356

плачивается единовременным взносом, или размеры членов ог­ раниченных, постоянных рент, если премии выплачиваются в рассрочку. Соответствующие методы были подробно обсужде­ ны в гл. 5, поэтому ограничимся примером, в котором пенсия выплачивается в виде годовой, ограниченной ренты пренуме­ рандо. Рассмотрим методы расчета суммы единовременного взноса и размеров последовательных взносов в фонд в течение ряда лет. Для записи формул примем следующие обозначения:

R — годовая сумма пенсии,

Е — размер единовременного взноса,

А— сумма, накопленная на индивидуальном счете участни­ ка фонда на начало выплат пенсии,

х— возраст застрахованного в момент заключения договора, L — возраст выхода на пенсию,

w — возраст в момент окончания действия контракта, п — срок накопления, п = L — х,

t — срок выплат пенсии, t = w — L.

Как показано на рис. 17.1, общий срок делится на два пери­ ода. В первом — в возрасте от х до L лет — взнос в сумме Е (здесь и далее речь идет о “чистых” взносах, аналогах неттопремии в страховых схемах) увеличится до величины А. Эта сумма обеспечивает оговоренные выплаты до возраста w во вто­ ром периоде.

	Рис 17.1
П Р И М Е Р 1 7	. 5 . Определим размеры премий, необходимые для
обеспечения	выплат страховой пенсии. Пенсионные выплаты, от­

ложенные на 20 лет, должны производиться в размере 10 тыс. руб. в год, пренумерандо. Срок выплат t = 15 лет.

357

Таким образом, выплаты представляют собой отложенную на 20 лет, ограниченную годовую финансовую ренту, член которой равен 10 тыс. руб. Очевидно, что единовременный взнос равен современной стоимости будущих выплат. Положим, что на взнос начисляются проценты по ставке / = 9 % . Общ ая формула для рас­ чета имеет вид

Е = А х vn = R х at. jх (1 + i)vn,

где v — дисконтный множитель по ставке /, ап.,(1 + /) — коэффи­ циент приведения постоянной ренты пренумерандо (см. § 5 .3 ),

4 = 10 000а 15; 9 х 1,0 9 = 10 000 х 8,060688 х 1,09 = 8 7 861 р уб .,

Е = 8 7 861 х 1,09-2° = 15 6 7 7 руб.

Динамика пенсионных накоплений схематично показана на рис. 1 7 .2 .

Если страховой договор предусматривает рассрочку взносов (равными платежами) в течение т лет (л * гп), то необходимый размер ежегодного взноса пренумерандо легко получить на осно­ ве следующего равенства:

Rd • =: Avn т;I ™ •

Как показано выше, Avn = 15 6 7 7 ,

* 10; 9 = а ю; 9 х О + *) = 6 ,4 176 6 х 1,0 9 = 6,99525.

Окончательно имеем

15	6 7 7
M9525		,1 Р^ '

358

Таким образом, имеется альтернатива — выплатить единовре­ менно 1 5 ,7 тыс. руб. или ежегодно на протяжении 10 лет по 2,2 тыс. руб.

Короткое замечание об учете инфляции. Безусловно этот фа­ ктор должен быть учтен при определении размера пенсии вне зависимости от выбранной схемы. За рубежом обычно (при низких темпах инфляции) для этого увеличивают применяемую в расчетах процентную ставку на величину ожидаемого долго­ срочного темпа инфляции. При большом темпе такой прием невозможен. Единственный разумный путь — периодическая корректировка пенсии с учетом реально полученного дохода от инвестирования накоплений.

§17.5. Страховые пенсионные схемы

Пенсионное страхование по существу представляет собой по­ следовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пен­ сия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разо­ вой выплаты пенсии, равной S, определяется стоимостью стра­ хования на дожитие до 60 лет (см. (17.1)). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге стоимость страхования составит:

• Е	+ ~Е + ... +	,Е ,
\ х	2 х	w-x-I tc*

где w — максимальный возраст, учитываемый в расчете.

Проще, однако, воспользоваться страховыми аннуитетами, о которых речь шла в гл. 16.

Необходимость в расчете нетто-тарифов (нетто-премий в рачете на 1 руб. установленной пенсии) возникает при использо­ вании схемы, в которой за исходную принимается величина пенсии. Тариф может быть определен для единовременного взноса (покупка пенсии разовым платежом) или при условии, что премия выплачивается в рассрочку. Обсудим оба варианта, но только для пенсионных схем индивидуального страхования. Актуарные расчеты в групповом пенсионном страховании тре­ буют более обширной информационной базы, расширенных таблиц смертности (где учитывается выход из состава группы участников в связи с увольнением и выходом на пенсию по ин­ валидности).

359

Единовременный взнос. Поскольку речь идет о разовом взно­ се, то нетто-тариф, очевидно, равен стоимости аннуитета, соот­ ветствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия — про­ изведению нетто-тарифа на размер пенсии. Например, для го­ довых пенсий пренумерандо имеем

Nx

Ех = R х ах = R-r -, (17.10) X

где ах — стоимость немедленного годового аннуитета пренумерандо (см. (16.18)), R — размер годовой пенсии.

В свою очередь для отложенной на п лет пенсии получим

Е, - X« А = * ^ TXL’

<|7" >

где ^ах — стоимость отложенного годового аннуитета пренумерандо (см. (16.20)).

Таким же способом получим суммы единовременных взно­ сов и для других условий выплаты пенсий. Формулы для расче­ та стоимости страховых аннуитетов приведены в табл. 16.3.

П Р И М Е Р 1 7 . 6 . Необходимо определить единовременную неттопремию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 1 тыс. р уб ., выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно. В этом случае име­ ем отложенный, пожизненный аннуитет пренумерандо. Норматив доходности равен 9 % . Для приведенных данных получим

3082,2 ...................

== ffl395 ■ 1 •°4855' °,|<уда

£40 = 1 х 1,04855 - 1,04855 тыс. руб.

Если бы пенсия страховалась не пожизненно, а на срок 15 лет, то ее стоимость в момент выхода на пенсию составила (см . (16 .2 2 )):

«г	-	Ч о ~ Nib	~	3082,2 -	6 8 4,24	______
^ 6 0 - 1 *	я60-151 ~	0 ^		3 g g	-jy	“ 6 ,1 6 1 7 3 ТЫС. руб.

В свою очередь для страхователя 40 лет получим (см. (16 .2 4 )):

.160