Менеджмент.Финансовая математика

Заметим, что чем выше процентная ставка (норматив доход­ ности), тем ниже тариф страхования и оно более привлекатель­ но для клиента. Однако при этом повышается риск для страхов­ щика — он обязан обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств.

Нетрудно найти и стоимость сберегательно-страховой пен­ сионной схемы. Пусть до пенсионного возраста применяется сберегательная схема, после — страховая. Если пенсия выпла­ чивается с 60 лет, а единовременный взнос в х лет, то стоимость для пожизненной пенсии пренумерандо равна

Ех = R х	Л'бо	*.
	х V60 х = R—— v60
	X
П Р И М Е Р 1 7 . 7 . Вернемся	к примеру 1 7 .6 (вариант с выплатой
пенсий в течение 15 лет).

Стоимость смешанной пенсионной схемы в возрасте 40	лет
составит
Е 40 = 1 х " 60:151 х V20 = 6 ,16 173 X 1 ,09‘ 20 - 1,099 ты с.руб.

Размеры единовременных взносов (выплаты пенсий в течение 15 лет) для трех вариантов пенсионных схем приведены в следу­ ющей таблице.

				Таблица 17.1
	Стоимости страхования по трем пенсионным схемам
Возраст застра­		Пенсионные схемы
хованного		Сберегательная	Страховая	Смешанная
60	лет	8061	6 16 2	6 162
40	лет	1438	8 16	1099

Страховая схема оказывается более дешевой по сравнению со сберегательной, смешанная схема занимает промежуточное мес­ то по размеру единовременного взноса для сорокалетнего за­ страхованного. Однако, нельзя забывать, что страховые схемы не предусматривают наследования остатков средств на счете участ­ ника. Сберегательная схема, наоборот, предполагает это.

Совместим три кривые, характеризующие динамику накопле­ ния для трех видов пенсионных схем (см . рис. 1 7 .3 ).

Рис. 17.3

Рассрочка взносов. В практике страхования премии часто вы­ плачиваются в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчете нетто-тарифов с рассрочкой для описания взносов можно воспользоваться ограниченными (на период рассрочки) аннуитетами. С другой стороны, пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. В силу экви­ валентности финансовых обязательств обоих участников стои­ мости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае, когда один аннуитет (взносы) явля­ ется немедленным, ограниченным, второй (Пенсии) — пожиз­ ненным, отсроченным, причем оба предусматривают ежегод­ ные платежи постнумерандо, получим следующее равенство:

(,7Л2)

где Р — годовая сумма взносов (нетто-премии), R — годовая сумма пенсии.

Откуда

р = д ч°х _	^_Nx+n+l A U		~ ^Х+1+1 _
°x:t]		К	&х
			(17.13)
_	у|j	^х+п+ 1

^x+l Nx+,+1

Например, если первая выплата пенсии производится, допу­ стим, в 60 лет (дс + п + 1 = 60), возраст при заключении стра­ хового контракта 40 лет, а рассрочка равна 10 годам, то

362

Выражения, аналогичные (17.12), могут уравнивать стоимо­ сти различных видов аннуитета. Например, если оба аннуитета предусматривают годовые выплаты пренумерандо, то вместо (17.12) получим

Р х аг	= R х „а,
X.I I	п X

и

(17.14)

П Р И М Е Р 1 7 . 8 . Определим размер премии для следующих усло­ вий. Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пен­ сия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо. В этом случае на основе ( 1 7 .1 4 ) получим

А/ед	3082,2
Р = 10 ООО X ——	= 10 ООО X
Ntn - N..	30375,6 - 18086,4
=	2508,1 руб.

Чем больше период рассрочки, тем , очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий

	A/go	3082,2
Р = 1 0 0 0 0 X — —	2— —	= 1 0 0 0 0 X 30375,6 - 10465,3
4 0	* 5 0
	=	1548,0 руб.

Расчет размера пенсии по сумме взносов. Пусть на счет застра­ хованного ежегодно поступают взносы. Эти взносы, разумеет­ ся, должны быть “очищены” от нагрузки, которая поступает в пользу страховой организации. Очевидно, что каждый взнос обеспечивает некоторую сумму пенсии. Для начала положим, что пенсия обеспечивается единовременным взносом Е. Тогда из соотношений типа Е = Rax находим размеры пенсий R. Так, для немедленной пенсии пренумерандо имеем R = Е/ах, для от­ ложенной пенсии R = Е/пах и т.д.

363

Пусть теперь постоянная премия выплачивается в рассрочку в течение t лет, причем взносы одинаковы. Размер пенсии без корректировки на инфляцию определяется элементарно — дос­ таточно решить уравнение (17.12) или аналогичные выражения относительно R. Например, для отложенной годовой пенсии пренумерандо с ограниченным периодом взносов получим

rfx

Перейдем теперь к ситуации, когда взносы производятся по­ следовательно в течение некоторого срока и изменяются по времени. Первый взнос Рх можно рассматривать как единовре­ менную премию, обеспечивающую пенсию в сумме Rv и т.д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале года. Пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда для каждого взноса можно напи­ сать равенство

	*60	„	_	*60		„	„ *60
^1	Л л	> *2	^2	п	’ — ’		Л: п
	и х			jc+I			х+к—I

Общая сумма пенсии

J- 1

j- 1	У	(17.15)
	N*°

П Р И М Е Р 1 7 .9 . Пусть на пенсионный счет участника (мужчины) по­ ступают в течение 5 лет взносы пренумерандо. Первый взнос 150 руб. сделан в возрасте 40 лет, второй взнос — 200 руб. и т.д. Пенсия выплачивается с 60 лет, Л/60 = 3082,2. В последней графе табл. 1 7 .2 показаны размеры пенсий, обеспеченные каждым оче­ редным взносом и размер пенсии, обеспеченной всеми взносами.

X		я/				Таблица 17.2
						р,
	Расчет размера пенсии
40	2939,5	150		440	925	143,05
41	2 6 77 ,7	200		535 540		174 ,75
42	2 4 3 7,7	400		975	080	316,36
43	2 2 17,8	300		665 340		215,86
44	2016,6	800	1	613	280	523,42
Итого			4	230 165		1372,45

364

§17.6. Страховые резервы в личном страховании

Важнейшим фактором, обеспечивающим надежность в рабо­ те страховых организаций, является определение размеров ре­ зервов как для отдельных застрахованных, так и для их групп и в целом по всем полисам страховой организации.

Под резервом понимается современная стоимость “чистых” обязательств страховой организации. Сумму резерва можно оп­ ределить двумя методами — прямым (или проспективным) и обратным (ретроспективным). Оба метода дают одинаковые ре­ зультаты. При прямом методе резерв равен современной стоимо­ сти выплат, которые обязан осуществить страховщик, за выче­ том современной стоимости ожидаемых взносов страхователя.

В связи с термином “резерв” необходимо сделать отступле­ ние от обсуждения основной проблемы главы. Дело в том, что этот термин, трактуемый как чистые обязательства страховщи­ ка, является узко профессиональным. Он уже более века как за­ креплен в отечественном и западном (reserve) страховании.

Главное, на что надо здесь обратить внимание, — это то, что резерв в указанном выше смысле означает обязательства, а не реальные накопления (активы). Резерв — важный аналитиче­ ский показатель: для того, чтобы обязательства перед страхова­ телями были выполнены, резерву должны соответствовать не­ которые активы, равные или превышающие размеры резерва. Формирование таких активов является обязательной, нормаль­ ной функцией страховщика и не связано с покрытием расходов в каких-либо чрезвычайных обстоятельствах

Вместе с тем, в экономической да и других областях деятель­ ности, применяется иное понимание термина резерв — как не­ которого запаса или фонда, денежного или вещественного, предназначенного для покрытия расходов или иных потребно­ стей в непредвиденных ситуациях. Например, продовольствен­ ный резерв, резерв мощности двигателя, резерв главного ко­ мандования и т.д. Иначе говоря, такие резервы не являются обязательствами.

Как видим, существует кардинальное различие в понимании обсуждаемого термина. Смешение понятий, которое несомнен­ но мешает практической работе, отразилось на текстах соответ­ ствующих российских законов. Во всех законах о страховой де­ ятельности резерв трактуется не в специальном страховом, а в широком понимании, как реальные накопления, активы. На­

365

пример, в одном из законов читаем: “Страховщик вправе инве­ стировать или иным способом размещать страховые резервы...”. Однако обязательства нельзя инвестировать.

Возникла в некотором роде тупиковая ситуация. Для того чтобы устранить указанное смешение понятий, назовем мате­ матическим резервом, или кратко резервом, величину, получае­ мую по приведенному выше определению. В свою очередь под страховым резервом будем понимать активы, предназначенные для выполнения обязательств страховщика.

Перейдем к методу расчета резерва. Резерв можно опреде­ лить на любой момент действия страхового контракта. Для на­ чала определим его на начало действия договора до первой вы­ платы премии. В случае, когда предусматриваются ежегодные пожизненные взносы пренумерандо в размере Рх, получим по определению для прямого метода

(17.16)

где 0УХ — размер резерва для застрахованного в возрасте х лет, Ах — современная стоимость каких-либо страховых обяза­ тельств.

Если резерв определяется для тех же условий, но на момент t после начала страхования, то

(17.17)

Страхование на дожитие. Приведенное выше определение ре­ зерва можно конкретизировать применительно к различным ус­ ловиям и применяемым схемам страхования. Как и при обсуж­ дении других проблем начнем с частного случая личного стра­ хования — определения резерва при страховании на дожитие. В этом виде страхования предусматривается только единовремен­ ная премия. Соответствующая сумма зачисляется на счет участ­ ника и служит первоначальным резервом, в связи с чем форму­ ла (17.17) упрощается до

V	= А	(17.18)
гх	лх+г

Положим, что страховая сумма равна единице, R = 1 , тогда

Нетрудно убедиться в том, что современная стоимость обя­ зательств в данном виде страхования увеличивается во времени, так как по мере роста t знаменатель уменьшается.

В некоторых видах личного страхования, например пенсион­ ном, оговаривается необходимость ведения персональных сче­ тов застрахованных. Как будет показано ниже, средства, накоп­ ленные на персональном счете отдельного застрахованного, не идентичны резерву. В связи с этим необходимо отчетливо пред­ ставлять разницу между этими понятиями. В чисто иллюстра­ тивных целях проследим, как изменяется во времени сумма на воображаемом (в данном виде страхования такие счета не ве­ дутся) персональном счете застрахованного (величина S) и ре­ зерв (tVx) при страховании на дожитие.

На сумму единовременного взноса наращиваются проценты

за соответствующий срок. В итоге при R =		1 на счете участни­
ка в момент t находится сумма St:
^ % ^ М 1 + / У	= - ^ ( 1 + 0 '	= -	^ 7 , (17.20)
	X		X
где пЕх — размер премии	по страхованию		на дожитие (см.
( 1 7 . 1 ) ) .

Для момента / > 0 имеем St < ,VX. Таким образом, наращен­ ная сумма на персональном счете застрахованного меньше резерва на один и тот же момент времени, за исключением начального.

Из соотношения ,УХи 5,также следует, что

D x * V ‘	_	К	_	1
--------=		x+t		о ™ )
и хН				tr x

где ,рх — вероятность дожития лица в возрасте х лет до возрас­ та X + /.

На рис. 17.4 отражена динамика указанных величин в зави­ симости от срока t. Чем ближе момент оценки резерва ко вре­ мени погашения обязательства, тем больше разность между суммой на счете и резервом.

Важно понять причину расхождения между полученными выше показателями. Дело в том, что резерв увеличивается не только за счет накопленных процентов (на персональном сче­ те), но и в силу солидарной ответственности застрахованных,

т.е. за счет тех участников, которые не дожили до возраста х +

367

+ t. Из сказанного следует, что общий размер резерва для дожив­ ших до возраста х + t равен сумме средств на персональных сне- max всех участников — доживших и не доживших до этого воз­ раста.

Резерв,

Рис. 17.4

П Р И М Е Р	1 7 . 1 0 . Мужчина в возрасте 50	лет страхуется на дожи­
тие до 60	лет, страховая сумма R = 1000	денежных единиц. Пусть

коммутационные функции определены для 9 % и условий, учтен­ ных в табл. 12 Приложения. В этом случае сумма взноса и резерв на начало срока составит

Цм =	«#50 =	Q		389 1 7
		10 0 0 -г52- = 1000—— 7 — = 345,98.
50	10^ 50	Од,,		1124,8
Спустя один год на счете окажется наращенная сумма
	S , = 345,98 х		1,0 9 =	3 7 7 ,1 2 .
В то же время резерв составит
		О м	3 8 9 ,17
«Уел = 10 0 0 —^ = 1000 -				= 3 8 2 ,5 1
1	50	D S1		1 0 1 7 ,4
или по формуле (1 7 .2 1 )
= 3 7 7 ,1 2	1	= 3 7 7 ,1 2 х	'so	83 640
	х —		- у = 3 7 7 ,1 2 х - ■— = 3 8 2 ,5 1.

Таким образом , прирост резерва за один год за счет солидар­ ности застрахованных равен 382,51 - 3 7 7 ,1 2 = 5,39 . Динамика средств на счете и размеров резерва показана в следующей таб ­ лице.

368

t	О	5		10
Sf	345,98	532,33		8 19 ,0 6
f^50	345,98	6 2 5	,7 7	1000,00

Как видим, на индивидуальном счете к концу срока страхова­ ния средств меньше необходимых 1000 единиц. Однако следует учесть, что из 100 застрахованных в указанном возрасте соглас­ но таблице смертности доживут до 60 лет только 82 человека, по­ этому накопленные средства всех застрахованных окажутся дос­ таточными для них.

Интересно выделить влияние факторов на размер резерва. Для этого найдем отношение размеров резерва для двух первых лет накопления для страхования на дожитие:

Л	_	° х	( Г	1
оК	4 * . : ° х			/> /'

где рх — вероятность прожить один год после возраста х лет.

Аналогичным образом определим динамику резерва за 1лет:

Л1

-Ч?	= — О + 0'.	(17.22)
<Гх	tPX

Из сказанного выше следует, что размеры резерва можно оп­ ределять и последовательно как

ж^-л-Ь1+i)-	<17-23>
/Г*

Как следует из полученного соотношения, резерв увеличива­ ется быстрее, чем идет наращение за счет процентов, так как

,рх < 1. Причем рост процентной ставки ускоряет накопление резерва, а увеличение вероятности дожития сокращает его.

Математический резерв при страховании жизни в случае, ко­ гда это страхование оплачивается разовым взносом, формиру­ ется аналогично тому, как было показано выше для страхова­ ния на дожитие.

Страхование пенсии. Кратко остановимся на определении ре­ зерва для еще одного вида личного страхования — индивиду­ ального страхования пожизненной пенсии с единовременной

369

выплатой взноса. Динамика резерва для этого случая показана на рис 17.5. Обозначения на нем имеют следующее содержание:

Рх — размер единовременного взноса, L — возраст выхода на пенсию,

h — возраст, в котором исчерпываются средства на персо­ нальном счете застрахованного,

ш — предельный возраст.

Резерв,

Весь период от возраста х до предельного возраста можно разделить на двавременных отрезка. Впервом, до начала вы­

плат пенсии, происходит накопление	резерва, вовтором — на
копление сопровождается расходованием	средств. На начало

страхования (сразу после взноса премии) резерв равен актуар­ ной стоимости страховых выплат, которая в свою очередь рав­ на величине единовременного взноса Рх. Если принять, что раз­ мер годовой пенсии равен R и она выплачивается в начале года, то

<Л - Л = ~7TR

(17.24)

X

Размер резерва в первом периоде (х + t < L)

N L	(17.25)
Л = - j T »

UX + I

Сувеличением возраста знаменатель уменьшается и соответ­ ственно растет резерв. Во втором периоде (х + t ъ L) динамика резерва иная. Она определяется как

370