AL, |
(17.26) |
Л - - f - R' |
u x+l |
|
Размеры резерва можно получить и последовательно. Для первого периода он определяется формулой (17.19). Во втором периоде, когда выплачиваются пенсии, получаем
« Л - Л - т - О + о - А |
(17.27) |
Px+t |
|
В свою очередь движение средств на персональном счете (St) на каждом шаге во времени рассчитывается в первом периоде как
S l = Рх х 0 |
+ О'. |
(17.28) |
|
а во втором как |
|
|
St+1 = s,x(\ |
+ i) - R. |
(17.29) |
Важно отметить, что поскольку на персональном счете средств меньше, чем сумма резерва, то через некоторый отрезок времени (в возрасте h лет) они полностью исчерпываются (см. рис. 17.5).
П Р И М Е Р 1 7 . 1 1 . Исходные данные: мужчина, ж= 50, L = 60, R - - 1000 , г = 9 % . Размер единовременной премии (коммутацион ные функции из табл. 12 Приложения):
We,, |
3082,2 |
|
оЦю = ^50 = |
^ = •) 124,8 |
= 2740,2. |
Динамика средств на персональном счете и резерва характе ризуется следующими данными.
x + t |
50 |
55 |
60 |
65 |
90 |
s, |
2740 |
4 2 16 |
6486 |
4582 |
— |
|
|
|
|
|
tV X |
2740 |
4579 |
79 19 |
7 12 0 |
1000 |
Полностью сумма на персональном счете будет исчерпана спустя 10 лет после начала выплат пенсии. Теоретическая нехват ка средств на индивидуальном счете застрахованного компенси руется, как и в предыдущем примере, за счет действия принципа солидарности застрахованных.
Динамика резерва в рассматриваемом виде страхования раз личается по периодам. В первом, до начала выплаты пенсии, она описывается формулой (17.23). Что касается второго, то здесь искомая зависимость более сложная. Найдем соотноше ние двух последовательных показателей резерва:
1+1 Кс |
^X+1+l |
^X+t+1 1 |
л |
—w~ ~ ~п------: ~п |
~ —Гг-----х ------ (1 + О- |
I X |
X+I+ 1 |
Х+1x + tРх+1 |
|
Таким образом, |
|
|
„ Л - л * N ” О+О- |
07-30) |
пхН ХРх+1 |
|
Очевидно, что, если второй сомножитель в правой части ра венства (17.30) меньше множителя наращения (1 + i), то резерв уменьшается с каждым шагом во времени.
П Р И М Е Р 1 7 .1 2 . Продолжим пример 1 7 . 1 1 . Найдем величину ре зерва для мужчины в возрасте 61 год, применив формулу (17 .3 0 ):
|
А/61 |
2693 |
n^so = io^so * ~Г.------------- |
* 1.09 = 79 19 х — — — г ~ г г г г ~ X 1,0 9 = |
11 50 10 50 |
Neo х р б1 |
3 0 8 2 х 0,9692 |
= 7 7 8 1 ,
что меньше резерва для 60 лет (см . пример 17 . 1 0 ) .
Ничего принципиально не меняется, если взнос производит ся не разовым платежом, а в рассрочку. Пусть предусматривает ся пожизненная выплата пенсий и рассрочка взносов в течение к лет. Изменение резерва во времени изображено на рис. 17.6. Общий срок действия страхового полиса в этом случае можно разбить на три периода. В первом, в возрасте от х до х + к, осу ществляются взносы и происходит ускоренное накопление, во втором, от х + к и до возраста L, сумма резерва увеличивается только за счет процентов, в третьем средства расходуются на вы плату пенсий, причем на остаток средств начисляются процен ты. В “финальном” возрасте со после выплаты пенсии резерв ра вен нулю. Аналогичное можно сказать и относительно динами ки средств на персональном счете, кроме момента полного ис черпания средств, который происходит в возрасте (А < ш).
Резерв
А
в
Рис 17.6
Ограничимся случаем, когда пенсии и взносы выплачивают ся раз в году пренумерандо и не учитывается дополнительный инвестиционный доход, выплата которого предусматривается в некоторых пенсионных фондах. Запишем в общем виде форму лу величины резерва в момент x + t.
(17.31)
где Ах+1 — современная стоимость пенсионных выплат, произво димых после возраста x + t, — стоимость немедленного огра ниченного страхового аннуитета пренумерандо в возрасте x + t лет, Рх — годовой размер премии, установленный в возрасте JC лет.
Формула (17.31), как видим, предполагает определение буду щих (ожидаемых) поступлений. Ее результат представляет со бой “чистые” обязательства страховщика перед участником в возрасте x + t лет. Подобный способ получил название прямой метод определения резерва.
Определим резерв для случая, когда пенсия пожизненная, R = 1 , нетто-премия равна Рх в расчете на денежную единицу пенсии, пенсия и премии выплачиваются пренумерандо. В этом случае для первого периода (t < к) находим
t К n -tfx х ^jc:iF7|> (17.32)
где п = L - х — временной интервал от х до L лет, n_,fx — сто имость отложенного пожизненного страхового аннуитета пре нумерандо, а*.рт| — стоимость немедленного ограниченного аннуитета.
Величина Рх находится на основе принципа эквивалентно сти обязательств страховщика и страхователя. Если R = 1, то из равенства этих обязательств следует, что 0УХ= 0 и нетто-пре- мия находится как соотношение двух страховых аннуитетов — отложенного пожизненного и немедленного ограниченного, а именно:
ах:к]
В свою очередь
Подставив в (17.32) приведенные формулы для страховых аннуитетов и нетто-премии, получим для первого периода
NL |
N L |
л и - л и |
К, = ~ ------ ---- —-- х |
|
|
(17.34) |
" L |
(х _ |
N ^ - N ^ |
Dx+, { |
Nx - |
Для второго периода (к < t < п) находим
NL
< 1 7 и >
U X + t
Наконец, для третьего периода (t > п) получим
Приведенные выше методы расчета резерва, разумеется, не охватывают весь спектр возможных способов выплат премий и пенсий. Однако ничего принципиально не меняется, если ска жем, вместо пенсий пренумерандо выплачиваются пенсии пост нумерандо, а вместо годовых пенсий или взносов — ежемесяч ные, вместо пожизненных пенсий выплачиваются ограничен
ные и т.д. Разумеется, в этих случаях несколько изменяется тех ника расчетов, общие принципы расчетов остаются без измене ний.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Касимов Ю. Ф. Начала актуарной математики (для страхования жизни и пен сионных схем). Зеленоград, 1995.
2.Четыркин Е. М. Актуарные методы в негосударственном медицинском стра ховании. М.: Дело, 1999. Гл. 3.
3.Четыркин Е.М. Пенсионные фонды. М.: АРГО, 1993.
4.Neil A. Life Contingencies. L., 1992 (6-е издание учебника для актуариев, под готовленное Институтом актуариев и Факультетом актуариев. Лондон).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблицы
1.Порядковые номера дней в году
2.Множители наращения (сложные проценты)
3.Множители наращения (непрерывные проценты)
4.Дисконтные множители (сложные проценты)
5.Дисконтные множители (непрерывные проценты)
6. Коэффициенты наращения дискретных рент (сложные проценты)
7.Коэффициенты приведения дискретных рент (сложные проценты)
8. Коэффициенты наращения непрерывных рент
9. Коэффициенты приведения непрерывных рент
10. Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи прену мерандо, полное погашение стоимости
1 1 . Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи прену мерандо, остаточная стоимость 10%
12.Таблица смертности и стандартных коммутационных функций (мужчины, 9%)
Таблица 3
Множители наращения (непрерывные проценты)
Число |
|
|
Сила роста (%) |
|
|
периодов |
2 |
5 |
7 |
9 |
10 |
11 |
п |
1 |
1,020201 |
1,051271 |
1,072508 |
1,094174 |
1,105171 |
1,116278 |
2 |
1,040811 |
1,105171 |
1,150274 |
1,197217 |
1,221403 |
1,246077 |
3 |
1,061837 |
1,161834 |
1,233678 |
1,309964 |
1,349859 |
1,390968 |
4 |
1,083287 |
1,221403 |
1,323130 |
1,433329 |
1,491825 |
1,552707 |
5 |
1,105171 |
1,284025 |
1,419068 |
1,568312 |
1,648721 |
1,733253 |
6 |
1,127497 |
1,349859 |
1,521962 |
1,716007 |
1,822119 |
1,934792 |
7 |
1,150274 |
1,419068 |
1,632316 |
1,877611 |
2,013753 |
2,159766 |
8 |
1,173511 |
1,491825 |
1,750673 |
2,054433 |
2,225541 |
2,410900 |
9 |
1,197217 |
1,568312 |
1,877611 |
2,247908 |
2,459603 |
2,691234 |
10 |
1,221403 |
1,648721 |
2,013753 |
2,459603 |
2,718282 |
3,004166 |
И |
1,246077 |
1,733253 |
2,159766 |
2,691234 |
3,004166 |
3,353485 |
12 |
1,271249 |
1,822119 |
2,316367 |
2,944680 |
3,320117 |
3,743421 |
13 |
1,296930 |
1,915541 |
2,484323 |
3,221993 |
3,669297 |
4,178699 |
14 |
1,323130 |
2,013753 |
2,664456 |
3,525421 |
4,055200 |
4,664590 |
15 |
1,349859 |
2,117000 |
2,857651 |
3,857426 |
4,481689 |
5,206980 |
16 |
1,377128 |
2,225541 |
3,064854 |
4,220696 |
4,953032 |
5,812437 |
17 |
1,404948 |
2,339647 |
3,287081 |
4,618177 |
5,473947 |
6,488296 |
18 |
1,433329 |
2,459603 |
3,525421 |
5,053090 |
6,049647 |
7,242743 |
19 |
1,462285 |
2,585710 |
3,781043 |
5,528961 |
6,685894 |
8,084915 |
20 |
1,491825 |
2,718282 |
4,055200 |
6,049647 |
7,389056 |
9,025013 |
21 |
1,521962 |
2,857651 |
4,349235 |
6,619369 |
8,166170 |
10,074425 |
22 |
1,552707 |
3,004166 |
4,664590 |
7,242743 |
9,025013 |
11,245859 |
23 |
1,584074 |
3,158193 |
5,002811 |
7,924823 |
9,974182 |
12,553506 |
24 |
1,616074 |
3,320117 |
5,365556 |
8,671138 |
11,023176 |
14,013204 |
25 |
1,648721 |
3,490343 |
5,754603 |
9,487736 |
12,182494 |
15,642632 |
26 |
1,682028 |
3,669297 |
6,171858 |
10,381237 |
13,463738 |
17,461527 |
27 |
1,716007 |
3,857426 |
6,619369 |
11,358882 |
14,879732 |
19,491920 |
28 |
1,750673 |
4,055200 |
7,099327 |
12,428597 |
16,444647 |
21,758402 |
29 |
1,786038 |
4,263115 |
7,614086 |
13,599051 |
18,174145 |
24,288427 |
30 |
1,822119 |
4,481689 |
8,166170 |
14,879732 |
20,085537 |
27,112639 |
35 |
2,013753 |
5,754603 |
11,588347 |
23,336065 |
33,115452 |
46,993063 |
40 |
2,225541 |
7,389056 |
16,444647 |
36,598234 |
54,598150 |
81,450869 |
45 |
2,459603 |
9,487736 |
23,336065 |
57,397457 |
90,017131 |
141,17496 |
50 |
2,718282 |
12,182494 |
33,115452 |
90,017131 |
148,41315 |
244,69193 |
