надежность машин и оборудования

141

= t * +z

σ

= t * -z

σ

.

t

(8.55)

1−α

n

α

n

Для одностороннего доверительного интервала, ограниченного снизу:

g = 1-a = P(t ³ t*-e) èëè a = P(t < t*-e).

(8.56)

Рассуждая аналогично, можно показать, что с вероятностью a будет выполняться неравенство

t < t * +zα

σ

,

(8.57)

n

а с вероятностью g = 1-a - противоположное неравенство

t >

t

= t * +zα

σ

=

t

.

(8.58)

n

Правая часть неравенства (8.58) - нижняя доверительная граница с

уровнем значимости a.

Для нахождения границ двухстороннего доверительного интервала (t,`t) справедливы уравнения вида (8.55) и (8.58), но с учетом связи уров-

ней значимости a +`a + g = 1. Часто используется доверительный интервал, симметричный по вероятности, для которого

	a =		=		1 − γ	.
		a					(8.59)
				2

Рассмотренная процедура нахождения доверительного интервала при нормальном распределении наработки справедлива при условии, что из-

вестна величина среднего квадратического отклонения наработки s. Однако из выборочной совокупности может быть определена только его оценка

s*. Прямая замена генерального значения s эмпирическим значением s* в выражениях (8.55) и (8.58) преувеличила бы точность такой оценки, по-

скольку сама величина s* также имеет случайный разброс. В этом случае квантили нормального распределения zγ достаточно заменить квантилями распределения Стьюдента вероятности g с числом степеней свободы f = n-1, учитывающей точность выборочной оценки s* (см.прил.I). По мере увеличения объема выборки n точность значения s* возрастает, величина квантили распределения Стьюдента Tγ(f) стремится к величине квантили

нормального распределения zγ è ïðè f = n-1 > 50¸100 различие между ними практически исчезает. Выражения для доверительных границ, анало-

гичные (8.52) и (8.55), при использовании оценки s* приобретают вид:

t = t * +T1−α (f) σn* = t * -Tα (f) σn* , t = t * +Tα (f) σn* = t * -T1−α (f) σn* , (8.60)

Формулы для определения односторонних интервальных оценок показателей безотказности при нормальном распределении для различных планов испытаний приведены в табл.8.10 [8].

Пример 8.17. По данных примеров

8.13-8.16 (n=50, t*=97,5 ÷, σ*=32,0 ÷) äëÿ

α=0,05 по таблицам (прил.I) T0,95(49)=2,01. Тогда по формулам табл.8.10

t = 97,5 − 2,01

32,0

= 97,5 − 91, = 88,4,

= 97,5 + 2,01

32,0

= 97,5 + 91, = 106,6.

t

50

50

Таким образом, с уровнем значимости α = 0,05 средняя наработка tñð = 97,5±9,1 ÷.

142

Таблица 8.10

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Показатель

Нижняя

Верхняя

Примечание

надежности

доверительная

доверительная

граница

граница

Средняя

t * -T − α (r - 1)

σ

*

t*+T

−α (r -1)

σ

Значения T1−α(r-1)

наработка

*

tñð

1

r

1

r

приведены в прил.I

Гамма-

1

æ

1

ö

uα2

процентная

+ uα

+

2

-

наработка

tñð-K(g,1-a,r)s*

tñð+K(g,a,r)s*

uγ

ç1

uγ

÷

r

2

2r

K(g, a, r) »

è

ø

tγ

1

- uγ2 r

Вероятность

1

æ t -t

ö

1 -Ô

æ t-t

ö

é

æ

t - t

2

ù

безотказной

1

-Ô

ñð - h

ñð + h

1 ê

ñð ö

ú

работы

ç

÷

ç

÷

h » u

1

+

ç

÷

2

s

2

s

2

s

ú

è

ø

è

ø

1− α

r ê

è

ø

p(t)

ë

û

П р и м е ч а н и е : Для плана [NUN] r=N, для плана [NUz] r = N[1-p*(tr)]. Для планов [NUr], [NUT] è [NUz] оценки являются приближенными.

Соотношения (8.55), (8.58) и (8.60), а также формулы табл.8.10 могут использоваться и при логарифмически-нормальном распределении, но для логарифма случайной наработки. Получаемые при этом границы доверительного интервала также относятся к логарифму генеральной характеристики, так что для перехода к натуральным значениям границ наработки необходимо выполнить их потенцирование (антилогарифмирование).

Ïðè экспоненциальном распределении наработки t в выборочной совокупности (t1,t2,...,tn) выборочное среднее t* в общем случае распределено достаточно сложно. Однако при простейшем потоке отказов удвоенное количество отказов 2tΣ/t подчиняется распределению c2 с числом степеней

свободы f=2r (èëè f=2n) [27]. Суммарная наработка tΣ при различных планах испытаний может быть найдена по формулам (8.35)-(8.38), но в любом

случае tΣ=rt*. С учетом перехода к распределению c2, можно записать:

P = F(c	2	é2rt *		2	ù	,	(8.61)
		, f) = Pê	t	£ cP (2r)ú
		ë			û

ãäå cP2(2r)- квантиль (аргумент) распределения c2 вероятности P с числом степеней свободы f = 2r (ñì.ïðèë.I).

Для доверительного интервала, ограниченного сверху, в выражении (8.61) P =`a и с вероятностью`a выполняется неравенство

	2rt * £ c2 (2r)		èëè t ³	2rt *	.	(8.62)
				ca (2r)
	t	a
				2

Тогда с вероятностью g будет выполняться противоположное неравенство

é

2rg *

ù

ê

<

ú

,

(8.63)

g = 1 - a = P t

c2

(2r) ú

ê

ë

a

û

откуда верхняя доверительная граница

2rt *

t =

.

(8.64)

cα2 (2r)

143

Для нижней границы одностороннего доверительного интервала приняв в выражении (8.61) P = 1-a, получим

	2rt *	£ c2	(2r) èëè t ³	2rt *	= t	(8.65)
	t			2
		1−α
				c1−α (2r)

(правая часть неравенства (8.65) - нижняя доверительная граница t).

Для нахождения границ двухстороннего интервала справедливы выражения (8.64) и (8.65) с учетом связи уровней значимости a +`a + g = 1. В силу асимметрии распределения c2 äàæå ïðè a =`a доверительный интервал оказывается несимметричным относительно t*.

При больших объемах статистических данных (более 50-100) при любом законе распределения наработки t выборочное среднее t* удовлетворительно описывается нормальным законом, что делает соотношения (8.60) универсальными. Поэтому приближенные значения доверительных границ любого показателя надежности R для доверительной вероятности

Pγ = 1-a вычисляются также по формулам [13,16]:
R = R * + u1−α D(R *), R = R * - u1−α D(R *),	(8.66)

ãäå D(R*) - дисперсия точечной оценки показателя R; u1−α - квантили нормального распределения уровня значимости 1−α.

Порядок вычисления дисперсий оценок показателей надежности приведен в ГОСТ 27.504-87 [13], расчетные формулы - в ГОСТ 27.503-87 [16].

При экспоненциальном распределении на основании связи средней наработки t с другими показателями надежности можно легко найти нижние и верхние границы доверительных интервалов:

l =

1

,

p(t) = expæ

- tö

,

q(t) = 1 - expæ

-

1ö

,

t

=

1

lnæ

1

ö

,

(8.67)

t

ç

÷

ç

÷

γ

ç

÷

è

tø

è

tø

l è g ø

=

1

,

(t) = expæ

-

t

ö

,

(t) = 1 - expæ

-

1ö

,

γ

=

1

lnæ

1

ö

,

l

p

q

t

(8.68)

÷

÷

t

ç

÷

ç

ç

è

tø

è

tø

l è g ø

ãäå t - заданная наработка.

Доверительные границы (8.67) и (8.68) имеют ту же достоверность g, с

которой определены значения t è`t.

Формулы для определения односторонних интервальных оценок интенсивности отказов при экспоненциальном распределении для различных планов испытаний приведены в табл.8.11, распределении Вейбулла - в табл.8.12 [8,14,28]. Интервальные оценки других показателей надежности могут быть определены с помощью формул (8.67) и (8.68).

Если точечные оценки вероятностей безотказной работы p*(t) и отказа q*(t) получены непосредственным вычислением непараметрическими методами при плане испытаний [NUT] доверительные границы для вероятно-

сти отказа q(t) за время испытаний T

cα2 (2r)

c2

(2r + 2)

q =

,

q =

1− α

,

(8.69)

1

1

2n - r + 1 +

cα2

(2r)

2n - r +

c2

(2r + 2)

2

2 1− α

144

ãäå r - число отказов за время испытаний, c2α (2r) è c12−α (2r + 2) - квантили распреде-

ления c2 вероятностей, соответственно, a и 1-`a, с числом степеней свободы, соответственно, f = 2r è f = 2r+2 (ñì.ïðèë.I).

Далее с учетом соотношения p(t)=1−q(t) могут быть определены границы доверительного интервала для вероятности безотказной работы p(t).

Таблица 8.11

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА l

ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Ïëàí

Нижняя

Верхняя

испытаний

доверительная

доверительная

граница

граница

[NUN]

cα2 (2)

ln(1-a)

c

2−α (2)

lna

ïðè N = 1

= -

1

= -

2t1

t1

2t1

t1

ïðè N > 1

lcα2 (2N)

lc

2−α

(2N)

2(N -1)

1

(

)

2 N

-1

[NUr]

lcα2 (2)

1

1

lc2−α (2)

1

1

ïðè r = 1

=

ln

1

=

ln

2

Nt1

1-a

2

Nt1

a

ïðè r > 1

lcα2 (2r)

lc2−α (2r)

1

2(r -1)

2(r -1)

[NUT]

c2−α (2)

1

1

ïðè r = 0

0

1

=

ln

2NT

NT

a

ïðè r > 0

lcα2 (2r)

lc2−α (2r +2)

1

2r

2r

[NUz]

lcα2 (2N)

lc

2−α (2N)

1

2N

2N

Таблица 8.12

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВЕЙБУЛЛА

Показатель

Нижняя

Верхняя

Примечание

надежности

доверительная

доверительная

граница

граница

Средняя

æ

V −α ö

æ

Vα ö

Значения Vα(N,r)

наработка tñð*

t * expç-

1

÷

t * expç-

÷

приведены в таблицах [8,28]

è

b * ø

è

b *ø

Гамма-

æ

V

γ

ö

æ

Vαγ ö

Значения Vαγ(N,r,g)

процентная

ç

-

1−α

÷

ç

÷

приведены в таблицах [8,28]

наработка

expçln a *

b *

÷

expçln a *

- b * ÷

è

ø

è

ø

tγ*

Вероятность

L(1-a,b*lna*/t)

L(a,b*lna*/t)

Значения L(a,z) -

безотказной

по номограммам [8,28]

работы p*(t)

145

8.3. Планирование определительных испытаний

Выборочный характер испытаний на надежность проявляется в том, что любое заключение о надежности партии, принимаемое на основе выборочного значения характеристик, не является абсолютным, а справедливо только с некоторой достоверностью. Тогда возникает задача так организовать испытания (в первую очередь - определить объем выборки n), чтобы достоверность результата была не ниже некоторого заданного значения.

С целью определения видов, объемов, режимов и продолжительности испытаний используются модели, устанавливающие взаимосвязь показателей надежности с характеристиками объекта, условиями испытаний и имеющимися возможностями и ресурсами. В целом планирование определительных испытаний включает определение целей, задач и объектов испытаний, этапов, видов, условий, объемов, последовательности и методов испытаний, определение технологии испытаний, перечня измеряемых параметров объекта и внешних воздействий, состава измерительных и испытательных средств, средств и методов регистрации и обработки экспериментальных данных и других параметров [8].

При планировании определительных испытаний в первую очередь необходимо найти объем выборки n, удовлетворяющий заданным достоверности γ и точности ε выборочной интервальной оценки неизвестного генерального параметра надежности и построить план испытаний. Величины n, ε è γ взаимосвязаны - при фиксированном объеме выборки n повышение достоверности γ приведет к расширению доверительных границ и наоборот. Увеличение объема статистических данных (n èëè N) всегда способствует повышению точности и достоверности оценки.

Высокую доверительную вероятность можно достичь при малом объеме статистики, но точность при этом будет сравнительно низкой, а доверительный интервал широким. Поэтому для планирования определительных

испытаний кроме доверительной вероятности γ должна задаваться желаемая величина половины доверительного интервала ε. Точность интервальной оценки ε в абсолютном выражении малоинформативна (например, оценки 130±100 ÷ è 16000±100 ÷ имеют одинаковую абсолютную погрешность 100 ÷, но вторая оценка, очевидно, гораздо точнее первой). Поэтому обычно задаются половиной доверительного интервала в относительном виде: ε0 = ε/t* (в приведенном примере точность оценки в первом случае

ε0 = 100/130 = 0,77, во втором - ε0 = 100/16000 = 0,0063.

При испытаниях изделия в целом или деталей, определяющих только внешний вид изделия, относительная погрешность ε0 обычно принимается в интервале от 0,15 до 0,20, доверительная вероятность γ - от 0,80 до 0,90, основных (базовых) элементов - ε0 = 0,10÷0,15, γ = 0,90÷0,95, элементов,

обеспечивающих безопасность изделия - ε0 = 0,05, γ = 0,95÷0,99 [8]. Кроме того, должен указываться вид доверительного интервала (одно-

или двухсторонний), для двухстороннего несимметричного интервала - еще и уровни значимости α è`α.

146

Задача нахождения необходимого объема выборки n (èëè r) для задан-

ных значений γ è ε0 строго решается только при простейшем потоке отказов. При этом из выражений (8.64) и (8.65) можно записать:

t

=

2r

= 1 + ε0,

t

=

2r

= 1 − ε0 .

(8.70)

t *

χα2 (2r)

t *

χ12−α (2r)

Оба уравнения (8.70) с помощью таблиц распределения χ2 (прил.I) необходимо решить относительно r и большее из двух полученных значений принять в качестве необходимого объема статистики (числа отказов). Таким образом определяется параметр r для планов типа [NUr], [NRr] èëè [NMr]. Этой величине равен также объем выборки n в случае плана [NUN]. Для планов [NUr], [NRr] èëè [NMr] необходимо также определить физический объем выборки N. Эта величина не сказывается на достоверности оценки, но влияет на длительность испытаний, т.е. на время, за которое будут получены необходимые r отказов (чем больше число испытываемых объектов N, тем за меньшее время будет достигнуто число отказов r). Поэтому в указанных планах величина N назначается по возможности большей по сравнению с величиной r. Однако число N обычно ограничи- вается сверху экономическими и техническими соображениями: объемом партии и максимальной долей изделий, подвергаемых испытаниям (обычно число испытываемых изделий составляет от 1 до 10% от объема партии).

При планах типа [NUT], [NRT] è [NMT] объем испытаний определяется числом испытываемых объектов N и продолжительностью испытаний T. Время испытаний связано с числом отказов (за большее время произойдет большее количество отказов, что повысит точность и достоверность интервальной оценки), но эта связь устанавливается через ожидаемое значе-

ние средней наработки при испытаниях tîæ:
NT = rtîæ/k(r,γ).	(8.71)

Величина tîæ может быть приближенно известна из предварительных расчетов надежности или сопоставления с изделиями-аналогами. Прибли-

женность выражения (8.71) учитывает коэффициент k(r,γ), значение кото-

рого (прил.I) зависит от числа отказов r и доверительной вероятности γ (вероятности того, что объем испытаний обеспечит требуемые достоверность и точность оценки). Таким образом, при планах [NUT], [NRT] è [NMT] предварительно по уравнениям (8.70) вычисляются необходимое число отказов r, по экономическим или техническим соображениям определяется количество испытываемых объектов N, а затем по формуле (8.71) определяется время испытаний T.

В случаях, когда распределение наработки отличается от экспоненциального, достаточно простых алгоритмов планирования не существует. При этом либо пользуются рекомендациями для экспоненциального распределения, либо параметры плана назначаются произвольно. В первом случае достоверность и точность интервальной оценки могут оказаться существенно отличными от заданных, во втором - достоверность полученных результатов вообще не прогнозируется. Однако получаемая при испы-

147

Таблица 8.13

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПЛАНОВ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ СРЕДНЕЙ НАРАБОТКИ

Ïëàí

Предполагаемое

Формулы для определения

Примечание

испытаний

распределение

параметров плана

Значение c2(2N)

[NUN],

Экспоненциальное

2N

=1+ e0

cα2 (2N)

определяется

[NUz]

по таблицам

Вейбулла

2N

= (1 + e0 )

b

Значение c2(2N)

cα2 (2N)

определяется

по таблицам

Нормальное

(

)

= e0

Значение Tγ(N-1)

Tγ

N

-1

определяется

2

N

v

по таблицам

γ

Логарифмически-

æ uγ

ö

Значение u

нормальное

2

2

определяется

N = ç ÷ ln(v

+1)

1+0,5ln(v

+1)

è e

0

ø

[

]

по таблицам

[NUr]

Экспоненциальное

2r

= 1 + e0 ,

N = r n

Значение c2(2r)

cα2 (

2r)

определяется

по таблицам

Вейбулла

2r

= (1 + e0 )b,

N = r n

Значение c2(2r)

cα2 (2r)

определяется

по таблицам

Нормальное

Tγ

(

r -

)

=

e0

N = r n

Значение Tγ(r-1)

1

,

определяется

r

v

по таблицам

таниях информация может быть использована для дальнейшей коррекции

плана испытаний (например, для определения объема дополнительной вы-

борки).

В табл.8.13 приведены формулы для расчета параметров планов испы-

таний [NUN], [NUr] è [NUz] для оценки средней наработки [8]. Предпола-

гается, что известен вид распределения наработки, ожидаемый коэффици-

ент вариации v (для распре-

n

v

делений

Вейбулла

è

íîð-

28

e0=0,05

0,10

мального)

и степень

цензу-

26

0,15

0,15

рирования ν=r/N. Â ãë.6

24

приведены

ожидаемые

âèäû

22

e0=0,20

0,20

распределения и

ориентиро-

20

вочные

значения

коэффици-

18

0,25

ента вариации в зависимости

от характера отказов, усло-

16

âèé

эксплуатации,

режима

14

0,30

нагружения и технологии из-

12

0,90

готовления

испытываемых

10

0,35

изделий [18].

8

g=0,95

Äëÿ

определения

объема

6

0,40

выборки

планов

испытаний

4

g=0,80

[NUN], [NUr] è [NUz] ïðè

2

0,45

нормальном распределении и

0

e0/v

распределении

Вейбулла

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

можно также воспользоваться

Рис.8.6 Номограмма планирования объема

номограммами (рис.8.6 и 8.7).

и оценки результатов определительных испытаний

Пример 8.18. При определе-

для нормального закона распределения наработки

										148
n									v	n						v
							0,15				0,15
60									0,55	60						0,5
							ε0=0,20
	ε0=0,10
50									0,65	50						0,6
											ε0=0,20
40									0,75	40						0,7
30								γ=0,95	0,85	30					ε0=0,10	0,8
20							0,90		0,95	20	γ=0,975					0,9
						γ=0,80					0,90
10									1,05	10						1,0
0										00,5		γ=0,90
	1,0	1,1	1,2			1,3	1,4	1,5	1,6		0,6		0,7	0,8	0,9	1,0
		(1 + ε		0	)b	= 2n χ2 (2n)					(1 + ε	0	)b = 2n χ2		(2n)
							α							1− α
						à)							á)
		Рис.8.7. Номограмма планирования объема и оценки результатов испытаний
						для распределения наработки по закону Вейбулла
			(а - для двусторонней оценки, б - для односторонней оценки)

нии средней наработки с погрешностью ε0=0,1 и доверительной вероятностью γ=0,8 при ожидаемом коэффициенте вариации v=0,2 для нормального распределения по номограмме на рис.8.6 минимальный объем выборки n=8. При распределении Вейбулла при определении средней наработки с относительной погрешностью ε0=0,2 и уровнем значимости α=0,1 при ожидаемом значении коэффициента вариации v=0,65 по номограммам на рис.8.5 для двусторонней оценки (γ=0,8) минимальный объем выборки n=25, для односторонней оценки (γ=0,9) n=10.

Для плана [NUT] параметры N è T определяются по схеме [8]:

-для заданных значений погрешности e0, доверительной вероятности g

èкоэффициента вариации v (для распределений Вейбулла и нормального) определяются параметры N è r плана [NUr] (ñì.òàáë.8.13);

-для найденных параметров N è r вычисляется коэффициент h = T/tñð по формулам:

для распределения Вейбулла:

é	æ	N + 0,5 öù1 b		é	æ		1ö
h = êlnç			÷ú	êGç1		+			÷
ë	è N + 0,5 - røû			ë	è			bø

для нормального распределения:

h = 1 + uνv,

ãäå Γ(x) - гамма-функция (прил.I), uν - квантиль нормального

ù−1

ú ; (8.72)

û

(8.73) распределения уровня ν.

- находится параметр плана T = htñð.

После испытаний необходимо проверить соответствие полученного зна- чения коэффициента вариации v* прогнозируемому значению v (за исклю- чением экспоненциального распределения). Если окажется, что v*>v, то испытания необходимо перепланировать.

Различные планы испытаний используются для определения показателей надежности различных технических объектов и с различными целями. Планы [NMr] è [NMT] применяются для испытаний только восстанавли-

149

ваемых изделий. Планы [NUr] è [NUT] универсальны и используются независимо от восстанавливаемости изделий. При этом испытания восстанавливаемых изделий по первым двум планам дают некоторый выигрыш в трудоемкости и достоверности.

Планы испытаний до заданного числа отказов по сравнению с планами испытаний по времени надежнее обеспечивают заданную точность и достоверность интервальной оценки, однако их продолжительность не ограни- чена заранее и может оказаться значительной. Планы по времени, наоборот, гарантируют заданную длительность испытаний, но могут не обеспе- чить требуемых точности и достоверности.

Ïëàí [NUN] обеспечивает минимальное количество физических образцов изделий, подвергаемых испытаниям (при заданных точности и достоверности), однако продолжительность испытаний может оказаться очень большой. В то же время это единственный план, который обеспечивает получение полной выборочной совокупности (t1,t2,...,tn), необходимой для правильного выявления распределения и интервального оценивания.

Для непосредственного оценивания вероятностей безотказной работы p(t) или отказа q(t) при неизвестном законе распределения наработки оптимальным является план [NUT], причем в качестве T принимается время (наработка), за которое необходимо выполнить оценку.

При планировании и обработке результатов испытаний по планам типа [...R...] можно воспользоваться тем, что их результаты могут быть сведены к результатам испытаний по планам типа [...U...] путем переноса начала испытаний каждого объекта к некоторому условному началу испытаний всех объектов одновременно. Планы типа [...M...] можно также интерпретировать как планы [...U...], если положить, что каждая наработка между отказами соответствует наработке до отказа условных невосстанавливаемых объектов и восстановление объектов после отказа полное [8].

8.4. Непараметрическая оценка показателей надежности

Непараметрические методы позволяют оценить показатели безотказности или долговечности при отсутствии информации о виде закона распределения наработки до отказа и объем имеющихся данных не позволяет достаточно обоснованно выбрать какое-либо параметрическое распределение или оценить параметры распределения.

Если тип потока отказов неизвестен и интенсивность отказов не постоянна, для оценки значений вероятностей безотказной работы или отказа следует проводить их непосредственную оценку, используя план [NUT]. При этом в качестве длительности испытаний T принимается время, за которое требуется оценить показатели надежности p(t) è q(t). При этом их оценки производятся по формулам:

p*(t) = 1−r(t)/n,

q*(t) = r(t)/n.

(8.74)

Если при этом не требуется получение оценки средней наработки t*, то значения наработок ti (i=1,2,...,n) могут не регистрироваться.

150

Если испытания для оценки t* проводились по другому плану, возможно оценивание значений p(t) è q(t) за время t, не большее, чем T èëè tr. Для этого выборочная совокупность наработок {ti} ранжируется в порядке возрастания. Оценка значений вероятностей безотказной работы p(t) и отказа q(t) производится по формулам (8.74), в которых в качестве параметра r(t) используется количество значений наработок, не превосходящих заданного времени t.

Упорядоченная совокупность наработок {ti} необходима и для оценки

интенсивности отказов λ на отрезке времени от t äî t+				t:
λ * (t, t + t) =	r (t + t) − r(t)		.	(8.75)
		t[n − r(t)]

Дискретно изменяя время t с шагом t, по формулам (8.74) и (8.75)

можно получить временные зависимости p*(t), q*(t) è λ*(t,t+ t).

Для точечной оценки показателей надежности непараметрическими методами по результатам определительных испытаний на надежность в об-

щем случае объем выборки должен быть больше пяти (n>5), ïðè n≤5 рас- считывается только нижние доверительные границы показателей [13].

Общим для непараметрических методов является оценка показателей надежности по общему вариационному ряду, в котором наработки до отказа или цензурирования выстроены в порядке неубывания. При этом особую группу непараметрических методов составляют методы, использующие информацию о классе или семействе закона распределения.

8.4.1. Множительная оценка показателей надежности

Множительная оценка показателей надежности вычисляется в случа- ях, когда неизвестны вид и характер распределения наработки. Точечные оценки показателей безотказности вычисляются по формулам, приведенным в табл.8.14 [8].

Таблица 8.14

МНОЖИТЕЛЬНАЯ ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Показатель

Точечная оценка

Примечание

надежности

Средняя

r

t0 = 0, zN = max(tr,τn),

наработка

åti[ F(ti)] + [1 − F * (tr )]zN

F(t ) = F*(t ) - F*(t

i-1

).

до отказа tñð

i=0

i

i

Гамма-процентная

F*(ti-1) ≤ 1−γ ≤ F*(ti),

наработка

ati + (1−a)ti-1

1 − γ − F * (ti−1)

до отказа tγ

a =

,

F * (ti ) − F * (ti−1)

i = 1,2,...,r,

t0 = 0

Вероятность

ti-1

≤ t ≤ ti,

t ≤ tr,

безотказной

bp*(t ) + (1−b)p*(t

i-1

)

t − t

−

1

работы p(t)

i

b =

i

t − t

i

i−1

Ï ð è ì å ÷ à í è å :

При небольших объемах выборки и

высоких

значениях

γ>p*(t1) оценка гамма-процентной наработки оказывается заниженным.