надежность машин и оборудования

131

t* = a * G	æ	+	1 ö		= 161, G	æ	+	1 ö		= 161,	G (1,34) = 161, × 0,892 = 1,44,
	ç			÷		ç			÷
	1		b *ø			1		2,9ø
	è					è

где G(1,34) » 0,892 - значение гамма-функции (см.прил.I);

- вероятности безотказной работы p(t) за наработку t = 1,0 òûñ.êì

é

æ

t ö

b* ù

é

æ

1

ö

2,9

ù

p * (t) = 1,0 = expê-ç

÷

ú

= exp ê-ç

÷

ú = 0,775;

ê

è a *ø

ú

ê

è

161, ø

ú

ë

û

ë

û

- интенсивности отказов l(t) за наработку t = 1,0 òûñ.êì

l * (t) =

b *

× tb*−1 =

2,9

×12,9−1

= 0,729.

b*

2,9

a *

161,

Пример 8.11 [8] По результатам расчетов примера 8.5 для распределения Вейбулла с параметрами a*=1,60 è b*=3 оценка среднего ресурса по формуле табл.8.7:

æ		1 ö			æ		1ö		= 161, × G (133, ) = 160,
t* = a * G ç1	+		÷	= 160,	× G ç1	+		÷		× 0,893 = 1,43,
è		b *ø			è		3ø

где G(1,34) » 0,893 - значение гамма-функции (см.прил.I).

Пример 8.12 [13]. По данным и результатам расчетов примера 8.6 для распределения Вейбулла определить среднюю наработку до отказа и вероятность безотказной ра-

боты за наработку 100 ÷.

По формулам табл.8.7 при a*=134,29 è b*=3,06 оценки средней наработки и вероятности безотказной работы за наработку 100 ÷

t* = a * G

æ

+

1 ö

= 134,29 × G

æ

+

1

ö

= 134,29 × G (1,485) = 134,29 × 0,885 = 118,85,

ç

÷

ç

÷

1

b *ø

1

2,06ø

è

è

é

æ

t ö

b* ù

é

æ

100 ö

2,06

ù

p * (t) = 1,0 = expê-ç

÷

ú

= exp ê-ç

÷

ú = 0,58;

ê

è a *ø

ú

ê

è

134,29ø

ú

ë

û

ë

û

где G(1,34) » 0,893 - значение гамма-функции (см.прил.I).

8.2.4. Выявление закона выборочного распределения

Вид функции распределения наработки часто заранее не известен и должен определяться по эмпирическим данным. Предположение (статистическая гипотеза) о виде функции распределения F(t) наработки t может быть сделано из анализа экспериментальных данных или каких-либо дополнительных соображений (например, из физической сущности процессов и явлений).

В общем случае задача выявления закона выборочного распределения состоит в выборе на основании выборочной совокупности значений слу- чайной величины объемом n наиболее подходящего теоретического распределения и определении характеристик этого распределения. Теоретиче- ское распределение должно наилучшим образом аппроксимировать эмпирическое выборочное распределение.

Для точного определения вида выборочного распределения наработки при определительных испытаниях нужно дать доработать до отказа всем изделиям в выборке. Это возможно только при плане испытаний [NUN]. В остальных случаях наибольшие значения случайных наработок не будут зафиксированы, так что выборочная совокупность окажется искаженной, что исказит и выявление закона распределения. Это обстоятельство необходимо учитывать при выборе плана определительных испытаний.

132

Выбор аппроксимирующего распределения для выборочной совокупности случайной наработки может производиться либо по виду статистиче- ского распределения, либо графическим методом с использованием вероятностных координатных сеток.

Тип функции распределения при анализе экспериментальных данных обычно устанавливается по внешнему виду статистических графиков - гистограммы, построенной на небольших интервалах изменения случайной величины, или аппроксимирующей кривой.

Для построения статистических графиков выборочная совокупность (t1,t2,...,tn) преобразуется в вариационный ряд (t(1),t(2),...,t(n)). При этом случайные значения ti ранжируются, т.е. упорядочиваются в порядке возрастания (включая одинаковые), т.е. t(i+1) ³ t(i). Разность максимального и минимального значений вариационного ряда - размах варьирования

Rt = t(n)-t(1)	(8.39)
разбивается на k достаточно малых (обычно	одинаковых) интервалов

Dt=Rt/k (границы интервалов удобно привязывать к целым или круглым значениям переменной t).

Число интервалов k и их величина Dt должны удовлетворять противоречивым требованиям: чем больше значение k, тем плавнее будет статистический график, однако, если интервалы будут очень малы, то некоторые из них могут оказаться пустыми и плавность графика также не будет достигнута. Размер интервалов выбирается таким, чтобы в каждый интервал попадало в среднем не менее 3-5 значений t(i), а число интервалов k было не менее 5-10. Рекомендуется, чтобы для первого и последнего интервалов выполнялось неравенство npi*³1, для остальных - npi*³5 (обычно 5£k£20). Можно также воспользоваться соотношениями: k»1+3,21×ln(n) [19,20], k»1+3,3×lg(n) [9,18] èëè k»4×[0,75(n-1)2]0,2 (ïðè n>200) [21-23]. Если значения t(i) в основном сосредоточены в одной области размаха варьирования, можно сделать интервалы неодинаковыми: малыми в области группирования t(i) и большими за ее пределами.

Для группирования по интервалам подсчитывается количество членов

вариационного ряда Dnj (j=1,2,...,k), попадающих в каждый интервал (если некоторые значения попадают на границы интервалов, то они засчитываются поровну в каждый из них). Высота прямоугольника в гистограмме пропорциональна статистической частоте в интервале

f* =	nj	=	nj	.	(8.40)
j	nDtj		k
			Dtj å Dnj

j =1

или (при одинаковых интервалах Dtj) вероятности попадания случайной величины в j-й интервал

p*	=	nj	=	nj	.	(8.41)
j		n		k
				åDnj

j =1

		133
f*
f4*
f3*
à)
f2*
f1*
				t
Fj*
1
á)
		F4
F2	F3
F1
				t
F*
1
Fj*
â)
		1/n
t(1) t(2) ...		t(i)	t(N)	t
Рис.8.4. Выявление закона выборочного распределения:

à- гистограмма наработки, б - статистическая функция распределения,

â- несгруппированная статистическая функция распределения.

134

Ступенчатый график fj*(t) (рис.8.4а) образует гистограмму наработки. Статистические оценки характеристик распределения определяются по формулам (8.4)-(8.7), которые для гистограммы можно представить в виде:

k			k
M * (t) = å		p*j ,	D * (t) = å[		− M * (t)]2p*j ,
	tj			tj		(8.42)
j=1			j=1
ãäå`tj - середина j-го интервала.			функции распределения Fj*(t) â
Величину статистической						верхней

точке j-го интервала можно определить как накопленную частоту

	j	j	ni	j
	Fj*(tjmax )= åpi* = å			= å Fi ,	(8.43)
			n
	i=1	i=1		i=1

т.е. в виде относительной суммы количества значений вариационного ряда, меньших tjmax. Соседние точки на графике Fj*(t) соединяются прямыми отрезками (рис.8.4б).

Не прибегая к группированию можно построить несгруппированную статистическую функцию распределения. Интегральная функция распределения F(t) в некоторой точке t - вероятность того, что случайная наработка примет значение меньшее или равное t. Очевидно, статистической оценкой этой вероятности является отношение количества значений ва-

риационного ряда, меньших t, к общему числу значений, т.е.
F*(t) = n(ti≤t)/n.	(8.44)

Следовательно, несгруппированная функция F*(t) ступенчато увеличи- вается на величину 1/n при переходе через каждое значение вариационного ряда t(i) и остается на этом уровне до следующего значения t(i+1) (рис.8.4в). Несгруппированная функция более точно отображает выбороч- ную совокупность по сравнению со сгруппированной.

Сравнивая вид полученных статистических графиков f*(t) èëè F*(t) с видом графиков плотности вероятности или интегральной функции теоретических распределений, выбирается наиболее подходящий закон, для которого затем производится количественная проверка согласия.

Пример 8.13. По результатам испытаний 50 объектов по плану [NUN] (табл.8.8) определить вид распределения наработки.

Для определения вида выборочного распределения и определения его параметров необходимо построить гистограмму. Разность максимального и минимального значений

вариационного ряда - размах варьирования (8.39) Rt = 169,71-32,22=137,49. Границы интервалов удобно привязать к целым значениям переменной t через 20 ÷: 20, 40, 60,

80, 100, 120, 140, 160 è 180 ÷.

Границы интервалов, количество членов вариационного ряда, попадающих в каждый

интервал nj (j=1,2,...,8) и статистическая частота fj*= nj/(n tj) представлены в табл.8.9. На рис.8.5а показана гистограмма, построенная по результатам группирования.

На рис.8.5б представлен график статистической функции распределения Fj*(tjmax), значения которой (табл.8.9) для правых границ интервалов рассчитаны по формуле (8.43). Значения несгруппированной статистической функции распределения (8.44) представлены в табл.8.8 и рис.8.5в.

Примерная симметричность гистограммы (рис.8.4а) и вид графиков функции распределения (рис.8.5б и 8.5в) позволяет предположить нормальный закон распределения. По формулам (8.41) и (8.42) получаем оценки математического ожидания, диспер-

сии и среднего квадратического отклонения: μ* = M*(t) ≈ 98,8 ÷, σ*2 = D*(t) ≈ 866,6 ÷2, σ* ≈ 29,4 ÷.

135

							Таблица 8.8
	РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ И ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
i	ti	F*(ti)	uF*	St, ìì	SF, ìì	F(ti)	|F(ti)-F*(ti)|
1	31,22	0,02	-2,054	1,409	-33,106	0,0192	0,0008
2	34,79	0,04	-1,751	5,522	-28,221	0,0250	0,0150
3	40,85	0,06	-1,555	12,514	-25,063	0,0383	0,0217
4	42,65	0,08	-1,405	14,593	-22,650	0,0433	0,0367
5	52,10	0,10	-1,282	25,494	-20,659	0,0780	0,0220
6	54,11	0,12	-1,175	27,823	-18,941	0,0876	0,0324
7	60,75	0,14	-1,080	35,479	-17,415	0,1254	0,0146
8	67,48	0,16	-0,994	43,244	-16,031	0,1741	0,0141
9	67,82	0,18	-0,915	43,633	-14,756	0,1768	0,0032
10	68,24	0,20	-0,842	44,125	-13,567	0,1803	0,0197
11	69,80	0,22	-0,772	45,921	-12,448	0,1933	0,0267
12	82,85	0,24	-0,706	60,979	-11,386	0,3235	0,0835
13	83,75	0,26	-0,643	62,014	-10,371	0,3337	0,0737
14	85,05	0,28	-0,583	63,519	-9,395	0,3486	0,0686
15	85,47	0,30	-0,524	64,001	-8,453	0,3535	0,0535
16	85,59	0,32	-0,468	64,140	-7,539	0,3549	0,0349
17	87,39	0,34	-0,412	66,215	-6,649	0,3760	0,0360
18	92,47	0,36	-0,358	72,079	-5,778	0,4375	0,0775
19	95,05	0,38	-0,305	75,056	-4,924	0,4695	0,0895
20	97,64	0,40	-0,253	78,048	-4,084	0,5018	0,1018
21	97,80	0,42	-0,202	78,236	-3,255	0,5038	0,0838
22	98,46	0,44	-0,151	78,994	-2,434	0,5120	0,0720
23	99,06	0,46	-0,100	79,681	-1,619	0,5194	0,0594
24	101,51	0,48	-0,050	82,511	-0,808	0,5499	0,0699
25	101,80	0,50	0,000	82,850	0,000	0,5535	0,0535
26	103,30	0,52	0,050	84,572	0,808	0,5719	0,0519
27	104,24	0,54	0,100	85,659	1,619	0,5834	0,0434
28	104,60	0,56	0,151	86,077	2,434	0,5878	0,0278
29	106,04	0,58	0,202	87,740	3,255	0,6052	0,0252
30	108,01	0,60	0,253	90,013	4,084	0,6287	0,0287
31	108,29	0,62	0,305	90,334	4,924	0,6320	0,0120
32	108,59	0,64	0,358	90,683	5,778	0,6356	0,0044
33	109,38	0,66	0,412	91,591	6,649	0,6448	0,0152
34	110,63	0,68	0,468	93,033	7,539	0,6592	0,0208
35	111,75	0,70	0,524	94,324	8,453	0,6719	0,0281
36	111,90	0,72	0,583	94,505	9,395	0,6737	0,0463
37	116,14	0,74	0,643	99,389	10,371	0,7199	0,0201
38	116,76	0,76	0,706	100,107	11,386	0,7264	0,0336
39	118,77	0,78	0,772	102,426	12,448	0,7469	0,0331
40	119,48	0,80	0,842	103,245	13,567	0,7539	0,0461
41	126,54	0,82	0,915	111,390	14,756	0,8179	0,0021
42	126,94	0,84	0,994	111,859	16,031	0,8212	0,0188
43	128,15	0,86	1,080	113,255	17,415	0,8310	0,0290
44	131,91	0,88	1,175	117,589	18,941	0,8589	0,0211
45	133,10	0,90	1,282	118,965	20,659	0,8671	0,0329
46	134,97	0,92	1,405	121,123	22,650	0,8792	0,0408
47	137,12	0,94	1,555	123,597	25,063	0,8921	0,0479
48	155,94	0,96	1,751	145,310	28,221	0,9661	0,0061
49	157,30	0,98	2,054	146,880	33,106	0,9692	0,0108
50	169,71	1,00		161,203		0,9880	0,0120

136

					ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРАФИКОВ						Таблица 8.9
Номер	Границы											Расчетное
интер-	интервалов				nj	fj*	Fj	Fj*(tjmax)	F(tjmin)	F(tjmax)	pj	число
âàëà,	t	min	t	max								попаданий,
												npj
j	j		j
	−∞		20		0	0	0	0	0,0000	0,0077	0,0077	0,39
1	20		40		2	0,002	0,04	0,04	0,0077	0,0362	0,0285	1,42
2	40		60		4	0,004	0,08	0,12	0,0362	0,1206	0,0844	4,22
3	60		80		5	0,005	0,10	0,22	0,1206	0,2922	0,1716	8,58
4	80		100		12	0,012	0,24	0,46	0,2922	0,5311	0,2389	11,95
5	100		120		17	0,017	0,34	0,80	0,5311	0,7590	0,2279	11,39
6	120		140		7	0,007	0,14	0,94	0,7590	0,9079	0,1489	7,45
7	140		160		2	0,002	0,04	0,98	0,9079	0,9746	0,0667	3,33
8	160		180		1	0,001	0,02	1,00	0,9746	0,9950	0,0204	1,02
	180			∞	0	0	0	1	0,9950	1,0000	0,0050	0,25
			+

Вид и параметры распределения могут быть также определены графи- ческим методом с помощью вероятностных координатных сеток с нелинейным масштабом по координатным осям после нанесения на них экспериментальных данных (прил.II) [24-26]. Так как при использовании графи- ческого метода для любого распределения график функции распределения приобретает вид прямой, то для ее более точного построения и определения координат точек пересечения с осями и параметров распределения можно воспользоваться методом (способом) наименьших квадратов

(ïðèë.III).

Построение по данным приведенного примера показывает (прил.II), что в вероятностных координатах для нормального закона результаты испытаний в виде точек располагаются вдоль прямой линии, что подтверждает правильность выбора закона распределения.

Коэффициенты аппроксимирующего линейного уравнения y =ax+b могут быть найдены по формулам метода наименьших квадратов (прил.III). Подстановка значений для 50 точек примера 8.13 и вычисления (см.прил.II) дают приближенные значения мате-

матического ожидания и среднего квадратического отклонения наработки μ ≈ 97,44 ÷, σ ≈ 31,95 ÷. Окончательно можно принять μ = 97,5 ÷ è σ = 32,0 ÷.

8.2.5. Проверка статистических гипотез

После выбора теоретического закона распределения, наиболее близкого к статистическому, и оценки его параметров производится количественная оценка справедливости аппроксимации. Проверка статистических гипотез, т.е. проверка соответствия значений случайной величины предполагаемой функции распределения, осуществляется с помощью критериев согласия.

Критерий Стьюдента служит для сравнения среднего арифметического случайной величины tñð c математическим ожиданием распределения:

T =			tñð − M(t)			.	(8.45)
			σ

Полученное значение сравнивается с критическим (табличным) Têð(f,γ), выбираемым по числу степеней свободы f = n−1 и значению доверитель-

ной вероятности γ (ïðèë.I). Åñëè T ≤ Têð(f,γ), то гипотеза о виде функции распределения принимается. В случае отрицательного результата необходимо пересмотреть гипотезу о функции распределения или изменить параметры плана испытаний.

137

f*

0,016

0,014

0,012

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

t

F*
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	t

F*

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

t

Рис.8.5. Построение статистических графиков (к примеру 8.13):

à- гистограмма наработки, б - статистическая функция распределения,

â- несгруппированная статистическая функция распределения.

138 Пример 8.14. Для примера 8.13 значение критерия Стьюдента по формуле (8.45)

T =	tñð − μ	=		98,86 − 97,5		= 0,0425	,
	σ		32,0

ãäå tñð = 98,86 ÷ - среднее арифметическое наработок.

Табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы f = n−1 = 49 и принятом значении доверительной вероятности γ = 0,95 Têð(f,γ) = 1,677 (ñì.ïðèë.I). Òàê êàê T < Têð(f,γ), то гипотеза о виде функции распределения принимается.

Критерий Пирсона (критерий соответствия) c2 определяет отклонение истинного распределения от гипотетического и позволяет проверить соответствие экспериментальных данных предполагаемой функции. Расчетное значение критерия - сумма относительных расхождений фактического и расчетного чисел наблюдения случайной наработки в каждом интервале

	k+1(Dnj - npj )2			k+1(Dnj )2
c2	= å	np	j	= å	np	- n	(8.46)
	j=0			j=0	i

сравнивается с табличным критическим значением c2êð(f,g) (прил.I) для числа степеней свободы f = n-c-1 и доверительной вероятности g или

уровня значимости a = 1-g (где c - количество используемых выборочных оценок параметров проверяемого теоретического распределения). Гипотеза

о функции распределения принимается, если c2 < c2êð(f,g). Величина доверительной вероятности обычно принимается не менее 0,9.

Для использования критерия согласия Пирсона необходимо знать все параметры проверяемого распределения, чтобы можно было вычислить значения его теоретической интегральной функции F(t) в любой точке t. При оценке согласия вместо теоретических значений параметров распре-

делений используются их выборочные точечные оценки (t* è s*).

Если выборочная совокупность была сформирована при испытаниях по плану [NUN], оценкой математического ожидания является среднее арифметическое, при других планах испытаний в качестве оценки можно использовать точечные оценки средней наработки (8.35)-(8.38), однако достоверность выявленного распределения при этом будет довольно низкой.

Оценка среднего квадратического отклонения

1

n

(

)2

n

æ

1

n

2

2

ö

ç

÷

s* =

=

åti

- t *

(8.47)

n - 1

å ti - t *

n - 1

ç

÷ .

i

=

è n

i

=

ø

1

1

В случае логарифмически-нормального распределения в качестве параметров распределения используются среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение логарифма наработки.

При проверке согласия по критерию Пирсона обычно используются интервалы, выделенные для группирования вариационного ряда. Величина теоретической вероятности попадания случайной наработки в j-й интервал:

pj = P(tjmin£t£tjmax) = F(tjmax) - F(tjmin).

(8.48)

Поскольку теоретическая случайная наработка t может принимать зна- чения от 0 до ¥, а интервалы группирования охватывают только размах вариационного ряда Rt (8.39), необходимо по формуле (8.48) также вычис-

139

лить теоретическую вероятность для "нулевого" интервала (j=0) с границами от t0min=0 äî t0max=t1min è (k+1)-го интервала с границами от

tk+1min=tkmax äî tk+1max=∞. Понятно, что для j=0 è j=k+1 всегда nj=0.

Пример 8.15. Для определения критерия Пирсона по данным примера 8.13 можно использовать те же интервалы, что и при построении гистограммы. Расчетные значения

вероятности попадания наработки в каждый интервал pj и ожидаемого числа попаданий npj приведены в табл.8.9. Значения F(tjmax) è F(tjmin) рассчитаны по принятым значе- ниям μ = 97,5 è σ = 32,0. Критерий Пирсона

χ2 = (22/1,42) + (42/4,22) + (52/8,58) + (122/11,95) + + (172/11,39) + (72/7,45) + (22/3,33) + (12/1,02) − 50 = 5,69.

Табличное значение критерия при числе степеней свободы f = n−c−1 = 50−2-1 = 47 и доверительной вероятности γ = 0,95 χ2êð(f,γ) = 32,3 (ñì.ïðèë.I) . Òàê êàê χ2 < χ2êð(f,γ), то гипотеза о функции распределения принимается.

Критерий Колмогорова позволяет оценить допустимость максимального отклонения гипотетической (расчетной) функции распределения F(t) от значений, полученных по экспериментальным данным. Для проверки максимальное отклонение

D = max|F(t)−F*(t)|.

(8.49)

сравнивается с критическим значением Dêð(n,α), которое выбирается по таблицам исходя из числа экспериментов n и уровня значимости α (см.прил.I). Гипотеза принимается, если D < Dêð(n,α). В качестве статистической интегральной функции распределения F*(t) предпочтительно использовать несгруппированную функцию распределения как наиболее подробно отображающую выборочную совокупность {ti}.

Критерий Колмогорова удобнее использовать в случае, когда выбор вида распределения производится по координатным сеткам. При этом не обязательно заранее вычислять параметры проверяемого распределения и строить его график, - достаточно провести прямую линию, наилучшим образом проходящую через множество точек (ti,Fi*) и в качестве максимального расхождения (8.49) взять максимальное (с учетом нелинейности масштаба) отклонение экспериментальных точек от этой линии. Применение критерия Пирсона удобнее, если на этапе выбора закона распределения F(t) производилось группирование экспериментальных данных и строилась гистограмма.

Пример 8.16. Допустимость максимального отклонения расчетной функции рас-

пределения F(t) от значений, полученных по экспериментальным данным F*(t) примера 8.13 определяем по критерию Колмогорова (8.49). Значения отклонения

|F(t)−F*(t)| для всех 50 точек приведены в табл.8.8. Из таблицы следует D =

max|F(t)−F*(t)| = 0,1018. Òàê êàê D < Dêð(n,α) = Dêð(50,α) = 0,188 (см.прил.I), то гипотеза о функции распределения принимается.

Из рассмотренных критериев наибольшей достоверностью обладает критерий Пирсона, поскольку он учитывает расхождение теоретической и статистической интегральных функций распределения во всем диапазоне изменения случайной наработки.

8.2.6. Интервальное оценивание показателей надежности

Исходными данными для интервального оценивания служат выборочная точечная оценка средней наработки t* и вид распределения случайной наработки (или ресурса).

140

Точечная выборочная оценка t* является случайной величиной и меняется от выборки к выборке, так что генеральная средняя наработка есть математическое ожидание выборочной оценки. Если бы было известно рас-

пределение величины t* (функции`f(t*) èëè`F(t*)), можно было бы записать

g = P(

t

£ t £

) =

òt

(t *)dt * =

(

) -

(

t

) .

t

f

F

t

F

(8.50)

t

Выявление вида распределения`f(t*) по экспериментальным данным потребовало бы совокупности выборочных средних {tj*}, для чего нужно испытать соответствующее количество независимых выборок. Поэтому вид распределения`f(t*) и его параметры устанавливаются косвенным путем.

Ïðè нормальном è усеченном нормальном распределении наработки t

выборочное среднее t* также распределено нормально при любом объеме выборочной совокупности n, причем среднее квадратическое отклонение

выборочных средних st â n раз меньше среднего квадратического отклонения случайной величины в выборке

st = s		.
	n		(8.51)

Для одностороннего доверительного интервала, ограниченного сверху

		æ t - t *			e ö
g = 1 - a = P(t £ t * +e) = P(t - t* £ e) = Pç			st	£		÷ .	(8.52)
è					st ø

Последнее равенство в выражении (8.52) по сути есть определение интегральной функции распределения случайной величины (t−t*)/st âèäà F(t)=P(t£t0). Следовательно, g = 1-`a - значение функции распределения и величину e/st в выражении (8.52) можно заменить на такое значение аргумента функции распределения, при котором она равна g. Значение аргумента zγ, при котором функция распределения принимает значение g, называется квантилью распределения вероятности g.

Для нормального закона квантилью вероятности g является нормиро-

ванное и центрированное значение аргумента uγ:
P º F	(z	γ	) = Pæ	t - M[t]		£ z	ö .	(8.53)
0			ç	s			γ ÷
			è				ø

Ïðè ýòîì F0(−z) = 1-F0(z), ò.å. z1−γ=-zγ.

Квантили нормального распределения приведены в прил.I.

Так как величина t* распределена нормально, то вместо величины e/st в выражении (8.52) можно записать квантиль нормального распределения

вероятности 1-`a. Тогда с этой вероятностью будет выполняться неравенство

t − t* £ zγ = z

èëè t£t*+z

σ

=t*-z

σ

.

(8.54)

n

st

1−α

1−α

α

n

Правая часть второго неравенства (8.54) - верхняя доверительная граница одностороннего интервала с уровнем значимости`a: