надежность машин и оборудования

151

Оценки p*(ti) è F*(ti) вычисляются следующим образом [8,29,30]:

-наработки до отказа и цензурирования выстраиваются в общий вариационный ряд в порядке неубывания (если некоторые значения наработки до отказа равны значениям наработки до цензурирования, то сначала указываются наработки до отказа);

-для каждой наработки ti (i=1,2,...,r) вычисляются оценки вероятности безотказной работы p*(ti) и функции распределения F*(ti) = 1-p*(ti):

для планов [NUN], [NUr] è [NUT]

p*(ti) = i/N,

для плана [NUz]
p * (t ) =	∏	æ1 -	1	ö	=	∏	Nk	,
				÷
i		ç
	tk £ti	è	Nk + 1ø			tk £ti	Nk + 1

ãäå Nk - число работоспособных объектов после отказа при наработке tk.

(8.76)

(8.77)

Для планов [NUN], [NUr] è [NUT] оценка (8.77) переходит в (8.76).

Формулы для множительной интервальной оценки показателей безотказности приведены табл.8.15 [8].

Интервальные оценки вероятности безотказной работы p(ti) è`p(ti), à

также функции распределения F(ti) = 1-`p(ti) è`F(ti) = 1-p(ti) вычисляются с помощью специальных таблиц по формулам [8,31]:

`p(ti) = f1(n,p*(ti)), p(ti) = f2(n,p*(ti)). (8.78) В прил.IX приведены значения нижней доверительной границы вероятности безотказной работы p(ti) для некоторых значений n è p*(ti) ïðè äî-

верительной вероятности 90%.

Оценки `p(ti) è p(ti) для плана [NUz], определенные по формулам

(8.78), являются приближенными, причем i = N(1-p*(ti)).

Пример 8.19. [8] Оценить среднюю наработку до отказа и вероятность безотказной работы за наработку 250 часов по результатам испытаний шести изделий по плану

[NUz]. Наработки до отказа составили 246, 253, 264, 283 и 307 ÷, один объект был

снят с испытаний в работоспособном состоянии при наработке 272 ÷.

Наработки до отказа и до цензурирования составляют вариационный ряд 246, 253, 264, 272*, 283, 307 (наработка до цензурирования обозначена звездочкой).

Точечные оценки вероятности безотказной работы p*(ti) по формуле (8.77): p*(t1) = p*(246) = (1-1/6) = 0,833,

p*(t2) = p*(253) = (1-1/6)(1-1/5) = 0,667, p*(t3) = p*(264) = (1-1/6)(1-1/5)(1-1/4) = 0,5,

p*(t4) = p*(283) = (1-1/6)(1-1/5)(1-1/4)(1-1/2) = 0,25,

p*(t5) = p*(307) = 0. Оценка средней наработки (табл.8.14)

æ 1

ö

æ 2

1ö

æ 3

2ö

æ 3

3ö

æ

3ö

t* = 246ç

- 0÷

+ 253ç

-

÷

+ 264ç

-

÷

+ 283ç

-

÷

+ 307ç1

-

÷

= 275.

è 6

ø

è 6

6ø

è 6

6ø

è 4

6ø

è

4ø

Òàê êàê t1 = 246 < t = 250 < t2 = 253, òî ïî òàáë.8.14

b = 250 − 246 = 0,571, p*(250) = 0,571×0,667 + (1-0,571)×0,833 = 0,738. 253 - 246

Нижняя доверительная граница наработки (табл.8.15) для g=0,9 и uγ=1,282 (ïðèë.I):

						152
							= 262.
	t = 275 - 1,282			1	(0,167 × 292	+ 0,167 × 222 + 0,167 ×112 + 0,25 × 82 + 0,25 × 322)
				5

Нижняя доверительная граница уровня g = 0,9 вероятности безотказной работы при наработках t1 = 246 è t2 = 253 по таблицам ([8,31] и прил.I):

p(t1) = p(246) = f2(6; 0,833) = 0,4897, p(t2) = p(253) = f2(6; 0,667) = 0,3332. Нижняя доверительная граница уровня g = 0,9 вероятности безотказной работы при

наработке t = 250 ïî òàáë.8.15:

p(250) = 0,571×0,4897 + (1-0,571)×0,3332 = 0,4226.

8.4.2. Оценка показателей при возрастающей функции

интенсивности

Если известно, что распределение наработки до отказа относится к классу распределений с возрастающей функцией интенсивности (ВФИ), то точечные оценки гамма-процентной наработки и вероятности безотказной работы также вычисляются по формулам табл.8.14, а точечная оценка средней наработки - по приближенной формуле [8,12]

Таблица 8.15

МНОЖИТЕЛЬНАЯ ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Показатель

Нижняя доверительная граница

Верхняя доверительная граница

надежности

Средняя

t * -u1−α

å DF(ti)(ti

- t *)

t * +u1−α

å DF(ti )(ti - t *)

наработка

1 r

2

1 r

2

до отказа tñð

r

i=1

r

i=1

Гамма-процентная

cti + (1-c)ti-1,

dti + (1-d)ti-1,

наработка

1 - g - F(ti−1)

1 - g - F(ti−1)

до отказа tγ

c =

d =

(t )

-

(t

)

F(t )

- F(t

− )

F

F

i

i−1

i

i

1

`F(ti-1) £ 1-g £`F(ti),

F(ti-1) £ 1-g £ F(ti),

i = 1,2,...,r, t0 = 0

i = 1,2,...,r,

t0 = 0

Вероятность

bp(ti) + (1-b)p(ti-1),

b`p(ti) + (1-b)`p(ti-1),

безотказной

b =

t − ti−1

b =

t − ti−1

работы p(t)

t

- t

t

- t

i

i−1

i

i−1

ti-1 £ t £ ti

ti-1 £ t £ ti,

t £ tr

Таблица 8.16

НИЖНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ

Показатель

Нижняя

Ï ð è ì å ÷ à í è å

надежности

доверительная граница

Средняя

2 − γ

t

exp(-1) £ g £ 0,6

наработка

γ

2ln(1 g)

до отказа

Гамма-

æ

ö

sk - суммарная наработка до k-го отказа,

процентная

2ln g

k - наибольшее число, при котором

ç

-

1÷

× s

наработка

min

;

2

÷

2ln γ

1

ç

k

до отказа

è

c1−α (2k)

nø

-

³

c12−α (2k)

n

Вероятность

exp(-l*t)

Приближенное

значение

для наработки,

безотказной

меньшей математического ожидания

работы

f (n,p*(t

))1/η

h=z/t, z - значение наработки, следую-

2

m

щей за наработкой t, m - число объектов,

отказавших до наработки t

153

t* ≈	2 − γ
	2ln(1 γ ) tγ ,	(8.79)

ãäå tγ - точечная оценка гамма-процентной наработки при exp(−1)=0,3679 ≤ γ ≤ 0,6.

Нижние доверительные границы показателей безотказности вычисляются по формулам, приведенным в табл.8.16 [8,12,29,32].

Пример 8.20. [8] По данным примера 8.19 вычислить интервальные оценки показателей безотказности, если известно, что распределение наработки до отказа относится к классу распределений с возрастающей функцией интенсивности.

Для вычисления нижней доверительной границы средней наработки зададимся зна- чением γ = 0,5. Ïðè α = 0,1 äëÿ k = 1, k = 2 è k = 3

−	2ln 0,5			= 0,301 >	1	=	1	,	−	2ln 0,5				= 0,178 >	1	=	1	,	−	2ln 0,5			= 0,130 <	1	=	1	.
	χ2	( )			n					χ2	(		)		n					χ2	( )			n
						6						4				6									6
	0,9	2								0,9										0,9	6

Следовательно, окончательно выбираем k = 2.

Тогда суммарная наработка и нижняя доверительная граница гамма-процентной наработки по табл.8.16

s2 = t1 + 5t2 = 1511 ÷, t0,5 = s2/n = 1511/6 = 252 ÷. Нижняя доверительная граница средней наработки

t =	2 − 0,5	= 272
	2ln(1 0,5) 252

Òàê êàê z = 253 ÷ è m = 1, òî η = 253/250 = 1,01 è p(250) = f2(6; 0,833)1/1,01 = 0,48970,99 = 0,493.

8.4.3. Оценка показателей надежности по цензурированным выборкам

В ряде случаев при испытаниях или наблюдениях за эксплуатационными отказами машин требуется определить только некоторые показатели надежности (ресурса, срока службы, срока сохраняемости и т.д.) и даже при достаточном объеме выборок нет необходимости строить законы распределения и определять их параметры. В этих случаях может использоваться непараметрический метод оценки показателей надежности по цензурированным выборкам в соответствии с ГОСТ 27.504-87 [13].

Расчет показателей надежности (точечные оценки средней и гаммапроцентной наработок, точечные и интервальные оценки вероятности безотказной работы) осуществляется на основании вариационного ряда наработок до отказа и до цензурирования (снятия с испытаний до отказа), выстроенных в порядке неубывания (если при этом отдельные значения наработки до отказа совпадают с со значениями наработки до цензурирования, то сначала указываются наработки до отказа, затем - до цензурирования). По построенному вариационному ряду определяется количество интервалов наблюдений m (от цензурирования до цензурирования) и для каждого интервала i (i=1,2,...,m) определяется число наработок до отказа ri

и до цензурирования ni−1, лежащих между (i−1)-ì è i-м интервалами. Оче- видно совокупность этих значений должна удовлетворять условиям:

m	m
åni = n,	åri = r .	(8.80)
i=1	i=1

Если вариационный ряд начинается с наработки до отказа, то n0 = 0, а если он заканчивается наработкой до отказа, то nm = 0.

154

Для каждого интервала наблюдений i (i =1,2,...,m-1) определяется число работающих изделий:

			é				ù
			ê				ú
		= N	ê	-	ni		ú	N = N - n
	N +		ê1				ú,			(8.81)
					i−1	i
	i 1	i	ê				ú	1	0
			ê		N - å nj - årj ú
			ê		j=0	j=1 ú
			ë				û

и эмпирическую функцию распределения, соответствующую каждой наработке до отказа в исходном вариационном ряду:

- для первого интервала наблюдений

F * (tk ) =	k − n0	;	(8.82)
	N1

- äëÿ i-го интервала наблюдений (i=2,3,...,m)

i−1 r				1	æ
F * (tk ) = å	j				ç
			+		çk -
	N	j		N
j=1				i è

i−1	i−1	ö
å nj - årj ÷÷.			(8.83)
j=0	j=1	ø

Точечная оценка вероятности безотказной работы за наработку t0 определяется по формуле

p * t

= 1 -

b × F * t

+

(1 - b) × F * t

, b =

t0 − tk−1

,

(8.84)

( 0 )

[

( k )

(

k−1)]

tk - tk−1

ãäå tk−1, tk - наработки до отказа, между которыми лежит наработка t0.

Точечная оценка средней наработки до отказа определяется по формуле

m

æ

1

ai

ö

t* = åçç

åtk÷÷ + [1 - F*(tN −nm )]tN −nm ,

(8.85)

N

i=1 è

i

k=b

ø

i

i−1

+ rj );

ãäå

ai = n0 + å(nj

bi = ai + ri .

j=0

Точечная оценка гамма-процентной наработки определяется по формуле

tγ

= (1 - c)tk−1

+ ctk,

(8.86)

ãäå tk−1 è tk - наработки до отказа, для которых выполняется условие F(tk−1) < 1−γ <

F(tk),

1 − γ − F(tk−1)

c =

.

F(t ) − F(t

k−1

)

k

Если выполняется одно из условий

1-g = F(tk−1) èëè 1-g = F(tk), (8.87) то, соответственно tγ = tk−1 èëè tγ = tk.

Приближенные значения доверительных границ вероятности безотказной работы для доверительной вероятности Pγ определяются по формулам

	p(t0) = p*(t0) - uγsk,		`p(t0) = p*(t0) + uγsk,			(8.88)
		j	ri
	sk = p * (tk−1) å			,		(8.89)
			(N - ai )(N - bi )
		i=1

ãäå uγ - квантиль нормального распределения

уровня g (для двустороннего доверительного ин-

тервала g = (1+Pγ)/2).

Пример 8.21. [13] По данным примера 8.1 оценить вероятность безотказной работы автомобильных генераторов за

наработку t0=5000 ÷, среднюю наработку до отказа и 95-%-ную наработку до отказа.

Строим вариацион-

155

Таблица 8.17

ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

k	tk	F(tk)	k	tk	F(tk)	k	tk	F(tk)
1	581	0,02	9	2292	0,18	41	4652	0,37
2	742	0,04	10	2640	0,20	42	4830	0,43
3	755	0,06	11	2700	0,22	43	5440	0,51
4	1064	0,08	12	2850	0,24	44	8550	0,58
5	1287	0,10	13	2996	0,26	45	10806	0,65
6	1638	0,12	14	3438	0,28	46	12036	0,72
7	1711	0,14	15	3600	0,30	47	14610	0,79
8	1904	0,16				48	23289	0,86

ный ряд, в котором значения наработок до отказа или цензурирования расположены в порядке возрастания: 581, 742, 755, 1064, 1287, 1638, 1711, 1904, 2292, 2640, 2700, 2850, 2996, 3438, 3600* (25), 4652, 4830, 5440, 8550, 10806, 12036, 14610, 23289, 25000* (2). Звездочкой помечены наработки генераторов, снятых с испытаний до наступления отказа, число в скобках после значения наработки указывает количество членов вариационного ряда с данным значением.

n0 = 0, n1 = 25, r1 = 15, n2 = 2, r2 = 8. Легко убедиться, что условия (8.80) соблюдаются:

n0

+ n1

+ n2 = 0 + 25 + 2 = n = 27,

r1

+ r2 = 15 + 8 = r = 23,

n + r = N = 50.

Для каждого интервала наблюдений i

(i = 1,2) определяем число работающих из-

делий по формулам (8.81):

é

n

ù

æ

25

ö

N

= N - n = 50,

N

= N

1

-

ú

= 50ç1

-

÷ = 14,286..

N - n

- r

50

- 0

1

0

2

1

ê

0

è

- 15ø

ë

1

û

Значения эмпирической функции распределения F*(tk), соответствующие каждой наработке до отказа, рассчитанные по формулам (8.82) и (8.83), приведены в табл.8.17.

	Òàê êàê t42=4830 < t0=5000 < t43=5440, то в формуле (8.84) k = 43, tk = 5440, tk−1
	= 4830. Определяем точечную оценку вероятности безотказной работы за наработку t0
	=5000 по формулам (8.84):
	b =		5000 − 4830				= 0,279,		p * (t ) = 1 - [0,279 × 0,51 + (1 - 0,279) × 0,43] = 0,5477.
	5440 - 4830								0
	Средняя наработка до отказа по формуле (8.85)
		1		15		1		48		27478		84213
	t* =			åtk +				åtk + (1 - 0,86) × t48 =			+		+ 0,14 × 23289 = 9705.
					14,286
	50			k=1				k= 41	50		14,286

ãäå b1=0, a1=15, b2=40, a2=48.

Из табл.8.17 следует, что 95%-ая наработка лежит между вторым и третьим чле-

нами вариационного ряда, т.е. k = 3, tk−1 = 742, tk = 755, F(tk−1) = 0,04, F(tk) = 0,06. Тогда по формуле (8.86)

c =1− 0,95 − 0,04 = 0,5 0,06- 0,04

и точечная оценка гамма-процентной наработки

tγ = (1 - 0,5)×742 + 0,5×755 = 748,5.

8.5. Ресурсные испытания агрегатов машин

Сбор информации для оценки надежности машин выполняется в соответствии с отраслевыми стандартами. При оценке надежности машины расчленяются на агрегаты и системы в соответствии с классификацией отказов по группам сложности. Отказы машин и их составных частей, классифицируются на ресурсные, определяющие предельное состояние агрегатов (I группа) и нересурсные (II группа). Ресурсные отказы агрегатов учи- тываются при расчете показателей их ресурса. При расчете безотказности

156

этих агрегатов они не учитываются, но участвуют в оценке безотказности более крупных сборочных единиц, в состав которых они входят, и машины в целом. Пример классификации приведен в прил.X.

Первичная обработка информации об отказах, в том числе исключение отказов, не учитываемых при оценке надежности, проводится в соответствии с отраслевыми стандартами.

Оценка надежности может вестись на основании информации об отказах, данных об изменении диагностических параметров и износах или одновременного использования обоих видов информации.

При получении оценок ресурса по информации об отказах изделий следует различать три типа испытаний или наблюдений:

- полные испытания: под наблюдением находятся N изделий и испытания проводятся до исчерпания ресурса всеми изделиями, наработки, при которых изделия исчерпали ресурс, составляют полную выборку t1,t2,...,tN; - усеченные испытания: под наблюдением находятся N изделий и испытания проводятся до заданной наработки Ò, одинаковой для всех изделий, при этом только часть изделий исчерпывает ресурс при наработках t1,t2,...,tr, которые составляют усеченную выборку, а остальные N−r èçäå-

лий, не исчерпавших ресурс, снимаются с испытаний при наработке Ò;

- многократно-усеченные испытания: под наблюдением находятся N

изделий, из которых одна часть исчерпывает ресурс при наработках t1,t2,...,tr, а другая снимается с испытаний до исчерпывания ресурса при

наработках Ò1,Ò2,...,ÒN−r, причем наработки некоторых из них могут быть меньше наработок изделий, исчерпавших ресурс.

8.5.1. Расчет ресурса при полных испытаниях.

Для определения оценки гамма-процентного ресурса Tγ* наработки отказавших изделий располагаются в порядке возрастания (t1<t2<...<tN) и для каждого значения наработки ti вычисляется экспериментальное значе- ние вероятности безотказной работы

p	= p(t ) = N + 1 − i		, 1 ≤ i ≤ N .	(8.90)
i	i	N + 1

Если среди значений pi есть значение, равное γ, то оценка γ- процентного ресурса равна соответствующей наработке ti. В противном

случае находятся такие значения pi è pi−1, для которых pi−1>γ>pi. Тогда оценка гамма-процентного ресурса находится линейной интерполяцией

T* = t

+ (t − t

)

pi−1 − γ

(8.91)

γ

i−1

i

i−1

p

− p

i−1

i

Оценки среднего ресурса T*, среднего квадратического отклонения ре-

сурса σ* и коэффициента вариации v* находятся по формулам

1

N

1

N

σ * .

T* =

åti;

σ* =

å

(ti − T *)2 ; v* =

(8.92)

N

N − 1

i=1

i=1

T *

157

Пример 8.22. Испытывались 13 двигателей. Их ресурс был исчерпан при наработ-

êàõ 3000, 3500, 3700, 4000, 4200, 4300, 4500, 4800, 4900, 5100, 5400, 5500 è 6000 ÷. Оценить характеристики ресурса двигателей.

По формуле (8.88) находим значения вероятности безотказной работы (табл.8.18). Из таблицы находим p2 > g=0,8 > p3. По формуле (8.91) оценка 80%-ного ресурса:

							T*			=3500+(3700-3500)					0,857−0,8				»3660
							0,8								0,857-0,786
	По формулам (8.92) находим:
T* = (3000+3500+3700+4000+4200+4300+4500+4800+4900+5100+5400+5500+6000)/13≈ 4530,
																								=860,
s*=				1	×(15302 +10302 +8302				+5302 +3302				+2302	+302 +2702 +3702 +5702 +8702 +9702 +14702)
	12										v* = 860/4530 =0,19.
																					Таблица 8.18
					ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
i		1				2	3		4		5		6	7		8		9		10	11	12	13
ti		3000				3500	3700	4000			4200	4300		4500		4800	4900			5100	5400	5500	6000
pi		0,929				0,857	0,786	0,714			0,643		0,571	0,500		0,429	0,357			0,286	0,214	0,143	0,071

8.5.2. Расчет ресурса при усеченных испытаниях

При усеченных испытаниях, в течение которых исчерпали ресурс не менее 20% изделий, наработки всех отказавших изделий располагаются в порядке возрастания t1<t2<...<tr, затем по формуле (8.90) для каждой наработки ti вычисляются значения вероятности безотказной работы и для наработки, равной моменту усечения Ò

p(T) =	N − n .	(8.93)
	N

Оценка γ-процентного ресурса находится по формуле (8.91). Оценку среднего ресурса T* можно ориентировочно считать в полтора раза больше оценки 80%-го ресурса. Более точно оценка среднего ресурса устанавливается по методике.

Пример 8.23. Испытывались 15 двигателей до наработки 4000 ÷. За время испы-

таний четыре двигателя исчерпали ресурс при наработках 2900, 3300, 3500 и 3800 ÷. Найти оценки среднего и 80%-го ресурса.

По формуле (8.90) значения вероятности безотказной работы для наработок отказавших изделий

p1 = 15/16 = 0,938, p2 = 14/16 = 0,875, p3 = 13/16 = 0,813, p4 = 12/16 = 0,750 и при наработке в момент усечения Ò = 4000 ÷ по формуле (8.93)

p(T) = (15-4)/15 = 11/15 = 0,733.

Òàê êàê p3 > g=0,8 > p4, то по формуле (8.91)
T	* = 3500 + (3800 - 3500)×	0,813 − 0,8	= 3560 .
0,8	0,813 - 0,750

Ориентировочная оценка среднего ресурса T* » 1,5×T0,8* = 1,5×3560 = 5340 ÷.

8.5.3. Расчет ресурса при многократно усеченных испытаниях

При многократно-усеченных испытаниях, в течение которых исчерпали ресурс не менее 20% изделий, наработки неотказавших изделий располага-

ются в порядке возрастания T1<T2<...<Tk (в общем случае k ≤ (N−r), так как наработки некоторых изделий, снятых с испытаний, могут совпасть).

158

Таблица 8.19

ОБОЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОКРАТНО УСЕЧЕННЫХ ИСПЫТАНИЙ

Номера интервалов

1

2

...

i

...

k

k+1

наработки

Количество изделий,

r1

r2

...

ri

...

rk

rk+1

отказавших в интервалах

Наработка изделий,

0

T1

T2

...

Ti

...

Tk

снятых с испытаний

Количество изделий,

0

n1

n2

...

ni

...

nk

снятых с испытаний

Количество изделий,

N

N1

N2

...

Ni

...

Nk

продолжающих испытываться

Значение вероятности

1

p(T1)

p(T2)

...

p(Ti)

...

p(Tk)

безотказной работы

Должны выполняться следующие соотношения (см.табл.8.19):

N1 = N - r1 - n1, N2 = N1 - r2 - n2,

..., Nk = Nk-1 - rk - nk, Nk = rk+1;

r = r1 + r2 + ... + rk+1,

(8.94)

ãäå N,N1,N2,...,Nk - количество изделий, продолжающих испытываться после наработок, соответственно, 0,T1,T2,...,Tk, т.е. в интервалах наработки (0,T1),(T1,T2),(T2,T3),..., (Tk,T); r1,r2,...,rk - количество изделий, отказавших в соответствующих интервалах наработки; n1,n2,...,nk - количество изделий, снятых с испытаний при наработках, соответственно, 0,T1,T2,...,Tk.

Значения вероятности безотказной работы при наработке Ti ваются по формуле

p(Ti ) = p(Ti−1) × Ni−1 − ri . Ni−1

рассчиты-

(8.95)

Значения вероятности безотказной работы при наработках отказавших

изделий t1,t2,...,tr находятся по формуле
p(ti) = p(ti−1) - Di , 1 £ i £ r,	(8.96)

âкоторой значение Di определяется по формулам:

-åñëè t1<T1, òî

D =	1	.	(8.97)
1	N + 1

- если среди наработок неотказавших изделий есть наработки, меньшие t1, и максимальная из них Tj, òî

	D1 =	1		.	(8.98)
		Nj + 1

- если между наработками ti−1 è ti нет наработок неотказавших изделий, то поправка Di равна предыдущей поправке Di−1;

- если между наработками ti−1 è ti есть наработки неотказавших изде-

лий, и максимальная из них равна Tm, òî

Di = p(ti−1) . (8.99)

Nm + 1

Оценка g-процентного ресурса находится аналогично расчету при полных испытаниях. Оценку среднего ресурса можно ориентировочно считать в полтора раза больше оценки 80%-ного ресурса.

159

Таблица 8.20

ПАРАМЕТРЫ ИСПЫТАНИЙ

Интервалы наработки				1			2					3						4				5				6			7
Количество отказавших изделий				r1=2			r2=0					r3=1					r4=0				r5=2			r6=1					r7=0
Наработка изделий,		0			T1=3800			T2=4100					T3=4300					T4=4800					T5=5400				T6=5700
снятых с испытаний
Количество изделий,		0			n1=1				n2=1						n3=1				n4=1				n5=1					n6=1
снятых с испытаний
Количество изделий,		N=12			N1=9				N2=8						N3=6				N4=5				N5=2					N6=0
продолжающих испытываться
Значение вероятности		1			p(T1)=			p(T2)=						p(T3)=					p(T4)=				p(T5)=				p(T6)=
безотказной работы					0,833				0,833					0,729				0,729					0,438					0,219
	ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ																					Таблица 8.21
	Номера наработок i						1				2				3				4			5				6
	Наработка Ti, ti						3000				3500				3800				4100			4200				4300
	Вероятность безотказной работы pi						0,923				0,846				0,833				0,833			0,752				0,729
	Номера наработок i						7				8			9				10				11				12
	Наработка Ti, ti						4800				5000			5300				5400				5600				5700
	Вероятность безотказной работы pi						0,723				0,627			0,502				0,438				0,335				0,219

Пример 8.24. Испытывались 12 двигателей, из них 6 двигателей исчерпали ресурс

при наработках 3000, 3500, 4200, 5000, 5300 и 5600 ÷. Остальные 6 двигателей не ис- черпали ресурс и были сняты с испытаний при наработках 3800, 4100, 4300, 4800,

5400 è 5700 ÷. Найти оценку среднего и 80%-ного ресурса. Основные параметры испытаний представлены в табл.8.20.

По формуле (8.95) находим значения вероятности безотказной работы при наработках неотказавших изделий:

p(0)=1,

p(T1)=1×(12-2)/12=0,833, p(T2)=0,833×(9-0)/9=0,833, p(T3)=0,833×(8-1)/8=0,729,

p(T4)=0,729×(6-0)/6=0,729, p(T5)=0,729×(5-2)/5=0,438, p(T6)=0,438×(2-1)/2=0,219.

По формулам (8.96)-(8.99) находим значения вероятности безотказной работы при наработках отказавших изделий:

D1=D2=1/(12+1)=0,077, p(t1)=1-0,077=0,923, p(t2)=0,923-0,077=0,846, D3=0,846/(8+1)=0,094, p(t3)=0,846-0,094=0,752, D4=D5=0,752/(5+1)=0,125, p(t4)=0,752-0,125=0,627, p(t5)=0,627-0,125=0,502,

D6=0,502/(2+1)=0,167, p(t6)=0,502-0,167=0,335,

В табл.8.21 представлена многократно усеченная выборка, в которой наработки отказавших и неотказавших изделий расположены в порядке возрастания.

	Из таблицы видно, что p4 > 0,8 > p5. Следовательно
	Tγ* = 4100 + (4200 - 4100) ×	0,833 − 0,8	= 4140.
		0,833 - 0,752

Оценку среднего ресурса можно ориентировочно считать в полтора раза большей, чем оценка 80%-ного гамма-ресурса T* » 1,5×Tγ* = 1,5×4140 = 6200 ÷.

8.5.4. Расчет ресурса при небольшом количестве отказов

При усеченных или многократно усеченных испытаниях, в течение которых исчерпали ресурс менее 20% изделий обычно предполагается, что ресурс распределен по закону Вейбулла и на основании данных об эксплуатации изделий-аналогов задаются предположительным коэффициентом вариации v ресурса изделия.

160

b

Например, для ходовой части гусе-

3,5

ничных машин и цилиндро-поршневой

3,3

группы двигателей тракторов в доре-

3,1

монтном периоде v»0,3, для агрегатов

2,9

трансмиссии и двигателей тракторов в

2,7

доремонтном периоде,

а также

любых

двигателей в межремонтном периоде v »

2,5

2,3

0,4, äëÿ

агрегатов трансмиссии

è òðàê-

торов в

межремонтном периоде

v»0,6,

2,1

для подшипниковых узлов, валов зубча-

1,9

тых передач, работающих

в закрытых

1,7

агрегатах, v»0,4¸0,6

(ïðè

большой за-

1,5

грузке v»0,4), äëÿ

деталей, теряющих

1,3

работоспособность

â

основном

èç-çà

1,1

внезапных отказов, v»0,8.

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

v

Рис.8.8. Зависимость параметра формы

По коэффициенту

вариации

v

óñòà-

распределения Вейбулла

навливается параметр формы распреде-

от коэффициента вариации

ления ресурса b (ðèñ.8.8).

Оценка g-процентного ресурса находится по формуле

							1
		é	æ	r		N −r	öù
								b
*	1	ê1	ç		b		b÷ú		,	(8.100)
Tγ	= (- ln g) b	êr	ç	åti		+ åTj ÷ú
		ë	èi=1			j=1	øû

ãäå r - число отказавших изделий; t1,t2,...,tr - наработки отказавших изделий; T1,T2...,ÒN−r - наработки, при которых были сняты с испытаний неотказавшие изделия

В случае усеченных испытаний, когда неотказавшие изделия испытываются до наработки T, вместо формулы (8.100) можно использовать более простую формулу

1
Tγ* = kT = (ln g)1b (N - 1)bT ,	(8.101)
r 2

ãäå k(N,r,v) - коэффициент, зависящий от числа испытываемых изделий, числа отказов, предполагаемого значения коэффициента вариации распределения ресурса и значения

γ (äëÿ γ=80% значения коэффициента приведены в прил.I).

Если наработки, до которых испытываются изделия, незначительно отличаются между собой, то для определения оценки g-процентного ресурса можно пользоваться формулой (8.101), подставляя вместо T значение средней наработки до цензурирования

		1			N −r
Tñð =					åTj .			(8.102)
		N - r
					j=1
Оценку среднего ресурса, можно определить по формуле
*	æ		+		1ö	−1 b *	,	(8.103)
T* = cT0,8	= rç1				÷(- ln 0,8)	T0,8
	è				bø

ãäå T0,8* - оценка 80%-ного ресурса; c(v) - коэффициент, зависящий от предполагаемого значения коэффициента вариации распределения ресурса (табл.8.22).