надежность машин и оборудования

Выражения (8.8)-(8.12) показывают связь довери- тельной вероятности с границами доверительного интервала (рис.8.2). Эта связь может быть установлена в виде функциональной зави- симости на основании вида генерального распределения f(x) случайной величины x. Он может быть известен из каких-либо дополнительных соображений, но чаще устанавливается на основании обработки и анализа выборочной совокупности

121
α			γ
x	ε	x*			x
		à)
	γ				`α
x		x*	ε	`x	x
		á)
α		γ			`α
x	ε	x*	ε	`x	x

â)

	(x ,x ,...,x ).			Таким обра- Рис.8.2. Нижний (а), верхний (б) и двухсторонний (в)
	1	2	n		доверительные интервалы.
	çîì,	полная		последователь-

ность интервального оценивания должна содержать следующие этапы: получение выборочной совокупности объема n, точечное оценивание параметра x, выявление вида выборочного распределения, интервальное оценивание неизвестного генерального параметра x.

При проведении определительных испытаний на надежность имеется, как правило, партия объемом N однотипных изделий (машин, единиц оборудования, сборочных единиц, узлов или деталей), каждый экземпляр в которой можно охарактеризовать определенным значением какого-либо показателя надежности - интенсивности отказов λ, средней tñð или гаммапроцентной tγ наработки, среднего Tñð или гамма-процентного Tγ ресурса, вероятностей отказа q(t) или безотказной работы p(t) за заданную наработку t и др. Любой показатель надежности x - величина случайная, т.е. каждый из экземпляров в силу случайности свойств материалов и технологических режимов имеет отличное от других значение этого параметра. Совокупность случайных значений параметра в партии называется генеральной совокупностью. Случайная величина подчиняется некоторому генеральному закону распределения с математическим ожиданием M(x),

дисперсией D(x), средним квадратическим отклонением σx и другими параметрами распределения. Поскольку испытаниям подвергается не вся партия N, а лишь ее часть (выборка) n, то генеральная совокупность и генеральные значения параметров генерального распределения в результате испытаний остаются неизвестными.

Изделия в выборке также характеризуются каким-либо показателем надежности, который подчиняется некоторому выборочному распределению. Параметры этого распределения называются выборочными характеристиками èëè оценками и могут быть найдены по известным значениям параметра для изделий выборочной совокупности.

122

Поскольку выборка носит случайный характер, то в общем случае нельзя утверждать, что найденное значение параметра распределения x* соответствует истинному значению x. Для нескольких выборок из партии значения x* в общем случае различны, однако, очевидно, при увеличении объема выборки (n→N) выборочное распределение случайной величины

стремится к генеральному (x*→x), т.е. расхождение выборочных и генеральных распределений и их характеристик носит случайный характер и уменьшается по мере увеличения объема выборки.

Следует отметить, что при испытаниях на надежность объем выборки n не обязательно означает количество объектов, подвергнутых испытанию. Для восстанавливаемых изделий выборочную совокупность из n значений случайной величины можно получить и на меньшем количестве изделий (и даже на одном). Под объемом выборки n понимается объем полученных данных, т.е. количество циклов безотказной работы однотипных изделий до наступления отказа. Это же может относиться и к объему партии N.

В случае известного закона распределения наработки или ресурса обработка результатов определительных испытаний на надежность включает точечное оценивание параметров распределения (разд.8.2.2) и точечную (разд.8.2.3) или интервальную (разд.8.2.6) оценку показателей надежности по параметрам распределения, в случае неизвестного закона распределения предварительно определяется его вид (разд.8.2.4) с проверкой принятой статистической гипотезы (разд.8.2.5) или оценка показателей осуществляется непосредственно по результатам испытаний непараметрическими методами, т.е. без определения значений параметров распределения (см.разд.8.4).

Исходными данными для оценки показателей надежности в зависимости от плана испытаний являются число наработок изделий до отказа r, число наработок до снятия с испытаний (до цензурирования) n, общий объем выборки N=r+n, выборочные значения наработки до отказа t1,t2,...,tr и до цензурирования τ1,τ2,...,τn.

8.2.2. Точечное оценивание параметров распределения

Для описания распределения наработки или ресурса изделия чаще других используются экспоненциальный, нормальный (в том числе усеченный) и логарифмически нормальный законы, а также распределение Вейбулла.

Расчет точечных оценок параметров распределений по результатам испытаний при известных законах распределения рассмотрим на примерах разных законов распределения и планов испытаний [16].

Ïðè экспоненциальном законе распределения наработки на отказ или ресурса

f(t) = λexp(−λt)

(8.13)

оценке подлежит единственный параметр распределения λ, имеющий смысл интенсивности отказов. Формулы для вычисления точечной оценки

λ* для различных планов испытаний приведены в табл.8.3 [8,14].

123

Таблица 8.3

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА l ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

	Ïëàí	l*	Свойства оценки	Примечание
	испытаний
	[NUN] ïðè N = 1	1/t1	Смещенная
	ïðè N > 1	(N-1)/s	Состоятельная, несмещенная	s = åti
			асимптотически эффективная
	[NUr] ïðè r = 1	1/(Nt1)	Смещенная
	ïðè r > 1	(r-1)/s	Состоятельная, несмещенная	s = åti+(N-r)tr
			асимптотически эффективная
	[NUT] ïðè r > 0	r/s	Состоятельная, несмещенная	s = åti+(N-r)T
			асимптотически эффективная
	[NUz]	rN/[s(N-1)]	Состоятельная, несмещенная	s = åt	i	+ åt ,
			асимптотически эффективная			j
				r + n = N

Пример 8.1. [13]. Под наблюдение было поставлено 50 автомобильных генерато-

ров, после отказа они не ремонтировались и не заменялись. При наработке 3600 ÷ 25 работоспособных генераторов были сняты с испытаний для исследования их техниче-

ского состояния. Оставшиеся находились под контролем до наработки 25000 ÷. В процессе наблюдений были зафиксированы следующие наработки до отказа: 2292, 5440, 880, 2996, 1711, 14610, 10806, 4652, 1638, 1287, 2850, 4830, 2700, 755, 3438, 581,

1904, 23289, 8550, 742, 1064 è 2640 ÷. Оценить параметры экспоненциального распределения наработки.

Строим вариационный ряд, в котором значения наработок расположены в порядке возрастания: 581, 742, 755, 1064, 1287, 1638, 1711, 1904, 2292, 2640, 2700, 2850, 2996, 3438, 3600* (25), 4652,4830, 5440, 8550, 10806, 12036, 14610, 23289, 25000* (2). Звездочкой помечены наработки генераторов, снятых с испытаний до наступления отказа, число в скобках после значения наработки указывает количество членов вариационного ряда с данным значением.

В формуле табл.8.3 для плана [NUz] r = 23, n = 27, N = 23+27 = 50. Рассчитыва-

åì

åti = 581+742+...+14610+23289 = 111691,

åtj = 25×3600+2×25000 = 140000 ÷, s = 111691+140000 = 251169. Точечная оценка параметра распределения l* = 23Ч50/251169Ч49 = 93,44Ч10−6 ÷−1.

Ïðè нормальном законе распределении

	f(t) =	1		é		(t - m)2 ù
					expê-	2s2	ú	(8.14)
		s 2p
				ê			ú
				ë			û

оценке подлежат параметры m и s, имеющие смысл средней наработки и среднего квадратического отклонения.

Для плана испытаний [NUN] оценки параметров

		1	N			1		N
	m* =		åti,	s* =				å(ti - m *)2 .		(8.15)
		N				N - 1
			i=1					i=1

Для планов [NUr], [NUT] è [NUz] оценки параметров m и s определяются совместным решением уравнений, полученных методом максимального правдоподобия [8,13]:

r	t	- m *
å	i			+
		s *
i=1

			æm * -tj ö
n			fç			÷
			è	s * ø
å								= 0,	(8.16)
		1		æm * -tj ö
j=1			+ Ôç				÷
		2
				è	s * ø

124

	r	æ	t	- m * 2
r -			i	ö		+
		ç			÷
	åè			s * ø
	i=1

					æm * -tj ö
n æm * -t			ö		fç			÷
		j			è	s * ø
åç			÷							= 0.	(8.17)
	s *					æm * -tj ö
è			ø 1
j=1					+ Ôç				÷
			2
						è	s * ø

Уравнения (8.16)-(8.17) решаются либо методом линейного оценивания (для небольшого числа объектов) [8,15], либо методом последовательных приближений, с помощью формул [8,13]

	*	A	æ D + Dk ö		*
	mk =		+ ç	÷sk,		(8.18)
		B
			è	B ø

	1	ì
s*k =		ï
		íE + Fk
	2r ï
		î

æ D + D		ö	+	é
- Aç		k ÷		E + F
è	B	ø		ê	k
				ë

æ D + D		öù2
- Aç	B	k ÷ú
è		øû

æ

+ 4rçC

è

2 ö ü

- A ÷ ïý, (8.19)

B ø ï

þ

ãäå k - номер итерации (k=0,1,...); A, B, C, D, E, Dk, Fk - коэффициенты:

A = åti+0,64åtj, B = r+0,64n, C = åti2+0,64åtj2, D = 0,8n, E = 0,8åtj,

n							n
D0 = 0, Dk = å Djk,	Djk = ljk - 0,8 - 0,64zjk,				F0 = 0, Fk = å Djktj ,
j=1	tj - mk−1		2			2)	j=1	(8.20)
zjk =		,	ljk =	exp(- zjk			,
	sk−1			∞
				ò exp(- y2		2)dy

zjk

значения функции ljk(zjk) приведены в ГОСТ 27.504-87 [13] (см.прил.IX).

Вычисления по формулам (8.18)-(8.20) продолжаются до тех пор, пока последующее значение не будет отличаться от предыдущего на величину, меньшую заданной.

Пример 8.2. [13]. Из 18 автомобилей, находившихся под наблюдением, 11 были отправлены в капитальный ремонт при наработках 221, 242, 246, 253, 264, 283, 303,

307, 313, 348 è 356 òûñ.êì пробега, остальные автомобили были сняты с наблюдения при наработках 236, 272, 280, 287, 300, 302 и 326 òûñ.êì. Определить с относитель-

ной точностью e=0,001 параметры нормального распределения. По формулам (8.20)

A = (221+242+...+356) + 0,64×(236+272+...+326) = 3138 + 0,64×2003 = 4420;

B = 11 + 0,64×7 = 15,46;

C = (2212+2422+...+3562)+0,64×(2362+2722+...+3262) = 914598+0,64×577929=1284473;

D = 0,8×7 = 5,6; E = 0,8×(236+272+...+326)=1602.

Начальные значения оценок параметров m0* è s0* находим по формулам (8.18)- (8.19), считая, что D0=0 è F0=0:

ì

ü

1

5,6

é

5,6 ù

2

æ

4420

2

ö

s*

ï

ï

=

1602

- 4420

+

1602 - 4420

+ 4

×11ç1284473

-

÷

ý

= 45,361;

ú

0

2 ×11

í

15,48

ê

ç

15,48

÷

ï

ë

15,48û

è

ø

ï

î

þ

m*0

=

4420

+

5,6

45,361 = 301,939.

15,48

15,48

Далее, с использованием таблиц ljk(zjk) [13], последовательно получаем: - первое приближение: D1=0,3897, F1=97,537, m1*=302,836, s1*=44,739; - второе приближение: D2=0,4158, F1=104,064, m1*=302,894, s1*=44,698.

Òàê êàê |(m2-m1)/m1|<e=0,001 è |(s2-s1)/s1|<e=0,001, то окончательно принимаем оценки параметров m*=m2=302,894 è s*=s2=44,698.

Для планов [NUr] è [NUT] N>15 можно воспользоваться формулами [16]

125

t* = t * - k(t * - t ),			s*2 = s	2 + k(t * - t ),		(8.21)
0	0	r	0	0	r

в которых значения величин t0* è s0 рассчитываются аналогично плану

[NUN] по формулам (8.15) для m* и s*, коэффициент k зависит от значе- ний вспомогательных величин

r =		s02		,	h =	N - r	.	(8.22)
	*	- tr )	2			N
	(t0

Значения k(r,h) приведены в ГОСТ 27.503-87 [16] (ñì.ïðèë.IX).

Пример 8.3. [16]. Под наблюдением находилось 20 изделий. После отказа изделия

не ремонтировались и не заменялись. Наблюдения проводились в течение 2000 ÷. За это время отказало 8 изделий при наработках 100, 170, 250, 400, 680, 1000, 1200 и

1500 ÷. Требуется определить параметры нормального распределения.

Для плана [NUT] ïðè N=20, T=2000 ÷ è r=8 по формулам (8.21) и (8.22) t0* = 18 (100 +170 + 250 + 400 + 680 +1000 +1200 +1500) = 602,5;

	s*0	=	1	[(100 - 602,5)2 + (170 - 602,5)2		+...+(1200 - 602,5)2 + (1500 - 602,5)2 ] = 254307,
			7
				r =	254307		» 0,13;	h =	20 - 8	= 0,6.
					(602,5 - 2000)2				20

Ïî ÃÎÑÒ 27.503-81 (ñì.ïðèë.IX) äëÿ r=0,13 è h=0,6 определяем k » 1,20.

Тогда оценки параметров нормального распределения по формулам (8.21) m* = 602,5 -1,2Ч(602,5-2000) » 2280, s*2 =254307+1,2×(602,5-2000) » 2597914, s* » 1612.

Ïðè N<15 при планах испытаний [NUN], [NUr] è [NUT] точечные оценки параметров нормального распределения рассчитываются по форму-

ëàì [8,16,15]:

r	r		r
m* = åaiti - måbiti ,			s* = nåaiti ,
i=1	i=1		i=1
ãäå ai(N,r), bi(N,r), m(r,j) è n(r,j) - коэффициенты [8,15];
α	æ	α	ö
j = åbiti	ççT - åaiti÷÷ .
i=1	è	i=1	ø

(8.23)

(8.24)

Ïðè логарифмически-нормальном законе распределения
f(t) =	1		é		(ln t - m)2 ù
				expê-	2s2	ú	(8.25)
	st 2p		ê			ú
			ë			û

точечные оценки параметров вычисляются по формулам для нормального распределения с заменой значений наработок их натуральными [13].

Ïðè распределении Вейбулла

f(t) =	b æ t ö			b-1	é	æ t ö			b ù
	ç		÷		expê-ç			÷	ú	(8.26)
	a è aø				ê	è aø			ú
					ë				û

формулы для расчета оценок параметров a è b в зависимости от плана испытаний при N > 15 приведены в табл.8.4 [8,13,16].

Уравнения табл.8.4 решаются методом последовательных приближений относительно параметра b по рекуррентной формуле [16]

126

Таблица 8.4

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВЕЙБУЛЛА (N>15)

Ïëàí

a

b

[NUN]

æ

1

N

b

ö1 b

æ N

N

ö N

b

N

ç

÷

ç

t

÷

ç

+ åln ti÷

åti

- Nåln ti = 0

ç N

å i

÷

è

b

=

ø

i

=

=

è

i=1

ø

i 1

1

i 1

[NUr],

ì

æ r

ö

1 b

æ

r

r

ö é

r

b

b

ù

ü

ç

÷

(

)

ï1

ï

[NUT]

í

ç

tb

+ (N - r)tb ÷

ý

ç

+

å ln ti ÷

êå ti

+

N - r

tr

ú -

ç

å i

r ÷

è b

i=1

ø

ê

ú

ïr

è

i

=1

øï

ëi =1

û

î

þ

é r

ù

ln t +

(N - r)tb ln t

= 0

-r ê

tb

ú

ê

å i

i

r

r

ú

ëi=1

û

[NUz]

é

1

æ

r

n

ö ù1 b

æ r

r

ö

æ

r

b

n

ö

ç

÷

ç

b ÷

-

ê

ç

tb +

å

tb

÷ ú

ç

+ å ln ti

÷

ç

å ti

+ å t j

÷

êr

ç

å i

j

÷ ú

è b

i =1

ø

èi=1

j =1

ø

ë

èi=1

j=1

ø û

æ

r

n

ö

b

b

ç

÷

= 0

-rç

å ti

ln ti + å t j

ln t j ÷

èi =1

j =1

ø

[NRr],

ì é

1 b

r

é

r

N æ

rj

ö

b ù

r

N

æ

rj

ö

b ùü

æ r

ö

ê

ú

[NRT] ï1

åtib + åççtr - åtjk ÷÷

ê

b

ç

÷

úï

çç

+ ålnti ÷÷

ê

ú

-

í

êåti

+ å

çtr

- åtjk ÷

úý

è b

i=1

ø

êi=1

j=1

k=1

ø

ú

ïr

êi

=

j

=

=

ø

ú

ï

ë

è

û

1

1è

k 1

é

r

N

rj

ö æ

rj

ö

ù

î ë

ûþ

æ

-r

ê

b

ç

- åtjk

÷

ç

÷

ú

= 0

êåti lnti + åçtr

÷ lnçtr

- åtjk ÷

ú

êi=1

j=1è

k=1

ø è

k=1

ø

ú

ë

û

П р и м е ч а н и е : Для плана [NUT] tr = T. Для планов [NRr] è [NRT] tjk - наработки между отказами j-го изделия, rj - число отказов в интервале (0,tr) j-го изделия,

j=1,2,...,N, k=1,2,...,rj.

1

+

S1

−

S3

b*

+1

= b* +

bk*

r

S2

,

k

k

1

S S

− S2

+

2

4

3

b* 2

S2

k

2

где для планов [NUN], [NUr] è [NUT]

r

r

S1 = å ln ti ; S2 = å tibk* + (N - r)trbk* ;

r

i =1

i=1

r

ln2 ti + (N - r)trbk*

S3 = å tibk*

ln ti + (N - r)trbk*

ln tr ; S4 = å tibk*

ln2 tr ,

i=1

i=1

для планов [NRr] è [NRT]

r

r

N

æ

rj

ö bk*

S1 = å ln ti ;

S2 = å tibk* +

å

ççtr - å tjk

÷÷

,

i =1

i =1

j =1è

k =1

ø

r

bk*

N

æ

rj

ö bk*

æ

rj

ö

ln ti + å

ç

÷

ln

ç

÷

;

S3 = å ti

çtr

- å tjk ÷

çtr - å tjk

÷

i =1

j =1 è

k =1

ø

è

k =1

ø

r

bk*

N

æ

rj

ö bk*

æ

rj

ö

ln

2

ç

÷

ln

2

ç

÷

S4 = å ti

ti + å çtr

- å tjk ÷

çtr

- å tjk ÷.

i =1

j =1 è

k =1

ø

è

k =1

ø

(8.27)

(8.28)

(8.29)

127

В качестве начального приближения можно использовать значение

b*

= B ,

B =

1

,

(8.30)

0

S1 r − ln t1

значение

определяется по графику (рис.8.3).

Для планов [NUN] è [NUr] ïðè

D

10≤N≤50

значение

b *,

полученное

0

0,9

ïî

формуле

(8.28)

можно

считать

оценкой параметра b* [16].

0,8

0,7

Вычисления

ïî

формулам

(8.27)-

N=50

(8.30) продолжаются до тех пор, по-

0,6

N=10

ка последующее значение отличается

0,5

N=35

N=15

от предыдущего на величину, боль-

0,4

N=20

шую заданной.

0,3

N=30

N=25

Пример 8.4. Под наблюдением нахо-

дилось 15 автомобилей. После отказа авто-

0,2

мобили не ремонтировались и новыми не

0

0,2

0,4

0,6

0,8

m/N

заменялись. Наблюдения проводились до 10

отказов. Наработки до отказа составили

Рис.8.3. Определение параметра D

0,743,

0,768,

0,826,

1,001,

1,069,

1,265,

1,305, 1,345, 1,422 è 1,685 òûñ.êì. Требу-

ется определить точечные оценки параметры распределения Вейбулла.

Для плана [NUr] по формуле для метода максимального правдоподобия (8.28)

S1 = ln0,743+ln0,768+...+ln1,422+ln1,685 = 0,987.

По формулам (8.30)

B = 1/(0,987/10-ln0,743) = 2,527,

b0* = 2,527/0,87 = 2,9,

ãäå D = 0,87 äëÿ r/N = 10/15 = 0,667 по графику на рис.8.3.

Ïðè 10£N£50 значение b0* можно считать оценкой параметра b*. Тогда оценка па-

раметра à* по формуле табл.8.4:

a * =

é

1

r

b*

tb*

ù 1b*

æ 40,11ö

12,9

= 161, ,

ê

t

+ (N - r)

r

ú

= ç

10

÷

êr

å i

ú

è

ø

ë

i=1

û

r

ãäå åtib*

= 17,41,

(N - r) × trb*

= (15 - 10) ×1685,

2,9 = 22,7.

i=1

Для оценки параметра b* по формулам табл.8.4 методом итерации

можно также воспользоваться рекуррентной формулой [8]

é

r

*

n

*

ù−1

ê

å ln titibk

+

å ln titibk

ú

*

êi=1

r

i=1

ú

,

(8.31)

bk+1 =

ê

bk*

r

bk*

- Aú

ê

+

ú

ê

å ti

å ti

ú

ãäå

ë

i=1

i=1

û

1

r

*

r + 1

(8.32)

A = r

åln ti ,

)(0,23r + 3,71) .

b0 = (A - ln t

i=1

1

Пример 8.5.[8] По данным предыдушего примера по формулам (8.31)-(8.32) нахо-

дим начальное приближение параметра b0*:

1

19

0,987

10 + 1

A =

10

åln ti =

10

= 0,0987,

b0* = (10 - ln 0,743)(0,23 ×10 + 3,71) = 4,625.

i=1

128

По формуле (8.31)

	*	æ10,256+5×0,521811169× ,		ö −1	*	æ 4,462+5×0,5218×4160,		ö	−1
	b1	=ç		-0,0987÷	=2,732, b2	=ç		-0,0987÷	=3118, ,
			28,917+511169× ,				15,717+5×4160,
		è		ø		è		ø

	*	æ5,3+5×0,5218×5,088		ö	−1
	b3	=ç		-0,0987÷	=3,004.
			17,599+5×5,088
		è		ø

Òàê êàê |(b3*-b2*)/b2*|=0,037<0,05, то окончательно принимаем b*= 3.

Оценка параметра à* по формуле табл.8.4:

é1

r

b* ù

1b*

æ17,008 + 5 ×1685,

3 ö 13

b*

tr

ç

÷

a * =

ê

åti

+ (N - r)

ú

=

ç

10

÷

= 160, .

êr

i=1

ú

è

ø

ë

û

Точечные

îöåí-

Таблица 8.5

ки параметров

ðàñ-

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

пределения

Âåé-

ПРИ N £ 15

булла для N£15 îï-

Ïëàí

a*

b*

ределяются

ìåòî-

æ

r

r

ö

1

дом линейного

îöå-

[NUN],

r

ç

å Ai ln ti

× åCi ln ti

÷

нивания в зависи-

[NUr]

expç

÷

åCi ln ti

èi=1

i=1

ø

мости

îò

плана

èñ-

i=1

пытаний

по форму-

éæ

r

r

ö

r

ù

ν

[NUT]

ëàì òàáë.8.5.

- m

×

r

expêç

å

A ln t

C ln t ÷

C ln t

ú

Кроме

òîãî äëÿ

êç

i

i

å i

i÷

å i

i

ú

åCi ln ti

ëèi=1

i=1

ø

i=1

û

i=1

N£

6

точечные Ï ð è ì å ÷

à í è å :

Äëÿ

плана

[NUT]

t =T.

Коэффициенты

оценки

параметров A (N,r),

C (N,r),

m(j)

è n(j) -

r

ïî

ÃÎÑÒ

27.503-87 [16]

распределения

Âåé-

i

i

(ñì.ïðèë.IX).

булла

методом

ëè-

нейного оценивания по формулам [8,13]

æ

r

P

r

ö

ç

å Ai

ln ti

-

÷

,

(8.33)

a* = expç

1 -

åCi ln ti÷

èi=1

L i=1

ø

b* =

1 − L

,

(8.34)

r

åCi ln ti

i=1

âкоторых значения коэффициентов Ai(N,r), Ci(N,r), P(N,r) è L(N,r) в зависимости от чередования наработок до отказа (индекс 0) и цензурирования (индекс 1) - по ГОСТ 27.504-87 [13] (см.также [12,21] è ïðèë.IX).

Пример 8.6 [13]. Из шести образцов пять отказали при наработках 38, 88, 96, 118

è 178 ÷, один снят с испытаний при наработке 120 ÷.
Äëÿ	вариационного ряда
наработок до отказа или цен-						Таблица 8.6
зурирования 38, 88, 96, 118,
120*, 178 (èëè 000010), òî ïî			ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ÃÎÑÒ 27.504-87 (ïðèë.IX) ïðè		i	Ai	Ci	P		L
N=6 è r=1 находим значения
		38	0,013939	-0,159159
коэффициентов A, C, P è L
(òàáë.8.6).		88	0,054654	-0,156823
Ïî	формулам (8.38) и	96	0,106415	-0,123795	0,0299845		0,14656259
(8.39) оценки параметров рас-
		118	0,362619	0,046088
пределения Вейбулла		178	0,462373	0,393678

129

æ

5

P

5

ö

æ

0,0299845

ö

ç

÷

a* = expç

å Ai ln ti -

åCi ln ti ÷

= expç4,90697

+

0,41371÷

= 134,29,

èi=1

1 -

L i=1

ø

è

1 - 0,14656259

ø

	b* =	1 − L	=	1 − 0,14656259		= 2,06.
		r			0,41371
		åCi ln ti

i=1

8.2.3. Точечное оценивание показателей надежности

Основной случайной величиной, характеризующей надежность объекта, является наработка на отказ (или до отказа) t. Ее математическое ожидание (средняя наработка tñð) является одним из основных показателей надежности. Поэтому задача оценивания математического ожидания генерального распределения M[t] имеет прикладное значение - определение показателя надежности. При этом оцениваемой генеральной характеристикой является генеральная средняя наработка, выборочной точечной оценкой - выборочная средняя наработка, а выборочную совокупность образует ряд случайных наработок {ti} (i=1,2,...,n), получаемых при испытаниях.

При любом плане испытаний в ходе эксперимента фиксируются номера возникающих отказов i и соответствующие наработки ti. Оценка математического ожидания наработки t* находится отношением суммарной нара-

ботки всех изделий за время испытаний tΣ к количеству зарегистрированных отказов. Для различных планов испытаний суммарная наработка и, соответственно, оценка t* определяются по-разному:

- для плана [NUr]:

		tΣ		1		é r	ù
	t* =		=			êåti + (N - r)tr ú ,		(8.35)
		r		r
						ëi=1	û

ãäå tr - время возникновения r-го отказа, после которого испытания прекращаются, ti - наработки до отказа отказавших изделий, при этом r отказавших объектов дают вклад

âсуммарную наработку в размере Sti, остальные N−r неотказавших - в размере (N−r)tr;

-для планов [NRr] è [NMr]:

t* =

tΣ

=

1 nt ;

(8.36)

r

r

r

- для плана [NUT]:

t* = tΣ

=

1

é rt t +

(

N - r T

ù

,

(8.37)

ú

rt

rt

êå i

t )

êi=1

ú

ë

û

ãäå rt - число отказов, возникших в выборке N за заданное время испытаний T;

- для планов [NRT] è [NMT]:

t* = tΣ

=

1

nT .

(8.38)

r

r

t

t

В табл.8.7 приведены формулы для точечных оценок основных показателей надежности по точечным оценкам параметров законов распределения [8,16]. В гл.6 приведены ожидаемые законы распределения наработки на отказ в зависимости от вида и причин возникновения отказов [17], условий эксплуатации, режима нагружения и технологии изготовления изделий [18].

130

Пример 8.7. [13]. По данным и результатам расчетов примера 8.1 для экспоненци-

ального закона распределения оценить вероятность безотказной работы за наработку t0

= 5000 ÷, среднюю наработку до отказа и 95%-ную наработку до отказа.

Точечные оценки показателей надежности для экспоненциального распределения

ïðè l* = 93,44×10−6 ÷−1 по формулам табл.8.7:

- вероятности безотказной работы за наработку 5000 ÷ p*(t)=exp(-93,44×10−6×5000)=

0,63:

- средней наработки до отказа t* = 1/93,44×10−6 = 10700 ÷;

- 95%-ной наработки до отказа t0,95* = ln(1/0,95)/93,44×10−6 = 549 ÷.

Пример 8.8. [13]. По данным и результатам расчетов примера 8.2 для нормального

закона распределения определить точечные оценки среднего и 90%-ного ресурсов ав-

томобилей.

По формулам табл.8.7 оценка среднего ресурса t*=m*=302,894 òûñ.êì, 90%-íîãî

ресурса tγ=302,894-1,2816×44,698=245,609 òûñ.êì (ãäå uγ=1,2816 - квантиль нормаль-

ного распределения при pγ=0,9 (ñì.ïðèë.I)).

Пример 8.9. [16]. По данным и результатам расчетов примера 8.3 для нормального

закона распределения определить оценки показателей надежности: средней наработки

до отказа, вероятности безотказной работы за наработку t = 500 ÷, 90%-го ресурса и

интенсивности отказов за наработку t = 500 ÷.

По формулам табл.8.7 средний ресурс`t*=m*=2280 ÷, вероятность безотказной ра-

áîòû ïðè t = 500 ÷ (с использованием нормированной функции Лапласа - см.прил.I)

p(t = 500)

=

1

-

é500 - 2280ù

=

1

- Ô(11, )

= 0,85,

2

Ôê

1612

ú

2

90%-ный ресурс

ë

û

tγ* = 2280-1,2816×1612 = 214 ÷.

ãäå uγ=1,2816 - квантиль нормального распределения при pγ=0,9 (ñì.ïðèë.I).

Интенсивность отказов l(t) за наработку 500 ÷

1

f

æ t - aö

f

æ 500 - 2280

ö

s

ç

÷

ç

1612

÷

0,218

l * (t)

=

0 è s

ø

=

0 è

ø

=

= 159,

×10

−

4.

1

æ t -

aö

1612 × 0,85

1612 × 0,85

-

2

Ôç

÷

è s

ø

Пример 8.10. По данным и результатам расчетов примера 8.4 для распределения

Вейбулла определить точечные оценки средней наработки до отказа, вероятности без-

отказной работы и интенсивности отказа за наработку t = 1,0 òûñ.êì.

Для распределения Вейбулла с параметрами a* = 1,61 è b* = 2,90 оценки характе-

ристик надежности по формулам табл.8.7:

- среднего ресурса

Таблица 8.7

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ [8,16]

Показатель

 è ä ð à ñ ï ð å ä å ë å í è ÿ

надежности

Экспоненциальный

Нормальный

Логарифмически

Вейбулла

нормальный

Средняя

1/l

m

exp(m+s/2)

aG(1+1/b)

наработка

до отказа t

Гамма-

ln(1/g)/l

m - uγs

exp(m+uγs)

a[ln(1/g)1/b

процентная

наработка

до отказа tγ

Вероятность

exp(-lt)

1

+

æ m - tö

1

+

æ m - ln tö

b

]

безотказной

2

Ôç

s

÷

2

Ôç

s

÷

exp[-(t/a)

работы p(t)

è

ø

è

ø

Интенсивность

l

f(t)

s

sf(t)

t

btb-1/ab

отказов l(t)

1

æ m - tö

1

æ m - ln tö

+

+

2

Ôç

s

÷

2

Ôç

s

÷

è

ø

è

ø