надежность машин и оборудования

21

P(G) = P(A1) + P(A4) + P(A7) + P(A8) + P(A12) + P(A13) = = 0.660 + 0.51 + 0.022 + 0.051 + 0.014 + 0.035 = 0.833;

P(C) = P(A1) +P(A3) + P(A4) + P(A6) + P(A8) + P(A12) + P(A13) = = 0.660 + 0.022 + 0.051 + 0.007 + 0.051 + 0.014 + 0.035 = 0.840;

P(B) = P(A1) + P(A3) + P(A4) + P(A6) + P(A8) + P(A10) + P(A13) = = 0.660 0.022 + 0.051 + 0.007 + 0.051 + 0.007 + 0.035 = 833;

P(D) = P(A1) + P(A3) + P(A4) + P(A5) + P(A6) + P(A7) + P(A8) + P(A9) + P(A10) + P(A11) = = 0.660 + 0.022 + 0.051 + 0.013 + 0.007 + 0.022 + 0.051 + 0.013 + 0.007 + 0.014 = 0.860.

6.2.4. Требования к показателям безотказности систем и агрегатов

При обосновании уровня показателей безотказности так же, как и при выборе этих показателей, используются различные методы в зависимости от основного критерия оценки функционирования - экономической эффективности, требований безопасности или безусловного выполнения поставленной задачи.

Для систем, основным критерием оценки функционирования которых является экономическая эффективность, применяются два метода:

-обоснование нормы надежности по критерию минимума суммарных затрат на разработку, изготовление и эксплуатацию системы;

-обоснование нормы надежности по критерию максимума эффекта на единицу суммарных затрат.

Общим основным принципом этих методов является обоснование требований безотказности затратами на изготовление и эксплуатацию системы и эффективностью ее функционирования. Как правило, повышение безотказности системы связано с увеличением затрат на разработку и производство, связанных с проработкой различных конструктивных вариантов, применением материалов с улучшенными характеристиками, резервированием и т.д. Поэтому требования к безотказности находятся в определенном противоречии с требованием ограничения стоимости системы. В то же время затраты, связанные с эксплуатацией более надежной системы, могут быть снижены вследствие сокращения затрат на ремонт и техническое обслуживание, кроме того использование системы с более высоким уровнем безотказности даст больший эффект.

Если определяющим фактором при оценке экономической эффективности является сам факт отказа и связанные с ним затраты на техническое обслуживание и ремонт, то целесообразно использовать первый из методов нормирования безотказности, если же определяющими являются потери производимой продукции, то целесообразно использовать второй метод.

При использовании критерия минимума суммарных затрат на разработку, изготовление и эксплуатацию необходимо:

-определить функциональные зависимости стоимости разработки Cp, изготовления Cè, эксплуатации Cý от изменения безотказности системы

Cp = Fp [P(t)]; Cè = Fè[P(t)];	Cý = Fý[P(t)];	(6.20)
и аналитически или графически определить	оптимальное значение безот-

казности P(t)îïò, соответствующее минимуму суммарных затрат на разработку, изготовление и эксплуатацию системы.

Если задача решается аналитически, то, приравняв к нулю производную функции суммарных затрат

22
d{Fp[P(t)] + Fè[P(t)] + Fý[P(t)]}/dt = 0,	(6.21)

определяется значение P(t)îïò, которое и будет соответствовать минимуму суммарных затрат min{Cp+Cè+Cý}.

Åñëè P(t)îïò определяют графически, то значение min{Cp+Cè+Cý} îï-

ределяется по графику функции

Cc = {Fp[P(t)] + Fè[P(t)] + Fý[P(t)]}.

6.9

[11].

(6.22)

Таблица 6.6

Пример

Необходимо

определить

оптимальное

значение

СООТНОШЕНИЕ СТОИМОСТИ

вероятности

безотказной

работы

И ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ

системы, для которой заданы функ-

Обозначение

Вероятность безотказной работы

циональные

зависимости

стоимо-

ñòåé

от вероятности

безотказной

стоимости

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,97

работы (табл.6.6).

Ïî

данным табл.6.6

строим

ãðà-

Cp+Cè

18

20

23

30

47

95

ôèêè

зависимостей

Cp+Cè=

Ñý

113

98

82

70

55

50

Fp[P(t)]+Fè[P(t)],

Cý=Fý[P(t)]

è

суммарной стоимости Cc= Cp+Cè+Cý. (рис.6.5). На графике кривой Ññ[P(t)] определяем минимум суммарной стоимости, которому и соответствует оптимальное значение веро-

ятности безотказной работы системы P(t)îïò ≈ 0.85÷0.86. Учитывая дополнительные факторы, можно уточнить полученное значение.

Трудность применения метода заключается в том, что для достоверных оценок экономической эффективности при использовании функциональных зависимостей между надежностью и стоимостью требуется большое коли- чество статистических данных и большой опыт по производству и эксплуатации устройств конкретного вида. При этом для различных устройств аналитические зависимости могут иметь различный вид [18].

Кроме того, часто минимум суммарных затрат на графике имеет довольно пологий, не строго фиксируемый по осям координат участок, и поэтому не всегда обоснована очень строгая регламентация значения P(t)îïò, определенного по этим условиям.

Нужно также учитывать, что при создании машин и их эксплуатации на экономическую оценку эффективности оказывает влияние большое число факторов, из которых сложно выделить основные [23].

При использовании критерия максимума эффективности на единицу суммарных затрат определяется коэффициент нормирования надежности

C,
òûñ.ðóá.
140		Cc = Cð+Cè+Cý
120
100
80		Cý
60
40	Cð+Cè
20				P(t)îïò
0
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	P(t)
Рис.6.5. Зависимости стоимости
от вероятности безотказной работы.

Êí	= Ý/Ñ,	(6.23)
ãäå Ý - суммарный эффект от ис-
пользования	системы	в течение

ремонтного цикла; Ñ - суммарные затраты на изготовление и эксплуатацию системы за тот же период.

Расчетные формулы для

определения Êí учитывают факторы конструктивного решения, режим использования системы по назначению и последствия отказов [19]. Для определения оптимального

значения Êí необходимо определить коэффициент нормирования надежности для

23

всех возможных вариантов изготовления устройства Êíi, и тот вариант,

который обеспечивает максимум Êíi, принимается за оптимальный и подлежит реализации.

Таким образом, существенной трудностью применения методики является необходимость иметь разработанные варианты устройств, различные стоимостные оценки и величины показателей надежности для всех сравниваемых вариантов.

Для систем, основным критерием оценки функционирования которых является требование безопасности или требование безусловного выполнения задачи, при определении требуемой вероятности безотказной работы необходимо учитывать те последствия, к которым ведет появление опасных отказов.

По последствиям опасных отказов системы этого класса делятся на следующие виды:

-системы с катастрофическими последствиями;

-системы с компенсацией последствий отказа за счет перегрузки системы или оператора, в результате чего значительно увеличивается вероятность их отказа;

-системы с возможностью продолжения выполнения задачи без компенсации последствий отказа, но при худших характеристиках;

-системы с временным резервированием, когда для устранения опасно-

го отказа можно на время t £ tðåç прервать функционирование системы.

 системах с катастрофическими последствиями отказов отказы недопустимы. Нормирование безотказности в этом случае основано на использование принципа "практической уверенности". Тогда вопрос сводится

êобоснованному назначению границы пренебрежимо малых вероятностей, т.е. к выяснению, насколько малой должна быть вероятность отказа системы за время выполнения задания, чтобы отказ можно было считать практически невозможным. В этом состоит основная трудность применения метода, т.к. назначение практически достоверных и практически невозможных событий не является чисто математическим вопросом, а связано с существом решаемых задач, с конкретными ситуациями, для которых они определяются и назначаются.

Например, система выпуска шасси пассажирского самолета относится

êсистеме с катастрофическими последствиями отказов, поэтому ее отказ должен быть практически невозможным событием. Обычно принимается,

что события практически не происходят, если их вероятность Q £ 10−6, поэтому вероятность безотказного функционирования этой системы при

каждом использовании должна быть P ³ 0,999999.

 системах с компенсацией последствий отказа за счет перегрузки системы или оператора используется метод, основанный на опыте предыдущих разработок и корреляционного анализа для установления связи между безотказностью и другими техническими характеристиками системаналогов. Трудность при использовании метода состоит в обосновании выбора из определенной номенклатуры факторов, которые по предположению коррелируют с показателем безотказности, особенно при ограниченном количестве сопоставляемых аналогов. Для систем с компенсацией применим также принцип "практической уверенности".

24

Äëÿ систем, работающих с ухудшенными характеристиками после отказа, наиболее применим метод, основанный на определении требуемой эффективности системы W с учетом ее безотказности

W = W0P(t),

(6.24)

ãäå W0 - эффективность абсолютно надежной системы; P(t) - вероятность безотказной работы системы за время ее применения.

Пример 6.10 [11]. Необходимо определить, какая вероятность безотказной работы требуется от системы и распределить требования к безотказности между ее элементами (агрегатами), если система обеспечивает достаточную производительность в течение смены, когда из пяти одинаковых агрегатов работают четыре.

Используем для решения метод, основанный на определении требуемой эффективности системы W с учетом ее ненадежности. По формуле (6.24)

P(t) = 4/5 = 0,8.

Äëÿ систем с временным резервированием для устранения опасного отказа которых можно на время прекратить функционирование, используется метод анализа и моделирования ситуаций. Рассматриваются системы, в которых общее время восстановления после отказов за время выполнения задания не должно превышать tðåç, и системы, в которых каждое (или одно допускаемое) восстановление должно быть по времени меньше tðåç.

Там, где это возможно, используется нормирование надежности систем второго класса с экономическим обоснованием, например, по критерию минимизации суммы затрат на производство и эксплуатацию или по критерию минимизации стоимости выполнения поставленной задачи.

Âтабл.6.7 приведено соотношение характеристик систем и возможных методов нормирования безотказности [11].

Каждый из методов нормирования имеет определенные недостатки, затрудняющие его использование. Поэтому для лучшего обоснования принимаемых решений возможно сочетание методов [20].

Если рассматриваемая система (агрегат) является элементом (составной частью) системы более высокого порядка, требования по безотказности к которой уже обоснованы, то требования к рассматриваемой подсистеме (агрегату) могут быть определены с учетом безотказности системы, в которую рассматриваемая подсистема входит составной частью.

Требования по безотказности распределяются сначала на стадии эскизного проектирования для основных элементов системы, а затем на стадии технического проекта - для всех элементов системы.

Для распределения требований по безотказности между элементами системы могут быть использованы различные способы: исходя из условия равной надежности элементов системы, с учетом сложности и значимости элементов, с учетом безотказности аналогов, исходя из условия минимальной суммарной стоимости элементов системы.

Âобщем случае распределение требований представляет сложную задачу. Поэтому на первом этапе принимаются различные допущения, облегчающие ее решение: отказы элементов считаются независимыми, элементы соединены последовательно, интенсивность отказов элементов постоянна. В процессе последующего проектирования задача решается методом последовательного приближения.

25

						Таблица 6.7
	ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ И МЕТОДЫ ОБОСНОВАНИЯ БЕЗОТКАЗНОСТИ
	Критерий		Учитываемые		Метод обоснования
Класс	оценки	дополнительные факторы			нормы безотказности
	эффективности
I	Экономический	Сам факт отказа и затраты			Определение	минимума
		на его устранение			суммарных затрат на разра-
					ботку, производство и экс-
					плуатацию системы
		Потери в производимой			Определение	максимума
		продукции			эффекта на единицу сум-
					марных затрат
II	Требования	Послед-		катастрофические	По принципу "практической
	безопасности	ствия			уверенности"
	èëè	отказов		работа	По опыту предыдущих раз-
	безусловного			с перегрузками	работок и корреляционный
	выполнения				анализ
	задачи
				ухудшение	Определение	требуемой эф-
				характеристик	фективности
				задержка	Моделирование
				выполнения задачи	ситуации

При использовании условия равной надежности расчет вероятность

безотказной работы элемента рассчитывается по формуле
pi(t) = [P(t)]1/n.	(6.25)

Пример 6.11. В предыдущем примере, считая отказы в агрегатах независимыми, по условию равной надежности:

pi(t) = [P(t)]1n = 50,8 = 0,956.

При распределении требований с учетом сложности и значимости элементов производятся следующие расчеты:

- расчет требуемой вероятности безотказной работы i-го элемента сис-

темы при его требуемой наработке ti
p	(t )	=	1−[P(t)]Ni N						(6.26)
i	i				ki
ãäå P(t) - требуемая вероятность безотказной работы системы; Ni									- число отдельных
устройств в i-м элементе; N - общее число устройств в системе; ki - показатель важно-
ñòè â i-го элемента (вероятность отказа системы при отказе i-го элемента): ki = aci/ai;
aci - число отказов системы вследствие отказа i-го элемента за какое-то время работы;
ai - число отказов i-го элемента за то же время работы;
- расчет требуемой наработки на отказ i-го элемента
	T0i = −				Ntiki		.		(6.27)
					Ni[lnP(t)]

Формулы (6.26) и (6.27) получены при допущениях о последовательном соединении элементов, независимости отказов, постоянной интенсивности отказов и равной надежности устройств каждого элемента. Формула (6.26) применима, если выполняется условие

k >1−[P(t)]Ni N .	(6.28)
i

Формула (6.27) дает хорошее приближение, если значения ki близки к единице.

26

При распределении требований с учетом учитываются новые требования к системе:

( ) ( )é P(t) ù1n

pi t = pai t êëPa(t) úû ,

безотказности аналогов

(6.29)

ãäå pi(t) - требуемая вероятность безотказной работы i-го элемента проектируемой системы; pai(t) - вероятность безотказной работы i-го элемента-аналога; Pc(t) - заданная

вероятность безотказной работы проектируемой системы; Pa(t) - заданная вероятность безотказной работы системы-аналога;

Для распределения требований с учетом минимальной суммарной стоимости системы решают задачу минимизации:

s	s
åClk ®min;	ÕRlk ³ Ro; lk =1,2,...,r1; ls =1,2,...,rs; k =1,2,...,s ,	(6.30)
k=1	k=1

	ãäå s - общее число типов или общее число элементов системы; lk - индекс варианта
	элемента k-ãî òèïà; Ro - заданный уровень надежности.
	Методика распространяется на случай, когда по каждому типу элемен-
	тов имеется набор пар значений показатель надежности - стоимость.
	Пример 6.12 [11]. Распределить требова-							Таблица 6.8
	ния между элементами системы, состоящей
			ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И РЕЗУЛЬТАТ
	из трех агрегатов, если требуемая вероят-
	ность безотказной работы системы за время t		РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ
	= 10 ÷ P(t) = 0,960. Время работы агрегатов
			Àãðå-	Параметры				Результат
	ti, число устройств в каждом агрегате Ni	è
					блоков			решения
	показатель важности каждого агрегата	ki	ãàòû
				ti	Ni		ki	pi(ti)	Toi
	представлены в табл.6.8.
	Проверяем применимость формулы (6.26)		1	10	100		1,0	0,980		490
	для минимального значения Ni = 50:		2	8	50		0,8	0,987		630
	k >1−[P(t)]50/200, 0.7>1−0,950,25=0,01.		3	5	50		0,7	0,985		350
	i
	Условие выполняется даже для минималь-

ного значения ki, поэтому по формулам (6.26) и (6.27) определяем требуемые вероят-

ности безотказной работы pi(t) и наработку на отказ toi элементов системы. Результаты расчета приведены в табл.6.8.

6.3. Проектный анализ надежности машин

Структурный анализ используют для раскрытия внутренних связей элементов и исследуемого объекта в целом, установления закономерностей этих связей и возможностей управления ими для достижения определенных целей. В данном случае объектом управления является надежность машины, а целью управления - минимизация ремонтных оперативных затрат, а также других потерь, связанных с восстановлением работоспособности техники. Структура надежности должна быть представлена таким образом, чтобы с ее помощью можно было бы определить вероятность реализации заданных минимальных ремонтных оперативных затрат в течение заданной наработки машины.

Для управления показателями долговечности механической системы минимальные оперативные ремонтные затраты принимаются по критерию ее предельного состояния, а для управления показателями безотказности - по соответствующему критерию отказа. При структурном анализе применяются структурные формулы и структурные схемы надежности машины и их сборочных единиц (см.гл.5).

27

6.3.1. Определение вероятности обеспечения ресурса

Предельное состояние большинства ремонтируемых машин и единиц оборудования приводит к необходимости проведения капитального ремонта. Критерием такого предельного состояния являются минимальные ремонтные оперативные затраты, которые определяются составом слесарных работ при агрегатно-узловой технологии капитального ремонта машины:

Zêð = Zïîäã + Zðàçá + Zñá + Zçàêë,

(6.31)

ãäå Zêð - оперативная продолжительность или трудоемкость капитального ремонта ма-

шины, принятая за критерий предельного состояния; Zïîäã - то же, при подготовке машины к капитальному ремонту (чистка, мойка, слив горюче-смазочных материалов и

ò.ä.); Zðàçá(Zñá) - то же, при разборке (сборке) машины; Zçàêë - то же, при заключи- тельных операциях после ремонта (наладка, испытание, регулировка, окраска).

Данный критерий однозначно оценивает только конструктивные особенности машины и не связан с внутризаводской технологией ремонта. В качестве критерия предельного состояния может быть выбран сколько угодно низкий уровень ремонтных затрат, определяемый лишь долей затрат ремонтных операций капитального ремонта машины.

Очевидно, что предельное состояние машины может быть реализовано только при появлении какой-либо комбинации предельных состояний сборочных единиц, за критерий которых принимают также минимальные оперативные затраты разборки и последующей сборки этих узлов по составу слесарных операций:

zi = zïîäã + zðàçá + zñá + zçàêë,

(6.32)

ãäå zi - оперативная продолжительность или трудоемкость капитального ремонта или замены i-ãî óçëà; zïîäã - оперативная продолжительность подготовительных работ к ремонту i-го узла (демонтаж отказавшего узла, включая демонтаж других частей, закры-

вающих доступ к отказавшему узлу); zðàçá - оперативная продолжительность разбороч- ных операций узла, мойки и дефектовки деталей; zñá - оперативная продолжительность

сборочных операций узла; zçàêë - оперативная продолжительность операций по наладке узла после сборки, его испытания и монтажа.

Каждая из составляющих вычисляется по сумме продолжительности (трудоемкости) технологических переходов в составе соответствующих операций с заданной последовательностью. Все эти затраты определяются на этапе проектирования. Отношение оперативных затрат zi к затратам Zêð определяет ранг ремонтных затрат узла по отношению к минимальным затратам, принятым за критерий предельного состояния машины:

Ri = zi/Zêð,

(6.33)

После проведения оценочных расчетов по затратам на капитальный ремонт каждого узла необходимо выделить те узлы, затраты на ремонт которых близки (или превышают) к затраты на капитальный ремонт машины

(базовые узлы, для которых zi ³ Zêð), а также другие комбинации затрат, сумма которых тоже была бы больше (или равна) избранного критерия

m
åzi ³ Zêð .	(6.34)

i=1

Таким образом компонуются все возможные неповторяющиеся варианты ремонтных ситуаций и составляется ряд несовместных событий À1,À2,...,Àr и соответствующий ему ряд ремонтных затрат ZA1,ZA2,...,ZAr, сумма рангов которых больше единицы (еRi ³ 1).

28

Все другие варианты образуют ряд ремонтных ситуаций, которые по затратам не могут быть отнесены к предельным состояниям машины

(0£åzi<Zêð). Этот ряд событий Â0,Â1,...,Âs и соответствующих затрат

ZB1,ZB2,...,ZBs состоит из вариантов с признаком еRi<1 (Â0 - ситуация, при которой не требуется капитального ремонта ни одного узла).

Так как сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице, то вычислив одну из них (например, вероятность отказа), можно найти вероятность противоположного события (вероятность безотказной

работы): P = 1-Q. Поскольку необходимо определить вероятность появления событий в течение заданной наработки до предельного состояния

Q(Tγ), то можно считать, что вероятность появления этого состояния за время Tγ по теореме сложения вероятностей несовместных событий будет

Q(Tγ) = p(A1ÚA2Ú...ÚAr) = p(A1) + p(A2) +...+ p(Ar),	(6.35)
а вероятность противоположного события (за время Tγ предельное состоя-
ние не наступит),
P(Tγ) = p(B0ÚB1ÚB2Ú...ÚBs) = p(B0) + p(B1) +...+p(Bs).	(6.36)

Число всех возможных комбинаций событий определяется суммой биномиальных коэффициентов. Поэтому общее число ремонтных ситуаций, включая состояние, при котором не требуется проведение капитального

ремонта ни одного узла,
r + (s + 1) = 2n.	(6.37)

Множества {Ai} è {Bi} являются конечными и зависят от численного значения рангов затрат на ремонт узлов и от числа этих узлов в машине.

Так как полная вероятность всех возможных состояний

r	s
å p(Ai )+ å p(Bi )=1		(6.38)
i=1	i=0

и поскольку события типа À противоположны событиям типа Â, то для расчета вероятностей их появления может быть выбрано меньшее из мно-

жеств {Ai} èëè {Bi}, что позволит сократить объем вычислений.

Пример 6.13 [11]. Рассмотрим расчет вероятности появления событий типа À èëè Â на примере машины, состоящей из четырех узлов. Ее ремонтопригодность оценивается продолжительностью ремонта, а каждый из узлов по продолжительности капитального

ремонта оценивается рангами R1 = 1,0, R2 = 0,6, R3 = 0,3, R4 = 0,1. Вероятности того, что за период работы машины, равный ее ресурсу, капитальных ремонтов узлов не бу-

дет, равны, соответственно, p1, p2, p3 è p4.

Число всех возможных сочетаний событий, приводящих и не приводящих к капитальному ремонту каждого из четырех узлов, равно 24 = 16. В табл.6.9 приведены все возможные сочетания и их суммы рангов (в таблице событие, приводящее капитальному ремонту узла, обозначено знаком "+", а противоположное событие - знаком "0").

В таблице событий типа À девять, а событий типа Â семь, поэтому проще рассчитать

вероятность того, что за время Tγ машина не будет иметь капитального ремонта (выражения для расчета вероятностей событий также приведены в табл.6.9):

P(Tγ) = p(B0) + p(B1) + p(B2) + p(B3) + p(B4) + p(B5) + p(B6) =

=p1p2p3p4 + p1(1–p2)p3p4 + p1p2(1–p3)p4 + p1p2p3(1–p4) +

+p1(1–p2)(1–p3)p4 + p1(1−p2)p3(1–p4) + p1p2(1–p3)(1–p4) =

= p1[1 − (1 − p2)(1 − p3)(1 − p4)].

Из выражения следует, что капитальный ремонт машины может возникнуть при появлении одной из двух взаимоисключающих ремонтных ситуаций: либо при капиталь-

ном ремонте первого узла (R(A1)=1), либо при одновременном ремонте остальных трех

29

									Таблица 6.9
				ВОЗМОЖНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
¹¹	Í î ì å ð			ó ç ë à			Сумма	Обозна-
состо-	1		2	3		4	рангов	чение	Вероятность
ÿíèÿ		Ð à í ã		ó ç ë à			åRi	события	события
	1,0		0,6	0,3		0,1
1	0		0	0		0	0	B0	p1p2p3p4
2	+		0	0		0	1,0	A1	(1-p1)p2p3p4
3	0		+	0		0	0,6	B1	p1(1-p2)p3p4
4	0		0	+		0	0,3	B2	p1p2(1-p3)p4
5	0		0	0		+	0,1	B3	p1p2p3(1-p4)
6	+		+	0		0	1,6	A2	(1-p1)(1-p2)p3p4
7	+		0	+		0	1,3	A3	(1-p1)p2(1-p3)p4
8	+		0	0		+	1,1	A4	(1-p1)p2p3(1-p4)
9	0		+	+		0	0,9	B4	p1(1-p2)(1-p3)p4
10	0		+	0		+	0,7	B5	p1(1-p2)p3(1-p4)
11	0		0	+		+	0,4	B6	p1p2(1-p3)(1-p4)
12	+		+	+		0	1,9	A5	(1-p1)(1-p2)(1-p3)p4
13	+		+	0		+	1,7	A6	(1-p1)(1-p2)p3(1-p4)
14	+		0	+		+	1,4	A7	(1-p1)p2(1-p3)(1-p4)
15	0		+	+		+	1,0	A8	p1(1-p2)(1-p3)(1-p4)
16	+		+	+		+	2,0	A9	(1-p1)(1-p2)(1-p3)(1-p4)

узлов (R(A8)=1), т.е. будет иметь место условие, при котором достигается наибольшая вероятность появления капитального ремонта машины из всех возможных комбинаций ремонтных ситуаций:

N{A} ' {a1Ú[a2Ùa3Ùa4]}

ãäå ai - обозначение события, приводящее капитальному ремонту i-ãî óçëà.

К множеству событий типа À, обладающих признаком еRi ³1, с наибольшей вероят-

ностью принадлежит событие с признаком R1=1 либо с признаком R2+R3+R4=1. Полученное выражение может быть изображено графически с помощью структурной

схемы надежности (рис.6.6), при этом из всех возможных комбинаций ремонтных си-

туаций типа À в структурной схеме должны быть представлены только те из них, которые определяют минимальный уровень ремонтных затрат. В данном случае каждая из двух ремонтных ситуаций определяет ремонтные затраты по суммарному рангу, равно-

му единице. Все другие ремонтные ситуации типа À имеют суммарный ранг больше единицы. Таким образом, структурная схема определяет состав ремонтных комплектов по критерию минимума оперативных ремонтных затрат.

В наборе комбинаций различных состояний машины получено девять ремонтных си-

туаций типа À. Поскольку событие À1 является составной частью всех событий, кроме À8, то имеет место условие

À1 Î [À2 Ù À3 Ù À4 Ù À5 Ù À6 Ù À7 Ù À9] (вероятности появления событий типа A приведены в табл.6.9).

Из приведенного набора вероятностей ремонтных ситуаций наибольшее значение ве-

	роятности будет в случае, когда возникает ситуация À1. Поскольку ремонтная ситуация
	À8 является единственной несовместной комбинаци-							2
	ей, то вероятность появления либо события À1, ëèáî
	события À8 также является наибольшей из всех воз-
					1			3
	можных вариантов.
	Структурная схема дает оптимальный ва-
	риант ремонтных ситуаций	наибольшего						4
	правдоподобия с наименьшими	ремонтными
			Рис.6.6. Структурная схема
	затратами. Выражения для подобных вероят-		надежности машины
	ностей может быть разложено в ряд		при рангах ремонтных затрат:
			R1=1,0; R2=0,6; R3=0,3; R4=0,1

30

			é k	ù	n
			Pk,n = ê∏(1- pi )ú		∏pj =
			ê =	ú	=	+
			ëi 1	ûj		k 1
= MC0	-M(p +p +...+p		)+M(p p +p p +...+p p					)+...+(-1)M(p p ...p		), (6.39)
n	1 2	k	1 2 1 3			k−1	k	1 2	n

n

ãäå M = ∏pj - постоянный множитель для всех членов ряда i.

j=k+1

Число слагаемых в скобках каждого члена ряда изменяется с изменением степени слагаемых и равно биномиальному коэффициенту соответствующей степени. Можно условно обозначить суммы членов в скобках соответствующими биномиальными коэффициентами:

p

1

+ p

2

+ ...+ p

k

= C1

{p

};

k

a

p p

+ p p

+ ... + p −

p

k

= C2

{p

p };

(6.40)

1 2

1 3

k 1

k

a

b

. . .

p1p2p3...pk = Ckk{papb...pk},

где индексы à,b,...,k принимают значения, зависящие от порядка комбинации по данному числу сочетаний.

Теперь выражение (6.39) можно записать в виде

Pk,n = MC0n-ÌÑ1k{pa}+MC2k{papb}-MC3k{papbpc}+...+(-1)nCnn{papb...pn}. (6.41)

Пример 6.14 [11]. Ранги ремонтных затрат четырех узлов машины равны R1=1,0, R2=0,8, R3=0,5, R4=0,2, соответствующие вероятности работы без капитального ремон-

òà p1, p2, p3 è p4.

Все комбинации ремонтных ситуаций типа À представлены в табл.6.10. Структурная формула надежности

N{A} {a1 [a2 (a3 a4)]}.

В этом случае структурная схема отражает сочетания ремонтных ситуаций с мини-

мальными затратами. Действительно, из табл.6.10 следует, что R(A1) = 1,0; R(A9) = 1,3

è R(A10) = 1,0. При этом узлы 2, 3 и 4 образуют параллельно-последовательное соединение, которое означает, что ни один из их рангов не превышает единицу, но сумма

рангов R2 + R3 = 1,3, à R2 + R4 = 1,0.

Таким образом, может иметь место предельное состояние машины с наибольшей вероятностью только в двух сочетаниях капитальных ремонтов узлов 2, 3 и 4 (кроме ре-

монтной ситуации À1): либо при одновременном ремонте узлов 2 и 3, либо при ремонте узлов 2 и 4. Очевидно, что вариант, когда будет требоваться проведение капитального ремонта всех трех узлов 2, 3 и 4, имеет вероятность значительно меньшую, чем в первых двух комбинациях Для вычисления полной вероятности появления предельного состояния машины необходимо сложить вероятности всех состояний, указанных в табл.6.10. Для упрощения расчетных работ таблица разделена на колонки соответственно членам алгебраической суммы выражения (6.41). Это дает возможность сгруппировать члены с одним знаком в одну из колонок и делает удобным сложение всех вероятностей состояний (сокращаются подобные члены в колонках с противоположными знаками).

Полученное выражение является вероятностью появления предельного состояния машины:

Q(Tγ) = 1 − p1p2 − p1p3p4 + p1p2p3p4 =

=1 − p1[1 − (1−p2)(1−p3p4)],

àпротивоположная ей вероятность

P(Tγ) = p1[1 − (1 − p2)(1 − p3p4)] соответствует логической записи

N{Ai} R1 [R2 (R3 R4)]

и структурной схеме на рис.6.7 (элементы 3 и 4 соединены двумя связями, означающими независимость проведения ремонта одного из узлов от состояния другого в данный момент времени).