надежность машин и оборудования

111

3.Костецкий Б.И. и др. Надежность и долговечность машин.- Киев: Техника, 1975.- 408 с.

4.Райкин А.Л. Элементы теории надежности для проектирования технических систем.- М.: Сов.радио, 1967.- 280 с.

5.Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем.- М.: Сов.радио, 1971.- 272 с.

6.Дедков В.К., Северцев П.А. Основные вопросы эксплуатации сложных систем.- М.: Высш.школа, 1976.- 406 с.

7.Палюх Б.В. и др. Надежность систем управления химическими производствами.- М.: Химия, 1987.- 178 с.

8.Барзилович Е.Ю. Модели технического обслуживания сложных систем.- М.: Высш.школа, 1982.- 231 с.

9.Мозгалевский А.В., Гаскаров Д.В. Техническая диагностика.- М.: Высш.школа, 1975.- 207 с.

10.Труханов В.М. Методы обеспечения надежности изделий машиностроения.- М.: Машиностроение, 1995.- 304 с.

11.Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10 т. Т.1. Методология, организация, терминология. - М.: Машиностроение, 1986.- 224 с.

12.Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10 т. Т.7. Качество и надежность в производстве. - М.: Машиностроение, 1989.- 376 с.

13.Канарчук В.Е. Основы надежности машин.- Киев: Наукова думка, 1982.- 248 с.

14.Герцбах И.Б. Модели профилактики.- М.: Сов.радио, 1969.- 214 с.

15.Кузьмин Ф.И. Задачи обеспечения надежности технических систем.- М.: Радио

èсвязь, 1982.- 176 с.

16.Единая система планово-предупредительного ремонта и рациональной эксплуатации технологического оборудования машиностроительных предприятий.- М.: Машиностроение, 1967.- 583 с.

17.Шишонок Н.А., Репкин В.Ф., Бравинский Л.Л. Основы теории надежности и эксплуатации радиоэлектронной техники.- М.: Сов.радио, 1964.- 551 с.

18.Гаскаров Д.В., Голинкевич Т.А., Мозгалевский А.В. Прогнозирование технического состояния и надежности радиоэлектронной аппаратуры.- М.: Сов.радио, 1974.-223ñ.

19.Система технического обслуживания и ремонта оборудования предприятий химической промышленности. справочник.- М.: Химия, 1986.- 352 с.

20.ÃÎÑÒ 18322-78. Система технического обслуживания и ремонта техники. Термины и определения.

21.Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10 т. Т.8. Эксплуатация

èремонт.- М.: Машиностроение, 1990.- 320 с.

22.Барлоу Р.Е., Прошан Ф. Математическая теория надежности.- - М.: Сов.радио, 1969.- 541 с.

23.Игнатов В.А., Маньшин Г.Г., Трайнев В.А. Статистическая оптимизация ка- чества функционирования электронных систем.- М.: Энергия, 1974.- 264 с.

24.Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций.- М.: Машиностроение, 1984.- 312 с.

25.Надежность технических систем. Справочник. Под ред. И.А.Ушакова.- М.: Радио и связь, 1985. - 608 с.

26.Хазов Б.Ф., Дидусев Б.А. Справочник по расчету надежности машин на стадии проектирования.- М.: Машиностроение, 1986.- 224 с.

27.Труханов В.М. Методы обеспечения надежности изделий машиностроения.- М.: Машиностроение, 1995.- 304 с.

28.Сотсков Б.С. Основы теории и расчета надежности элементов и устройств автоматики и вычислительной техники.- М.: Высш.школа, 1970.- 272 с.

29.Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности.- М.: Наука, 1965.- 524 с.

30.Барзилович Е.Ю. и др. Вопросы математической теории надежности.- М.: Радио и связь 1983.- 376 с.

31.Клейнрок Л. Теория массового обслуживания.- М.: Машиностроение, 1979.- 432 с.

32.Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10 т. Т.2. Математиче- ские методы в теории надежности и эффективности.- М.: Машиностроение,1987.- 280 с.

33.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.- М.: Наука, 1981.- 720 с.

112

Г л а в а 8

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ

Оценка и контроль показателей надежности машин, промышленного оборудования и их элементов осуществляются по результатам испытаний или наблюдений в процессе эксплуатации. Испытания и контроль надежности технических систем и элементов при эксплуатации должны количе- ственно оценить надежность, определить значения показателей надежности и их соответствие требованиям нормативно-технической документации - стандартов, технических условий, нормалей, чертежей и т.п.

8.1. Виды испытаний на надежность

Разработка, внедрение в производство и серийное изготовление новых машин и оборудования всегда сопровождается контролем качества как самого объекта, так и его составляющих - подсистем, узлов, деталей и комплектующих. Для сложных технических систем определение и контроль значений параметров элементов не всегда может обеспечить высокую достоверность определения пригодности и качества системы в целом, так как часто не известны связи оценок качества со значениями контролируемых параметров [1]. Кроме того, поскольку функционирование техни- ческой системы определяется процессами, порождаемыми, в том числе, взаимодействием элементов и подсистем друг с другом, оно не всегда зависит только от параметров элементов. Поэтому, несмотря на наличие аналитических методов исследований, окончательно судить о качестве объекта и его пригодности к применению можно только по результатам испытаний или эксплуатации объекта в целом и его элементов.

8.1.1. Цели и задачи испытаний

Основная задача испытаний технических объектов (элементов и систем) - получение информации об их работоспособности в конкретных условиях эксплуатации, применения или использования. При разработке новых технических объектов основными задачами испытаний являются проверка и демонстрация новых технических решений, конструкций или методов, оценка альтернативных вариантов, предварительное определение характеристик объекта, получение исходной информации для дальнейшей доработки, отработка экспериментального образца, уточнение значений параметров и допустимых пределов их вариации, отработка основных приемов эксплуатации и тренировка обслуживающего персонала, определение характеристик надежности и т.д. [1].

Испытания технических объектов в целом можно классифицировать по многим признакам (прил.VIII) [1]. В зависимости от целей и характера получаемой информации технические объекты подвергаются функциональным испытаниям и испытаниям на надежность [2].

113

Функциональные испытания проводятся с целью проверки способности изделия выполнять работу, для которой оно предназначено. Обычно функциональные испытания проводятся на стадии опытных образцов. На стадии серийного производства в них обычно нет необходимости, поскольку при неизменной конструкции и стабильной технологии изготовления функциональные показатели изделия остаются стабильными. Обычно функциональные показатели (в отличие от показателей надежности) достаточно детерминированы и мало отличаются у разных образцов одного изделия, поэтому количество испытываемых образцов может быть небольшим и функциональные свойства определяются при кратковременных экспериментах.

Поскольку надежность - одно из основных свойств любого технического объекта, при проведении функциональных испытаний попутно оценивается и надежность изделий, но только в той мере, в какой она выявляется в течение небольшой наработки (исключение составляют длительные функциональные испытания в разнообразных условиях эксплуатации, которые иногда совмещаются с эксплуатационными испытаниями на надежность).

Испытания на надежность, в отличие от функциональных, проводятся специально для определения или оценки показателей надежности [3], в том числе отдельно - показателей свойств, составляющих надежность (испытания на безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость).

Экспериментальное определение уровня надежности и ее зависимости от основных эксплуатационных факторов позволяет подтвердить характеристики надежности, выявить слабые места объекта, разработать мероприятия по повышению надежности, выработать рациональную систему технического обслуживания и ремонта, определить эффективность и экономическую целесообразность дальнейшей эксплуатации, проверить расче- ты и прогнозы, выполненные при проектировании, оценить качество изготовления объекта и т.д. [1].

Поскольку надежность объекта проявляется в виде последовательности (потока) отказов во времени, то время выступает основной мерой измерения надежности. При этом время испытаний должно быть соизмеримо со средней наработкой изделий на отказ. У многих современных технических систем наработка составляет десятки и сотни тысяч часов (у некоторых - 107 и более часов). При испытаниях в течение длительного времени изделия могут существенно выработать ресурс, так что после испытаний их качество окажется пониженным, т.е. испытания на надежность являются, как правило, разрушающими.

Из-за большой продолжительности испытания на надежность очень трудоемки и испытаниям, как правило, подвергаются не все изделия, а только их часть (выборка). В то же время результаты испытаний выборки должны характеризовать не только испытанную выборку, а всю партию выпущенных изделий. Выборочный характер испытаний на надежность проявляется в том, что любое заключение о надежности технического объекта, принимаемое на основе выборочного значения какого-либо пока-

114

зателя, не является абсолютным, а справедливо только с некоторой достоверностью. Следовательно, при организации испытаний на надежность необходимо подобрать такой объем выборки и создать такие условия, чтобы достоверность результата была не ниже некоторого требуемого значения.

Кроме того, специальные испытания на надежность с оценкой и контролем показателей безотказности для сложных и дорогостоящих изделий в целом, как правило, не проводятся. В этих случаях испытания на надежность совмещаются с исследованиями других характеристик изделия, а специальные испытания по заранее выбранным планам оценки и контроля надежности организуются для отдельных комплектующих элементов - подсистем, узлов, приборов и деталей.

8.1.2.Классификация испытаний на надежность

Âзависимости от исследуемых свойств испытания на надежность делятся на испытания на долговечность, на безотказность, на ремонтопригодность и на сохраняемость.

Испытания на долговечность (ресурсные испытания) в свою оче- редь классифицируются (см.прил.VIII) по целям и, соответственно, видам испытаний (доводочные, предварительные, приемочные, определительные, контрольные, исследовательские, эксплуатационные), по объектам испытаний (испытания деталей, элементов, узлов, агрегатов, объекта или системы в целом и т.д.), по темпам и срокам проведения (нормальные и ускоренные), по видам воспроизводимых повреждений и отказов (испытания на изнашивание, усталость, коррозию, старение, ползучесть, кавитацию, механические, гидравлические, тепловые, электрические и т.д.), по способу проведения испытаний (стендовые, эксплуатационные, полигонные), по критериям предельного состояния (до полного отказа, до изменения параметров и т.д.), по планам испытаний (см.разд.8.1.3) [1,2].

Испытания на безотказность - направленные ресурсные испытания, проводимые по специальной методике при специально подобранных режимах, имеющие целью вызвать отказы определенного вида [2]. К испытаниям на безотказность относятся также ресурсные испытания, осуществляемые для воспроизведения отказов, не связанных с повреждениями (например, испытания для проверки стабильности регулировок).

Испытания на ремонтопригодность проводятся с целью определения показателей ремонтопригодности по трем основным разделам: техническому обслуживанию, текущим и капитальным ремонтам [4,5]. По каждому из разделов оцениваются трудоемкость, продолжительность и стоимость операций. Задача решается двумя путями [2]: имитацией (для отдельных операций и предварительных оценок ремонтопригодности) и наблюдениями при испытаниях и эксплуатации (для окончательных оценок).

Испытания на сохраняемость проводятся с целью определения показателей сохраняемости. Для изделий массового и крупносерийного производства испытания на сохраняемость проводятся редко [2].

В зависимости от целей и характера получаемой информации испытания на надежность делятся на определительные и контрольные [6,7].

115

Определительные (исследовательские) испытания проводятся с целью установления численных значений параметров (количественных характеристик) надежности, т.е. их результатом являются значения параметров [8]. Обычно определительным испытаниям подвергается партия образцов вновь разработанного изделия.

Контрольные испытания проводятся с целью проверки соответствия надежности требованиям, установленным в нормативно-технической документации. Результатом испытаний должно быть утверждение о соответствии или несоответствии партии требованиям надежности, при этом определение численных значений показателей надежности, как правило, не требуется. В зависимости от результата партия принимается или бракуется. Обычно контрольные испытания проводятся периодически для серийно выпускаемых изделий.

Наиболее всестороннюю и полную информацию для оценки и контроля надежности дают определительные (исследовательские или отработочные) испытания, а также эксплуатация объектов. Они являются неотъемлемой частью процесса создания любого технического изделия. Эти испытания необходимы для проверки закономерностей физических процессов и принципов функционирования, правильности, полноты и эффективности принятых конструкторских и технологических решений, определения рациональных путей достижения, подтверждения и демонстрации соответствия параметров и характеристик опытных изделий заданным значениям, оценки эффективности и достаточности мероприятий, принимаемых и реализуемых в процессе производства, экспериментальной отработки и приемочных испытаний опытных изделий [8].

Вопросы планирования экспериментальной отработки отражаются в техническом задании, технических предложениях и эскизном проекте изделия, в программе обеспечения надежности и (более подробно) в комплексной программе экспериментальной отработки изделия, а также в про-

	КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛАНОВ ИСПЫТАНИЙ [9]		Таблица 8.1
	Ô à ê ò î ð	Характеристика плана испытаний		Обозначение
1.	Число испытываемых	а. Один объект			1
	объектов	б. Более одного объекта		N
2.	Возможность	а. Не восстанавливаются и не заменяются		U
	восстановления	б. Не восстанавливаются, но заменяются			R
	или замены	в. Восстанавливаются		M
3.	Критерий	а. Наработка объекта			T
	прекращения	б. Общее число отказов			r
	испытаний	в. Общая наработка объектов		TΣ
		г. По результатам испытаний в любой мо-			S
		ìåíò
		д. Отказ или наработка i-го объекта			z
		е. С испытаний снимается по n объектов			n
4.	Порядок поступления	а. Одновременно		[	]
	объектов на испытания	б. Неодновременно		(	)
5.	Режим контроля	а. Непрерывно		[ ] èëè ( )
	функционирования	б. Периодически		[[]] èëè (())
	объектов	в. Только перед началом и по окончании		{	}

116

граммах и методах испытаний элементов. Объем испытаний и соответствующие организационно-технические мероприятия обязательно приводятся в едином сквозном плане создания изделий [8].

Из-за выборочного характера определительных испытаний их результатом часто является не число, а доверительный интервал, в который с заданной достоверностью попадает неизвестный генеральный параметр надежности. Выборочность контрольных испытаний означает, что при приемке или браковке партии имеется некоторая вероятность, что принятое решение ошибочно. Однако в обоих случаях может быть обеспечена практически любая достоверность результата, сколь угодно близкая к единице.

На характер получаемых статистических данных о надежности существенное влияние оказывает стратегия испытаний: число объектов, подвергаемых испытаниям, порядок поступления объектов на испытания, порядок контроля функционирования, порядок восстановления или замены отказавших объектов, условия окончания испытаний. Соответственно планы испытаний отличаются друг от друга следующими факторами:

[NUN]

t

[NUT]

[NUr]

N

T

Tr

[NRT]	T		[NRr]	tr			[[NUN]] tN

[[NUT]]	T	[[NRT]]	T	{NUT}	T

Рис.8.1. Стратегии реализации некоторых планов испытаний на надежность [9,10]:

- отказ объекта; - снятие с испытаний работоспособного объекта; - снятие с испытаний отказавшего объекта; T - время испытаний (наработка); tN-

время (наработка) до отказа последнего объекта; tr - время (наработка) до заданного отказа; пунктирными линиями обозначены моменты контроля работоспособности

117

−испытания одного объекта или группы объектов;

−одновременное или неодновременное испытание всех объектов;

−контроль функционирования объектов непрерывный, периодический или только перед началом и по окончании испытаний;

−испытания с восстановлением (заменой) отказавших объектов или без восстановления (замены);

−испытания до отказа всех объектов, до истечения фиксированного времени (наработки) или до определенного числа отказов.

Обозначение плана испытаний состоит, как правило, из трех символов в скобках (табл.8.1), например [NUT], [NRS], ((NMr)) è ò.ä.

Первый символ обозначения плана определяет объем выборки изделий, подвергаемых испытаниям. Второй символ указывает на возможность восстановления или замены в процессе испытаний отказавших элементов. Третий символ указывает принцип окончания испытаний (например, план [N=120,M,r=16] означает испытания 120 объектов с восстановлением после отказов до тех пор, пока число отказов не достигнет 16). Вид скобок указывает на порядок поступления объектов на испытания и режим контроля их функционирования.

ГОСТ 27.002-89 устанавливает 16 разновидностей планов испытаний (прил.VIII) [11]. На рис.8.1 графически изображены стратегии некоторых распространенных планов испытаний. В табл.8.2 приведены рекомендуемые планы испытаний для оценки основных показателей надежности [8].

	Таблица 8.2
РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ПЛАНЫ ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ [8]
Î ï ð å ä å ë ÿ å ì û é	Ð å ê î ì å í ä ó å ì û å
ï î ê à ç à ò å ë ü í à ä å æ í î ñ ò è	ï ë à í û è ñ ï û ò à í è é
Í å â î ñ ñ ò à í à â ë è â à å ì û å è ç ä å ë è ÿ
Средняя наработка до отказа	[NUN], [NUr], [NUT], [NRr],
	[NRT],[NU(r1,n1),(r2,n2),...,(rk-1,nk-1),rk],
	[NU(T1,n1),(T2,n2),...,(Tk-1,nk-1),Tk], [NUz]
Гамма-процентная наработка до отказа	[NUr], [NUT], [NRr], [NRT]
Вероятность безотказной работы	[NU(r1,n1),(r2,n2),...,(rk-1,nk-1),rk],
	[NU(T1,n1),(T2,n2),...,(Tk-1,nk-1),Tk], [NUz]
 î ñ ñ ò à í à â ë è â à å ì û å è ç ä å ë è ÿ
Средняя наработка до отказа (на отказ)	[NMT], [NMr]
Средний ресурс	[NUN], [NUr], [NUT],
(средний срок службы)	[NU(r1,n1),(r2,n2),...,(rk-1,nk-1),rk],
	[NU(T1,n1),(T2,n2),...,(Tk-1,nk-1),Tk], [NUz]
Гамма-процентный ресурс	[NUr], [NUT],
(гамма-процентный срок службы)	[NU(r1,n1),(r2,n2),...,(rk-1,nk-1),rk],
	[NU(T1,n1),(T2,n2),...,(Tk-1,nk-1),Tk], [NUz]
Среднее время восстановления	[NMr], [NMT]
Коэффициент готовности	[NMr], [NMT]
Средний срок сохраняемости	[NUT]
(гамма-процентный срок сохраняемости)

118

8.2. Обработка результатов определительных испытаний

Объем и программа определительных испытаний зависят от назначения и области использования технического объекта, сложности его структуры, степени новизны технических решений, отработанности составных частей, узлов и деталей. Сравнительно простые и недорогие изделия массового производства чаще всего отрабатываются в полностью собранном виде, сложные и дорогостоящие, включающие механические, пневматические, гидравлические, электрические, радиоэлектронные и другие системы и агрегаты, отрабатываются последовательно - сначала автономно для подсистем, затем для всего изделия или крупных составляющих.

8.2.1. Основные понятия и определения

При исследовании любых случайных явлений используется статистиче- ская информация о случайных событиях, поэтому числовые характеристики эмпирических распределений случайных величин являются случайными величинами и их неизвестные значения заменяются статистическими оценками.

Для оценки статистических параметров чаще всего исследуется не вся существующая совокупность (партия) объектов (генеральная совокупность), а ее часть (выборочная совокупность èëè выборка), отобранная по определенной методике, обеспечивающей ее репрезентативность (представительность), т.е. возможность распространения полученных результатов с достаточной достоверностью на всю генеральную совокупность.

Любое приближенное значение случайной величины, позволяющее с достаточной точностью судить о ее истинном значении, является точеч- ной оценкой. Точечные оценки должны обладать тремя свойствами: несмещенностью, эффективностью и состоятельностью.

Оценка x* параметра x называется несмещенной, если ее математиче- ское ожидание M(x*) равно этому параметру:

M(x*) = x. (8.1) Выполнение требования несмещенности гарантирует отсутствие при оценке параметра систематических ошибок, завышающих или занижающих

истинное значение случайной величины.

Несмещенная оценка x* параметра x называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок этого параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема. Так как дисперсия D(x) случайной величины характеризует ее рассеивание около математического ожидания, то выполнение требования эффективности означает обеспечение минимального отличия оценки от параметра, т.е. максимальной точности оценивания.

Оценка x* называется состоятельной, если она подчиняется закону больших чисел, т.е. при любых ε > 0 выполняется равенство:

lim P{		x * −x		< ε} = 1.	(8.2)
n→∞

119

Свойство состоятельности означает, что чем больше объем выборки, тем точнее оценка случайной величины. Поэтому в случае использования состоятельных оценок естественным является увеличение количества испытаний с целью повышения точности определения параметров.

При оценке параметров не всегда удается удовлетворить одновременно требованиям несмещенности, эффективности и состоятельности. Так, например, может оказаться, что для простоты расчетов целесообразно использовать оценку с незначительным смещением. Однако в любом случае выбор оценки должен сопровождаться ее критическим анализом.

Для определения точечных оценок по данным испытаний используется несколько методов, основной из них - метод максимального правдоподобия, в соответствии с которым в качестве статистической оценки x* параметра x принимается значение, при котором функция правдоподобия

n
L(x1, x2,..., xn, x *) = Õ f(xi , x *)	(8.3)

i=1

принимает максимальное значение. В формуле (8.3) f(xi,x*) - вероятность значения xi (для дискретных случайных величин) или плотность вероятности (для непрерывных случайных величин). Оценка x*, полученная таким методом, называется оценкой максимального правдоподобия.

В математической статистике доказывается, что оценки, полученные методом максимального правдоподобия, являются состоятельными и асимптотически нормально распределенными около математического ожидания (однако не всегда несмещенными), имеют наибольшую эффективность. То- чечные оценки параметров распределения наработки на отказ методом максимального правдоподобия рекомендуется вычислять при различных планах испытаний при выполнении следующих условий [8,12,13]: 6<N<10 ïðè r/N³0,5; 10£N<20 ïðè r/N³0,3; 20£N<50 ïðè r/N³0,2; 50£N<100

ïðè r/N³0,1, 100£N<400 ïðè r/N³0,05, N³400 ïðè r/N³0,01. В случаях, когда эти условия не выполняются, вычисляются только нижние оценки параметров и показателей надежности.

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. Несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания является среднее арифмети- ческое значение всех независимых наблюдений случайной величины:

M * (x) =	1	n
		å xi.	(8.4)
	n i=1

Несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой дисперсии распределения является оценка

D*(x) =	1	n	[xi - M(x)]2 ,
		å		(8.5)
	n i=1

для вычисления которой должно быть известно значение математического ожидания M(x). Если оно неизвестно, то для несмещенной и состоятельной оценки дисперсии пользуются исправленной выборочной дисперсией

120

	D * (x) =	1	n	[xi - M * (x)]2 ,
			å		(8.6)
		n - 1i=1

которая отличается от смещенной выборочной дисперсии

D * (x) =	1	n	[xi - M * (x)]2
		å		(8.7)
	n i=1

наличием сомножителя n/(n−1) (поправки Бесселя) которую при n>50 можно считать равной единице. Исправленная выборочная дисперсия (8.6)

является асимптотически эффективной (при n®¥).

При определительных испытаниях практически требуется определить уровень надежности испытываемых технических объектов. При этом из-за выборочного характера испытаний их результат должен определить ниж-

íþþ x и верхнюю`x границы интервала, в который с заданной вероятностью g попадает неизвестное истинное значение генеральной характеристики x:

g = P(x £ x £`x).

(8.8)

Интервал (x,`x) называется доверительным интервалом, вероятность g - доверительной вероятностью. Значения границ доверительного интервала вместе с доверительной вероятностью образуют выборочную интервальную оценку неизвестного генерального параметра x, а их нахождение по выборочной совокупности {xi} (i=1,2,...,n) называется интервальным оцениванием. Поскольку интервальное оценивание базируется на выборочной точечной оценке x*, последнюю часто принимают за середину

доверительного интервала: x*=(x +`x)/2. Тогда выражение (8.8) может быть записано в виде

g = P(x*-e £ x £ x*+e) = P(|x*-x|£ e),

(8.9)

ãäå ε =`x−x* = x*−x - точность выборочной оценки.

Соотношения (8.8) и (8.9) определяют двухсторонний доверительный интервал. В ряде случаев в отношении генеральной характеристики достаточно утверждения, что она не больше (или не меньше) верхней`x (èëè

нижней x) границ одностороннего доверительного интервала:
g = P(x £ x*+e) = P(x £`x),	(8.10)
g = P(x ³ x*-e) = P(x ³ x).	(8.11)

Вероятность непопадания генеральной характеристики x в назначенный доверительный интервал (x,`x) и дополняющая доверительную вероятность g до единицы, называется уровнем значимости a. Для односторонних (a

и`a) и двухстороннего доверительных интервалов, соответственно:

a = P(x < x), `a = P(x >`x), a = a +`a = P(x < x èëè x >`x). (8.12)

Величина доверительной вероятности g обычно принимается в интервале от 0,90 до 0,99 в зависимости от необходимой точности. Соответственно, уровень значимости оценки a = 1-g выбирается из интервала от 0,01

до 0,10 (т.е. от 1 до 10%), причем уровни значимости a и`a для нижней и верхней доверительных границ могут быть разными.