надежность машин и оборудования

171

Эта система может быть решена относительно ñ è n с помощью таблиц биномиального распределения (прил.I) или специальных номограмм [5].

Если назначить c=0 (т.е. для приемки не должно быть ни одного отказа), то система (9.10) распадается на два независимых уравнения:

n =	lnβ		n =	ln(1− α)
		;				.	(9.11)
	ln(1− q )			ln(1− q	)
1			0

При этом каждое из значений n обеспечивает один из рисков, тогда как другой будет нарушен.

Пример 9.1. Необходимо построить план испытаний объекта для контроля надежности за 200 ÷ наработки партии из 1000 изделий, если минимально допустимая веро-

ятность безотказной работы объекта p1= 0,9, нормальная p0= 0,97, риск изготовителя

a = 0,1, риск заказчика b = 0,2.

Вероятности отказа, соответствующие заданным уровням вероятности безотказной

работы q0=1–p0=0,03 è q1=1–p1=0,1. Испытания проводятся по плану [nUT] в течение времени T=t0=200 ÷, подсчитывается количество отказов r, и далее по условиям r£c èëè r>c принимается утверждение о надежности партии. Задача планирования состоит в нахождении n è c, удовлетворяющих уравнениям (9.10) при заданных a, b, q0 è q1.

Если предположить, что n<0,1×N=100 и, следовательно, справедливо биномиальное распределение, то система уравнений (9.10) примет вид:

ì0,2	= Fá(ñ, n, qô		= 0,1)
í0,9	= F (ñ, n, q		= 0,03)
î	á	ô

В таблице биномиального распределения (прил.I, табл.I.2) выбираем строки с элементарными вероятностями q=0,01 è q=0,03. Начиная со значения c=0 находим вели- чину n, удовлетворяющую одному из полученных уравнений. Например, для c=0 Fá(ñ=0,n=15,q=0,1)=0,206»0,2. Проверяем, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: Fá(ñ=0,n=15,q=0,03)=0,633<0,9 (т.е. найденное значение n=15 ïðè c=0 обеспечит только риск заказчика, а риск изготовителя при этом b=1–0,633=0,367). Тогда в таблице переходим к следующему значению c и повторяем проверку.

Наиболее точным решением оказывается Fá(ñ=2,n=40,q=0,1)=0,228»0,2 è Fá(ñ=0,

n=40,q=0,03)=0,8822»0,9 ïðè c=2 è n=40. Следовательно, если при испытаниях 40 изделий будет получено 0, 1 или 2 отказа, партия принимается, если 3 и более - бракуется. Вероятности ошибок при этом составят 0,228 и 0,118, т.е. близки к заданным зна-

чениям 0,2 и 0,1. Значение n=40 удовлетворяет принятому предположению n<100.

Åñëè n<0,1N и, кроме того q<0,1, то возможна аппроксимация биномиального и гипергеометрического распределений законом Пуассона (см.гл.2), для которого вероятность приемки партии

c		(nq	)r
P0 (qô ) = P(r ≤ c) = å		ô	exp[−(nqô )] = FP [c, (nqô )].	(9.12)
r =	0	r !

В этом случае система уравнений (9.10) запишется с использованием интегральной функции распределения Пуассона FP[ñ,(nqô)]. Так как распределение Пуассона имеет два аргумента (ñ è nqô), решать такую систему проще, чем систему (9.10). Однако обычно пользуются переходом от распределения Пуассона к распределению χ2:

Fχ(χ2, k) = å∞ (χ2 2)i		exp(−χ2	2).	(9.13)
i= k/2	i !

ãäå k - число степеней свободы распределения.

172

Если принять k=2(c+1), c2=2nqô, òî FP[ñ,(nqô)]+Fχ(c2,k)=1, то есть величина 2nqô распределена по закону c2, причем интегральная функция Fχ((2nqô),k) является вероятностью браковки

P	(q	) = P(r > c) = P(2nq	£ c2	(k)) = F	((2nq	), k),	(9.14)
1	ô	ô	P	χ	ô

ãäå cp2(k) - квантиль распределения c2 вероятности P (ñì.ïðèë.I, òàáë.I.8).

Записывая вероятности браковки партии с qô=q0 è qô=q1, можно полу- чить систему уравнений относительно n è k:

ì

= c

2

(k),

ï2nq

í

0

= c

2a

(k),

(9.15)

ï2nq1

î

1-b

которая приводится к виду

ì

=

c12−β(k)

=

cα2

(k)

ïn

,

(9.16)

2q1

2q0

ï

í

c2

(k)

ï q

1−β

ï

1

=

.

(9.17)

2

îq0

cα(k)

При планировании испытаний вычисляется левая часть уравнения (9.17), затем по таблице распределения c2 (прил.I, табл.I.8) подбирается число степеней свободы k, при котором правая часть уравнения (9.17) наиболее близка по значению к левой. Далее по уравнению (9.16) определяется объем выборки n и приемочное число отказов c = k/2–1.

Частный случай минимального объема испытаний в отсутствие отказов (c=0) легко получается по формуле (9.12):

	n =	ln(1 - a)	;	n = ln b .	(9.18)
		q
				q
	0			0

В общем случае каждое значение n по формулам (9.18) обеспечивает только один из заданных рисков (a или b).

Пример 9.2. Построить план контрольных испытаний при q0=0,002, q1=0,01,

a=b=0,1 и объеме партии 10 000 изделий.

План испытаний аналогичен рассмотренному в примере 9.1. Рассмотрим планиро-

вание объема выборки n и приемочного числа c. Контролируемые вероятности q0 è q1 менее 0,1, поэтому воспользуемся распределением Пуассона, предположив

n<0,1N=1000. Подставив q0=0,002 è q1=0,01 в уравнение (9.17), получим: c20,9(k) = 0,01 = 5 .

c2, (k) 0,002

0 1

Âтаблице распределения c2 (прил.I, табл.I.8) перебираем числа, стоящие в столбцах с вероятностями 0,9 и 0,1 в порядке возрастания k, вычисляя их отношение. Нахо-

äèì äëÿ k=6: c0,92(6)=10,64, c0,12(6)=2,2, так что 10,64/2,2 » 5. Решая уравнение k=2(c+1)=6, определяем c=2. Подстановкой в (9.16) находим объем выборки

	c2 (6)			10,64		= 532 .
n =	0,9		=
	2 × 0,01			0,02

Следовательно при испытаниях 532 изделий для приемки партии допустимы 0, 1 или 2 отказа, 3 отказа и более требуют браковки партии.

Для упрощения процедуры планирования одноступенчатых контрольных испытаний в ГОСТ 27.410-83 приведены таблицы планирования, в ко-

173

торых значения n è c получены решением системы уравнений (9.10) в за-

висимости от заданных значений a, b, p0=1-q0 è p1=1-q1. В прил.XI приведена часть таблиц для планирования контрольных испытаний (табл.XI.1). Там же для справки приведены истинные значения рисков изготовителя и потребителя, которые могут несколько отличаться от заданных вследствие усреднения количества наблюдений.

Пример 9.3. По данным примера 9.1 для p1=0,9, p0=0,97, a = 0,1 и b = 0,2 по табл.XI.1 (прил.XI) находим n=42, c=2, при этом истинные риски a¢=0,131 и b¢=0,195. Найденное значение n=42 удовлетворяет условию n<0,1×N=100.

Пример 9.4. По данным примера 9.2 для q0=0,002 (p0=0,998), q1=0,01 (p1=0,99), a=b=0,1 по табл.XI.1 (прил.XI) находим n=530, c=2, при этом истинные риски a¢=0,093 и b¢=0,100. Найденное значение n=530 удовлетворяет условию n<0,1×N=1000.

9.1.3.Одноступенчатый контроль средней наработки

Âэтом случае случайной величиной, через которую проявляется надежность изделий, является наработка на отказ (для невосстанавливаемых изделий) или между отказами (для восстанавливаемых). Генеральным па-

раметром надежности является средняя наработка Rô=Òô=Òñð и контролируются ее нормальный Ò0 и минимально допустимый Ò1 уровни. Проверяемые гипотезы формулируются в виде:

H0: Tô ³ T0;	H1: Tô £ T1.	(9.19)
Для этого случая оптимальным	является план	испытаний [n,U,r=n],

т.е. все изделия выборки объемом n испытываются до отказа, для каждого экземпляра фиксируется время наработки. Выборочной характеристикой R* является средняя выборочная наработка T*, которая для данного плана испытаний вычисляется как среднее арифметическое. При необходимости принятия иных планов точечная выборочная оценка T* определяется аналогично определительным испытаниям (см.гл.8).

Выбор гипотез (9.19) осуществляется сравнением T* с заранее назна-

ченным приемочно-браковочным нормативом Òïð:
- ïðè T* ³ Tïð принимается гипотеза Í0 (приемка),	(9.20)
- ïðè T*<Tïð принимается гипотеза Í1 (браковка).	(9.21)

Вид оперативной характеристики аналогичен приведенному на рис.9.3. Планирование испытаний заключается в нахождении объема выборки n

и приемочного значения Tïð, удовлетворяющих уравнениям (9.4) или (9.5) при заданных значениях a, b, Ò0 è Ò1. Для этого вероятность приемки партии Ð0 должна быть представлена как функция генеральной средней нара-

ботки Òô.

В отличие от контроля надежности по вероятности отказа или безотказной работы, для планирования испытаний по показателям типа наработки должен быть известен вид закона распределения этого показателя.

Ïðè экспоненциальном распределении случайной наработки интен-

сивность отказов l постоянна и вероятность отказа
qô(t) = 1 – exp(–lôt) » lôt = t/Tô.	(9.22)

174

Из соотношения между распределениями Пуассона (9.12) и c2 (9.13) с учетом условия (9.22), можно записать вероятность браковки в виде

	ì			ü		ìT* £	T		(2n)ü	= P (T ).
P = P	ï2nT*		£ c2	(2n)ï	= P		ô	c2			(9.23)
	í
		T	P	ý		í	2n P		ý	1 ô
	ï			ï		î			þ
	î	ô		þ

Задавая Òô=Ò0 è Òô=Ò1 и полагая Ð1=1-a è Ð1=b, можно получить приемочный и браковочный уровни для выборочной оценки T*:

Ò

ïð

=

Ò1

c2

(2n)

=

T0

c2

(2n) = T

.

(9.24)

2n

2n

Отсюда [5]

β

1−α

áð

Ò

c2(2n)

0

=

β

.

(9.25)

Ò1

c2

(2n)

1−α

Уравнение (9.25) легко решается относительно объема выборки n с помощью таблиц распределения c2 (прил.1, табл.I.8), после чего по урав-

нению (9.24) можно вычислить норматив Òïð.

Пример 9.5. Необходимо построить план контрольных испытаний для α=β=0,1, Ò0=100 ÷, Ò1=67 ÷, если наработка распределена экспоненциально. Используется план [n,U,r=n] и критерии выбора гипотез (9.20) и (9.21). Для нахождения объема выборки n подставим в соотношение (9.25) заданные значения T0 è T1:

T0	=	100		= 1,5 =	χ02,1(2n) .
T			67		χ2
1					0,9(2n)

Из таблиц распределения χ2 (прил.I, табл.I.8) перебором квантилей в столбцах с вероятностями 0,9 и 0,1 находим такие, отношение которых при одинаковом числе сте-

пеней свободы k=2n составляет 1,5. Этому удовлетворяют при k=82 χ0,12=98,7 è χ0,92=66,01, òàê ÷òî n=k/2=41. Подстановка в (9.24) дает величину приемочного норматива Tïð=80,5 ÷. Значит, если у 41 изделия средняя наработка T* составит более 80,5 ÷, то партия принимается, в противном случае бракуется.

Для упрощения процедуры приемку или браковку принято проводить не по уровню самого контролируемого показателя (наработки), а по связанному с ним числу возникших отказов r за заданную суммарную наработку изделий TΣ [5]. При этом число изделий может быть любым и планирование заключается в определении значений предельного числа отказов rïð и предельной суммарной наработки Tmax. При достижении одного из этих значе- ний испытания прекращаются: если первым достигается число отказов r=rïð ïðè TΣ<Tmax, то изделие бракуется, если первым достигается предельная

суммарная наработка TΣ=Tmax ïðè r<rïð, то изделие принимается.

Для планирования одноступенчатых контрольных испытаний при экспоненциальном распределении наработки разработаны таблицы планирования [4,5] (см.прил.XI, табл.XI.2), в которых значения rïð получены решением уравнения (9.25) при n=rïð в зависимости от заданных значений a, b

и отношения T0/T1=Tα/Tβ, а отношение Tmax/Tα рассчитаны по формуле для распределения c2:

	Tmax	=	1	c2	(2r	).	(9.26)
	Tα		2 1−α		ïð

175

При испытаниях без восстановления или замены отказавших изделий объем выборки n должен быть не меньше предельного числа отказов rïð. При испытаниях с восстановлением или заменой объем выборки может быть любым.

Если по каким-либо причинам ограничивается продолжительность испытаний Tè, то можно определить необходимое число образцов n. Если образцы работают одновременно, а отказавшие заменяются или восстанавливаются, то суммарная наработка

n
TS = åti	(9.27)

i=1

и количество образцов для испытаний можно определить по формуле:

n = Tmax/Tè.	(9.28)
Если образцы не восстанавливаются и не заменяются, то
r
TS = (n - r)t + åti	(9.29)

i=1

и количество образцов должно быть увеличено для компенсации потери суммарной наработки из-за отказавших образцов. Ориентировочное коли- чество образцов для испытаний можно определить по формуле [4]:

n »	Tmax	+	Tmax	»	Tmax	æ	T0	+ 1ö .	(9.30)
	Tè		T0		ç			÷
					T0 èTè			ø

Пример 9.6 [4]. Для контроля надежности изделий заданы два уровня средней на-

работки на отказ T0=3000 ÷ è T1=1700 ÷, а также риски изготовителя и заказчика

a=b=0,20. Предполагается, что наработка распределена по экспоненциальному закону. Необходимо определить план испытаний одноступенчатым методом. Изделия после от-

каза не восстанавливаются, предельная продолжительность испытаний Tè=600 ÷. Отношение T0/T1=3000/1700=1,765. В табл.XI.2 (прил.XI) при a=b=0,2 значение

отношения T0/T1, ближайшее к вычисленному: T0/T1=1,770. При этом приемочное число отказов rïð=9 è Tmax/T0=6,428. Тогда максимальная суммарная наработка Tmax=6,428×3000=19284 ÷ и объем выборки по формуле (9.30)

	æ 3000		ö
	n » 6,428ç		+ 1÷	= 38,568.
		600
	è		ø

Окончательно можно принять n=39.

Таким образом, испытываются n=39 изделий до достижения предельного числа отказов r=rïð=9 (при этом изделие бракуется) или предельной суммарной наработки TΣ=Tmax=19284 ÷ (тогда изделие принимается).

Ïðè нормальном распределении наработки выборочная средняя наработка T* также распределена нормально, а ее среднее квадратическое отклонение в n раз меньше, чем у случайных наработок в выборке. Инте-

гральную функцию распределения для T* можно записать в виде

æTô - T *

ö

æ

s ö

(T

), (9.31)

F(u) = Pç

£ u

÷

= PçT* ³ T

- u

÷

= P

è s / n

p ø

è

ô

p

nø

0

ô

ãäå up - квантиль нормального распределения вероятности p.

Судя по знаку неравенства в (9.31), интегральная функция F(u) - вероятность приемки партии P0(Tô). Принимая, согласно (9.4) и (9.5), P0(Tô=Ò0)=1–a è P0(Tô=Ò1)=b, получим систему уравнений

176

Ò

= Ò - u

s

= T - u

s

= T

ü

ïð

1

β

n

0 1−α

n

áð ï

ï

és(u

)ù

(9.32)

- u

2

ý

n = ê

1−α

β

ú

ï

T0

- T1

ï

ê

ú

ë

û

þ

Она позволяет провести планирование испытаний, т.е. вычислить n è Tïð, отвечающие заданным значениям a, b, Ò0 è Ò1 при известном значении s.

На практике почти всегда величина s заранее не известна и вместо нее

используется выборочная оценка s* (см.гл.8)

1

n

(t - T *)

2

1

æ

1

n

ö

s* =

å=

=

ç

å=

t2

- T *2

÷ .

(9.33)

n - 1

n - 1

i

è n

i

ø

i 1

i 1

с заменой квантилей нормального распределения up квантилями распределения Стьюдента tp(k) (см.прил.1, табл.I.7) той же вероятности p с числом степеней свободы k=n–1:

ìT = T - t

(n - 1) s

*

= T - t

(n - 1)

s

*

= T

ï

ïð

0 1− α

n

1

β

n

áð

ï

ì

(

)

(

) ü2

(9.34)

í

- tβ

ïs * [t1−α

n - 1

n - 1

]ï

ïn = í

ý

T0 - T1

ï

ï

ï

î

î

þ

Уравнения (9.32), (9.33) и (9.34) образуют систему трех уравнений с

тремя неизвестными n, Tïð и s*, причем s* по (9.33) оценивается только по результатам эксперимента. Поэтому планирование и сами испытания образуют единый итерационный процесс.

Пример 9.7. Необходимо провести контрольные испытания при нормальном распределении наработки, Ò0 = 150 ÷, Ò1 = 120 ÷, b = a = 0,1.

Берется небольшая произвольная выборка объемом n1 (например, n1 = 10). По полученной при ее испытаниях по плану [n1,U,n1] выборочной совокупности наработок

вычисляются значения T* и s*. Пусть получено T*10 = 132 ÷, s*10 = 60 ÷. По таблице распределения Стьюдента (прил.I, табл.1.7) подбирается значение числа степеней сво-

áîäû k, которое удовлетворяет уравнениям (9.31). Для n1=10 (ò.å. k=n1–1 = 9) из таблицы находим t0,1(9)=–1,383 è t0,9(9)=1,383. Подстановка в уравнение (9.34) дает

ì	1383,	- (-1383,	)	]	× 60	ü2
ï[						ï	= 30,6 .
n = í						ý
	150 - 120
ï						ï
î						þ

Значит, принятое значение k=9 ìàëî.

Проверяем n=28 (ò.å. k=27). Из таблицы t0,1(27)=–1,314 è t0,9(27)=1,314, откуда по уравнению (9.34) определяем n=27,6»28. Подставив в (9.34), получаем Òïð=135 ÷. Следовательно, при s*=60 ÷ при приемочно-браковочном нормативе Òïð=135 ÷ требуется объем выборки n=28, причем 10 изделий уже испытано. Так что испытываем еще 18 изделий и вновь вычисляем T* и s* для выборочной совокупности из 28 изделий.

Пусть T*(28)=130 ÷ è s*(28)=66 ÷. Аналогично уточняем для нового результата n=33 è Òïð=133 ÷. Испытываем еще 5 изделий, и если T* и s* существенно не изменятся,

осуществляем приемку или браковку партии по условиям (9.20) или (9.21).

При усеченном слева нормальном распределении вида
F(t,Tñð, s) = 1 - F0	æTñð		- tö			æT		ö
	ç			÷	F0	ç	0	÷ ,	(9.35)
		s					s
	è		ø			è		ø

177

планирование контроля показателей типа наработки рекомендуется осуществлять аналогично планированию для показателей типа вероятности безотказной работы или отказа после соответствующего пересчета [4]:

- если нормируется средняя наработка T0 при продолжительности испытаний Tè:

P(Tè ) = F0

æTñð - Tè ö

æT

ö

ç

÷ F0 ç

0

÷ ;

(9.36)

s

è

ø

è s ø

- если нормируется гамма-процентная наработка Tγ и продолжитель-

ность испытаний Tè=Tγ:

æTñð - Tg ö

P(T

) = P(T

)

æT

ö

g

=

F

ç

÷

F

ç

0

÷

=

;

(9.37)

è

g

0

è

s

ø

0

è s ø

100

- если нормируется гамма-процентная наработка Tγ и продолжитель-

ность испытаний Tè¹Tγ:

(T ) = F

æ

Tγ

-Tè ö

æT

ö

P (T ) = F

æ

Tγ -Tè ö

æT

ö

P

çuα +

÷

F

ç

0

÷ ,

çuβ +

÷

F

ç

0

÷. (9.38)

s

s

0

è

0

è

ø

0

è s ø

1

è

0

è

ø

0

è s ø

В формулах (9.35)-(9.38) F0(u) - функция нормированного и центрированного нормального распределения (см.гл.2): F0(u)=0,5+Ô(u), F0(uγ)=g/100; Ô(u) - нормированная функция Лапласа (см.прил.I): Ô(-u)=-Ô(u); uγ - квантиль нормированного и центрированного нормального распределения, соответствующая уровню g (см.прил.I).

Пример 9.8 [4]. В технических условиях на изделие заданы: P0(500)=0,91,

P1(500)=0,85, T0=1800 ÷, T1=1200 ÷, a=0,1, b=0,2. Предполагается нормальный закон распределения времени безотказной работы. Продолжительность испытаний ограничена

- Tè=1000 ÷. Определить план контроля одноступенчатым методом.

Поскольку F0(uP)=P, то по исходным данным с помощью таблицы можно рассчи- тать приемочное и браковочное значения среднего квадратического отклонения:

F

(u

) = 0,91,

u

=

1800 − 500

= 13408, ,

s

α

=

1300

= 970;

0

0,91

0,91

sα

13408,

F

(u

) = 0,85,

u

=

1200 - 500

= 1,0364,

s

β

=

700

= 675.

0

0,85

0,85

sβ

1,0364

Приемочные и браковочные значения по формулам (9.38):

(T

) = F

æ

+

500 -1000ö

= F

(13408,

- 0,5154) = F

(0,8254) = 0,5 +Ô(0,8254) » 0,795;

P

çu

÷

970

0

è

0 è

0,91

ø

0

0

(T

) = F

æ

+

500 -1000ö

= F

(1,0364

- 0,7407) = F

(0,2957) = 0,5 +Ô(0,2957) » 0,616.

P

çu

÷

675

1

è

0

è

0,95

ø

0

0

По табл.XI.1 прил.XI для планов контроля вероятности безотказной работы при P0=0,795 è P1=0,616 объем выборки n»25 и приемочное число отказов c » 7. Фактиче- ские риски при этом составят a¢»0,089 и b¢»0,192.

Ïðè логарифмически нормальном распределении планы контроля определяются аналогично нормальному распределению с заменой наработки на логарифм наработки [4].

Ïðè распределении Вейбулла

é	æ t ö			b ù
F(t, a, b) = 1 - expê-ç			÷	ú	(9.39)
ê	è aø			ú
ë				û

планирование и контроль могут осуществляться аналогично планированию и контролю вероятности с пересчетом по формулам [4]

178

ì

éT

æ

1öù

b ü

ì

éT

(T ) = exp

ï

ï

(T ) = exp

ï

P

í

-

ê

è

Gç1

+

÷

ú

,

P

í

-

ê

è

0

è

è

ø

ý

1

è

ï

T

b

û

ï

ï

ë

T

ë

0

1

î

þ

î

ãäå Γ(x) - гамма-функция (прил.I, табл.I.10).

Gæ + ç1

è

1ö

÷

bø

ùb ü

ú ï, (9.40)

ý

û ï

þ

При распределении Вейбулла можно также воспользоваться методикой планирования контроля для экспоненциального распределения, но вместо отношения T0/T1 следует использовать (T0/T1)b, а вместо относительной суммарной наработки TΣ/T0 фиксировать сумму [4]

æT	ö		æ	t	öb		r	æ T	öb
ç Σ ÷			= (n - r)ç		÷	+	å	ç i	÷ .	(9.41)
èT	ø	Â	èT		ø			èT	ø
0				0			i=1	0

Планы одноступенчатого контроля в зависимости от объема партии, приемочного уровня вероятности и параметра формы распределения Вей-

булла при a=0,05 и b=0,01 приведены также в ГОСТ 27.411-81 [6].

9.1.4. Метод доверительных границ

Планируемые до наблюдений риски a и b в качестве оценки ошибочности принятых решений не позволяют различить лучшие и худшие партии изделий (принятых или отбракованных), так как не зависят от результата наблюдений. После контроля для оценки уровня надежности R можно воспользоваться значениями наблюдаемых рисков a* и b*:

a* = P(Rô£R*/R=R0); b* = P(Rô³R*/R=R1), (9.42)

ãäå R* - результат наблюдений.

Òàê êàê a = P(Rô<Rïð/R=R0) è b = P(Rô³Rïð/R=R1), то в случае

приемки (R*³Rïð) всегда a*£a, в случае браковки (R*<Rïð) всегда b*£b. Использование наблюдаемых рисков в качестве меры ошибочности при-

нятых решений не меняет порядок планирования контроля надежности и принятия решений о приемке или браковке, но может существенно изменить представление о достаточности объема выборки и достоверности решения, позволяет различать лучшие и худшие изделия или партии, разделять их по сортам и т.д. [5].

R

П р и е м к а

`R

Наблюдаемые

риски

Б р а к о в к а

изготовителя

a*

и заказ-

R

`R

÷èêà

b*

определяются

подбором доверительных

вероятностей g1=1-a*

è

R

R

1

0

g2=1-b*, при которых

Рис.9.5. Положение доверительных интервалов

верхняя или

нижняя гра-

при определении наблюдаемых рисков, при браковке

íèöà

одностороннего

äî-

и приемке методом доверительных границ

верительного

интервала

контролируемого показателя совмещается, соответственно, с приемочным

R0 или браковочным R1 уровнями (рис.9.5), т.е. из соотношений
`R1−α*(R*,n) = R0,	R1−β*(R*,n) = R1,	(9.43)

ãäå`Rγ(R*,n) è Rγ(R*,n) - верхняя и нижняя доверительные границы контролируемого показателя, соответствующие доверительной вероятности γ.

179

Пример 9.9 [5]. Заданы два уровня наработки на отказ T0 è T1=T0/2 и риски

α=β=0,1. Проверяются восстанавливаемые изделия с экспоненциальным распределением наработки.

Ïî òàáë.XI.2 (ïðèë.XI) äëÿ T0/T1=2 ïðè α=β=0,1 определяем план одноступенча-

того контроля: Tmax/T0=9,47, rïð=14. Пусть при контроле одной партии зафиксировано 13 отказов, другой - 9. Обе партии принимаются, но во втором случае вероятность

ошибки меньше: второе условие (9.43) для первой партии выполняется при β*=0,1, для второй - при β*=0,01.

В табл.XI.3 (прил.XI) приведены значения истинных рисков некоторых

планов одноступенчатых испытаний при a=b=0,1 и a=b=0,2 [4].

Если имеются удобные формулы или способы для вычисления довери-

тельных границ`Rγ(R*,n) è Rγ(R*,n), то контроль по точечной оценке заданного показателя надежности может осуществляться с их использованием. Тогда условие приемки принимает вид (рис.9.5)

R1−β(R*,n) ³ R1,	`R1−α(R*,n) > R0,	(9.44)
а условие браковки, соответственно,
R1−β(R*,n) < R1,	`R1−α(R*,n) £ R0.	(9.45)

Применение доверительных границ не изменяет необходимого объема наблюдений по сравнению с обычным одноступенчатым методом. Планирование контроля в этом случае сводится к решению системы двух уравнений вида

`R1−α(R*,n) = R0, R1−β(R*,n) < R1,

(9.46)

которое совпадает с оценочным нормативом и требуемым объемом выборки при одноступенчатом контроле [5].

Если браковочный уровень показателя надежности R1 совпадает с требуемым (заданным в нормативно-технической документации на изделие), то допускается проводить контроль по одному этому уровню, не задаваясь

вторым уровнем R0 и риском изготовителя a (при этом объем наблюдений выбирается изготовителем и по окончании испытаний определяется только нижняя доверительная граница показателя) [4].

Иногда объем испытаний определяется организационно-техническими соображениями и не может быть заранее определен. В этих случаях процедуру планирования можно применить по окончании наблюдений, подбирая планируемые риски таким образом, чтобы расчетный объем наблюдений был равен фактическому, с целью определения приемочного норматива и принятия решения о приемке или браковке. В качестве меры ошибоч-

ности принятых решений можно также использовать истинные риски a* и b*.

Другим способом решения задачи контроля надежности в таких случа- ях является использование доверительных границ показателей надежности без предварительного планирования [5]. При этом после прекращения по каким-либо причинам испытаний по накопленной статистике определяется

доверительный интервал [`Rγ1,Rγ2], подбирая значения g1 è g2 таким образом, чтобы выполнялось одно из условий (см.рис.9.5):

Rγ2(R*,n) = R1,	`Rγ1(R*,n) > R0;	(9.47)
Rγ2(R*,n) < R1,	`Rγ1(R*,n) = R0.	(9.48)

180

Обычно принимается g1=g2=g. При увеличении значения g доверительный интервал сужается, при уменьшении - расширяется.

Если при некотором значении доверительной вероятности g выполняется условие (9.47), т.е. доверительный интервал левой границей совмещается с левой границей заданного интервала [R1,R0] (рис.9.5), то принимается решение о приемке изделия и по соотношению (9.43) определяется

истинный (наблюдаемый) риск заказчика b*=1-g. Если выполняется условие (9.48), т.е. интервалы совмещаются правыми границами (рис.9.5), то изделие бракуется и по соотношению (9.43) определяется истинный риск

изготовителя a*=1-g.

Пример 9.10 [5]. Испытан один образец восстанавливаемого изделия с экспоненциальным распределением наработки между отказами. Для изделия установлены уров-

ни наработки T0 è T1=T0/2, вероятности ошибок должны быть одинаковы γ1=γ2=γ.

Суммарная наработка за время испытаний TΣ=4T0, число отказов r=2. Необходимо установить соответствие или несоответствие изделия установленным требованиям и определить наблюдаемый риск.

В заданных условиях условия (9.47) и (9.48) примут вид

		Tγ(T*,r) = T1		= T0/2,			`Tγ(T*,r) > T0;
		Tγ(T*,r) < T1		= T0/2,			`Tγ(T*,r) = T0.
В соответствии с формулами, используемыми для обработки результатов определи-
тельных испытаний (см.гл.8) последние условия можно переписать в виде
χ2	−γ (2r+2) = χ2	1	−γ (6) = 4TΣ/T		0	= 16,	χ2γ	(2r) = χ2γ (4) < 2TΣ/T	0	= 8;
1	*		*				*	*
χ2	−γ (2r+2) = χ2	1	−γ (6) > 4TΣ/T		0	= 16,	χ2γ	(2r) = χ2γ (4) = 2TΣ/T	0	= 8.
1	*		*				*	*
По таблицам распределения Пирсона χ2							(прил.I, табл.I.8) легко убедиться, что в

данном случае при γ=0,985 выполняется первое из условий: χ20,015(6) = 16, χ20,985(4) = 0,36 < 8;

Ïðè ýòîì T0,985=T0/2 è`T0,985=22T0.

Изделие должно приниматься. Наблюдаемый риск заказчика β*=0,015.

9.1.5. Метод двухступенчатого контроля

Основной недостаток метода однократной выборки - необходимость реализации полного фиксированного объема испытаний вне зависимости от промежуточных результатов. Однако при использовании критерия Ней- мана-Пирсона методом двухступенчатого контроля (двукратной выборки) возможен обоснованный выбор гипотез при меньшем объеме испытаний

[1,7].

По этому методу устанавливаются два объема выборки n1 è n2, таким образом, чтобы их сумма была равна полному объему испытаний n в методе однократной выборки. Устанавливается три приемочно-браковочных уровня: приемочный Rïð1 и браковочный Ráð1 для первой выборки n1 и приемочно-браковочный Rïá для полной выборки n=n1+n2.

Сначала испытывается первая выборка n1 и по результатам вычисляется выборочная характеристика надежности R*(n1) и по ней делается первая попытка выбора гипотез исходя из условий:

- ïðè R*(n1)³ Rïð1	принимается гипотеза H0,
- ïðè R*(n1)£ Ráð1	принимается гипотеза H1,	(9.49)

- ïðè Ráð1< R*(n1)< Rïð1 испытания продолжаются.