надежность машин и оборудования

181

После испытаний второй выборки n2 находится выборочная характеристика для полного объема испытаний R*(n1+n2) и принимается одна из гипотез из условий:

- ïðè R*(n1+n2)³ Rïá принимается гипотеза H0,
- ïðè R*(n1+n2)< Rïá - принимается гипотеза H1,	(9.50)

Знаки неравенств в условиях (9.49) и (9.50) зависят от того, по какому из показателей контролируется надежность.

При планировании контроля методом двукратной выборки сначала определяется полный объем испытаний n=n1+n2 и приемочно-браковочный норматив Rïá аналогично методу однократной выборки, затем задается объем первой выборки n1 и вычисляется приемочный и браковочный нормативы по тем же уравнениям, но (поскольку n1 назначено произвольно) при этом в условиях (9.49) Rïð1¹Ráð1. Так, приемочный уровень Rïð1 вы- числяется по формулам для Rïð, содержащим риск заказчика b и величину

R1, а браковочный уровень Ráð1 - по формулам Rïð, содержащим a и R0.

Пример 9.11. По условиям примера 9.5 спланировать контроль методом двукратной выборки, чтобы первая выборка составила примерно 1/5 от объема испытаний.

Из решения примера 9.5 n=(n1+n2)=41 è Tïá=80,5 ÷. Тогда n1 » n/5 » 8, n2 = 33. По уравнению (9.24) приемочный и браковочный уровни для первой выборки

T

=

Ò1

c2

(2n ) =

67

c

2

(16) =

67 × 23,5

= 98,7,

2n

2 × 8

0,9

16

ïð1

1−β

1

1

Ò0

2

100

2

100 × 9,31

Òáð

=

cα(2n) =

c

(16) =

= 58.

2n

2

× 8

16

1

0,1

1

Следовательно, если при испытаниях n1=8 изделий по плану [n1,U,n1] получим среднюю выборочную наработку T*(8) ³ 98,7, партия принимается, если T*(8) £ 58 - бракуется, если 58<T*(8)<98,7 - берется вторая выборка объемом n2=33. После ее испытаний принимается окончательное решение: партия принимается при T*(41)³80,5 и бракуется при T*(41)<80,5.

Величина относительного объема первой выборки n1/(n1+n2) определяет величину "зоны неопределенности" от Rïð1 äî Ráð1: с увеличением n1 эта область сужается (в пределе при n1=n до нуля) и наоборот. Так что чем меньшим будет назначен объем первой выборки n1, тем больше возможная экономия затрат на испытания, но тем с меньшей вероятностью такая возможность будет реализована. Обычные значения относительного объема первой выборки n1/(n1+n2) - îò 0,2 äî 0,5.

Если общий объем испытаний n, необходимый по методу однократной выборки, разбить на большее количество дискретных выборок, соответственно можно спланировать испытания по методу трех-, четырех-, и т.д. кратных выборок. При этом для всех промежуточных этапов планируются раздельно приемочный и браковочный нормативы, а исход испытаний принимается по условиям (9.49).

При планировании таким образом, чтобы в каждой из дискретных выборок содержалось только одно испытание метод многократных выборок практически переходит в метод последовательного контроля.

182

9.2. Метод последовательного контроля

Для обоснованного выбора гипотез по критерию Неймана-Пирсона требуется испытание полного объема выборки n, установленного при планировании. Однако партии с очень низким или высоким уровнем надежности по сравнению с заданными R0 è R1 часто можно выявить и при меньшем количестве испытаний. Возможность аргументированной квалификации партии без предварительной фиксации объема испытаний n дает использование последовательного критерия проверки гипотез или критерия Вальда. По этому критерию проверка гипотез может быть начата при любом объеме выборки n (в том числе n=1), а обоснованное решение о приемке или браковке принимается, когда результаты эксперимента достаточно достоверно (по сравнению с заданными величинами вероятностей ошибок α è

β) показывают преобладание одной из гипотез.

Теоретической основой метода является критерий Вальда, согласно которому для выбора одной из гипотез о надежности при исследовании выборочной совокупности произвольного объема n вычисляется отношение правдоподобия - отношение вероятностей [1,2,8-10]. При выполнении условий приемки или браковки испытания заканчиваются, а в случае неопределенности испытывается дополнительное количество изделий и процесс проверки повторяется до тех пор, пока партия будет принята или забракована.

Продолжительность последовательного контроля - случайная величина, поэтому требуемый объем наблюдений в некоторых случаях может превысить объем испытаний, достаточный для одноступенчатого контроля. В связи с этим часто используется усеченный последовательный метод контроля.

9.2.1. Критерий Вальда

Формулировка гипотез по критерию Вальда несколько отличается от условий проверки по критерию Неймана-Пирсона:

- прямая гипотеза H0 (надежность партии соответствует требовани-

ÿì): Rô = R0;

- обратная (альтернативная) гипотеза H1 (надежность партии не соответствует требованиям): Rô = R1.

Будем считать, что при некотором объеме испытаний n получена выборочная совокупность случайного показателя надежности R. Плотность вероятности, описывающая выборочное распределение, является условной, поскольку зависит от величины генерального параметра Rô. Можно ввести плотности вероятности f(R/R0) è f(R/R1), отвечающие проверяемым гипотезам Í0 è Í1. Их значения, вычисленные для любого значения Ri из выборочной совокупности, будут тем больше, чем вероятнее величина Ri для предполагаемых значений R0 è R1.

Для всей выборочной совокупности можно вычислить совместную условную плотность вероятности по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

183

n
f(R1, R2, ... Rn / Rô ) = ∏ f(Ri / Rô ).	(9.51)
i=1

Произведение (9.51) показывает вероятность выполнения предположения о величине параметра распределения Rô в выборке (и генеральной партии) и называется функцией правдоподобия:

n	n
∏ f(Ri / Rô = R0 ) = P(H0 ),	∏ f(Ri / Rô = R1) = P(H1). (9.52)
i=1	i=1

Отношение правдоподобия (последовательный критерий отношения вероятностей) [1,2,8,10,11]

		n
		∏ f(Ri / Rô = R1)	n f(R / R = R )					(	H	)
		i=1	= ∏	i	ô	1		P
	Ï =						=		1		(9.53)
		n		f(R / R		= R )		P(H		)
		∏ f(Ri / Rô = R0 )	=	i	ô				0
			i 1			0

i=1

показывает, во сколько раз в выборке (и, соответственно, в партии) более вероятна гипотеза H1, ÷åì H0. Это отношение может быть вычислено для выборки любого объема n и учитывает все наблюдения. Малые значения критерия Ï указывают на большее правдоподобие гипотезы Í0, поэтому при достаточно малой величине Ï партия должна приниматься. Критиче- ским приемочным уровнем À является отношение вероятностей приемки негодной и годной партии, а условие приемки имеет вид:

n

f(R / R

= R )

P(H )

P (H )

b

Ï = ∏

i

ô

1

=

1

£ A =

0

1

=

.

(9.54)

f(R / R

= R )

P(H

0

)

P (H

0

)

1 - a

=

i

ô

0

0

i 1

Выполнение неравенства (9.54) означает, что выборочная совокупность указывает на преобладание гипотезы H0 в большей мере, чем это требует-

ся заданными рисками изготовителя a и заказчика b.

Аналогично рассуждая, можно ввести критический браковочный уровень B отношения правдоподобия и сформулировать условие браковки

(выбора гипотезы H1):

= R )

n

f(R / R

P(H )

P(H )

1 - b

Ï = ∏

i

ô

1

=

1

³ B =

1

1

=

.

(9.55)

f(R / R

= R )

P(H

0

)

P(H

0

)

a

=

i

ô

0

1

i 1

Если ни одно из неравенств (9.54) и (9.55) не выполняется, значит при имеющемся объеме испытаний не подтверждается в достаточной мере преобладание ни одной из гипотез H0 è H1. Соответственно, условие неопределенности, требующее продолжения испытаний и увеличения объема выборки n, записывается в виде [3]:

	b	n	f(R / R		= R )				1 - b
		= A < Ï = ∏	i	ô	1		< B	=		.	(9.56)
1 - a			f(R / R		= R )
		i=1							a
			i	ô	0
Выражения (9.54)-(9.56) являются				формулировкой				критерия			Вальда.

Объем наблюдений n увеличивается до тех пор, пока выполняется условие

184

(9.56). Испытания прекращаются, когда выполнятся условия (9.54) или (9.55) и, соответственно, принимается гипотеза Í0 èëè Í1. Проверка гипотез может быть начата при сколь угодно малом объеме испытаний n, что позволяет быстро выявить высоконадежные или, наоборот, низконадежные партии изделий.

Сравнительный анализ показывает, что применение метода последовательного анализа в среднем обеспечивает сокращение объема испытаний в несколько раз по сравнению с методом однократной выборки. Например,

при риске заказчика b=0,1 объем испытаний сокращается примерно в 6

ðàç, à ïðè b=0,01 - â 5 ðàç [8].

Для некоторых конкретных показателей надежности и законов распределения процедуру принятия решения удается упростить, исключив вы- числение величины Ï. Кроме того, решение задачи существенно упрощается при построении графических зависимостей критических приемочного A и браковочного B уровней (линий приемки и браковки) от заданных параметров плана контроля. Порядок построения, вид и взаимное расположение графиков зависят от вида контролируемого параметра.

9.2.2. Последовательный контроль вероятности отказа

Если контролируемым показателем надежности Rô является вероятность отказа qô(t0) или вероятность безотказной работы p(t0)=1-q(t0)) за время t0, то условия принятия гипотез имеют вид

H0: qô(t0) = q0(t0);

H1: qô(t0) = q1(t0).

(9.57)

Для их проверки аналогично одноступенчатому методу испытания произвольного числа изделий n проводятся по плану [n,U,t0] и подсчитывается количество отказавших изделий r, которое выступает в качестве слу- чайной выборочной величины. Таким образом, выборочная совокупность содержит всего один элемент r. Соответственно, условной плотностью вероятности f(Ri/Rô) (9.51) является вероятность появления r отказов в выборке объемом n. В самом общем случае эта вероятность описывается гипергеометрическим распределением, где генеральным параметром является Mô=qôN, à M0=q0N è M1=q1N - его контролируемые уровни, соответствующие гипотезам (9.57). Тогда условные плотности вероятности появления r отказов для проверяемых гипотез (9.57) запишутся в виде

		Cr		× Cn−r			Cr		× Cn−r
P(r / q	= q	) =	M0	N − M0	;	P(r / q	= q ) =	M1	N − M1	. (9.58)
				Cn					Cn
ô	0					ô	1
				N					N

(здесь и далее зависимость вероятности отказа от времени для краткости опускается).

Отношение правдоподобия (9.53) примет вид

	P(H )		P(r / q = q )			Cr		× Cn−−r
Ï =	1	=	ô	1	=	M1		N M1	(9.59)
	P(H0 )		P(r / qô = q0 )			CMr	0	× CNn−−rM0

или приближенно

185

ÑM0 Ï » M1-

CM0 r M1 -r

æ	-	n ö g
ç1			÷	,	(9.60)
è		Nø

ãäå g =M1–M0.

Выражения (9.59) и (9.60) не позволяют получить уравнения линий приемки A(n) и браковки B(n) в координатах (n,r), поэтому графики строятся по трем характерным точкам.

Точка A - точка пересечения линии приемки A(n) с горизонтальной осью n (ïðè rA=0). Для нахождения абсциссы nÀ нужно приравнять, согласно (9.56), выражение (9.60) величине b/(1–a) и при r=0 найти n:

b

æ

n

A

ö

γ

é

æ

b ö

1 g ù

=

1

-

;

n

= N 1

-

.

(9.61)

÷

A

ç

÷

ú

1 - a

ç

ê

è

N ø

ê

è1

- aø

ú

ë

û

Точка B - точка пересечения линии браковки B(n) с горизонтальной осью n (ïðè rB=0). Нахождение n аналогично:

	é	æ1 - bö			1 γ ù
nB	= Nê1	- ç		÷	ú .	(9.62)
	ê	è	a ø		ú
	ë				û

Абсцисса третьей точки C nC=N. В этом предельном случае испытывается вся партия N, так что неопределенность и риск в принятии гипотез исключается. При этом

rC = (M0 + M1)/2 .

(9.63)

Линии, соединяющие точки À ñ C è Â ñ C - линии приемки и браковки. В процессе испытаний по значениям n è r точка с координатами (n,r)

наносится на график. Дальнейшие действия определяются условиями:

- r ³ B(n)	- браковка партии (гипотеза H1);
- r £ A(n)	- приемка партии (гипотеза H0);	(9.64)
- A(n) < r < B(n)	- увеличение объема испытаний.

Пример 9.12. Последовательному контролю подвергается партия из N=100 изделий. Контролируемые уровни вероятности отказа q0=0,05 è q1=0,1, риски изготовителя и заказчика a=b=0,1. Требуется построить план испытаний в графическом виде и оценить партию, если для n=25 испытанных изделий в течение времени, за которое заданы вероятности q0 è q1 зафиксировано r=4 отказа.

Поскольку объемы испытаний (n=25) и партии (N=100) соизмеримы, число отказов подчиняется гипергеометрическому закону. Для него вычислим: M0=q0N=5;

M1=q1N=10; g =M1–M0=5.

Для построения графика контроля вычислим координаты характеристических точек A, B è C, используя формулы (9.61)-(9.63):

é

æ

0,1ö

1/5

ù

é

æ

0,9ö

1/5 ù

,

ê

ú

ê

ú

rA = 0,

nA

- ç

÷

= 36,

rB = 0,

nB

- ç

÷

= -55

= 100 1

ú

= 100 1

ú

ê

è

0,9ø

ê

è

0,1ø

ë

û

ë

û

nC = N = 100;

rC = (5+10)/2 = 7,5.

График контроля приведен на рис.9.6. Критерий принятия решения при произвольном n определен условиями (9.64).

Точка, отвечающая исходным данным (n=25, r=4) на рис.9.6 находится в области браковки, следовательно, с вероятностью ошибки не более a=0,1 справедливо утверждение, что надежность партии ниже требуемой (qô>0,1).

				186
			r
						B(n)		C
			6		H1
			4					A(n)
	B		2		A		H0
-60	-40	-20	0	20	40	60	80	100	n
Рис.9.6. График для контроля вероятности при гипергеометрическом распределении
				(к примеру 9.12).

Ïðè n<0,1N вероятность появления r отказов в выборке n хорошо описывается биномиальным распределением. В этом случае отношение правдоподобия (9.53):

Ð(Í )

Ñr qr (1 - q )n−r

æ q

ör

æ 1 - q

ö n−r

Ï =

1

=

n 1

1

= ç

1

÷

ç

1

÷

.

(9.65)

Ð(Í0 )

Ñr qr

(1 - q

)n−r

è q0 ø è1 - q0 ø

n 0

0

Тогда условие неопределенности (9.56) можно привести к виду

ln

β

- n ln

1 − q1

ln

1 − β

- n ln

1 − q1

1 - a

1 - q

a

1 - q

A(n) =

0

< r <

0

= B(n) .

(9.66)

q1

1 - q1

q1

ln

- ln

ln

- ln

1 - q1

q

1 - q

q

1 - q

0

0

0

0

Левая и правая части неравенства (9.66) являются уравнениями линий приемки A(n) и браковки B(n). В этом случае они параллельны, причем линия A(n) смещена вниз, а B(n) - вверх от начала координат, а величи- ны этих смещений в первую очередь определяются значениями рисков b и a. Из (9.66) можно записать условие приемки (H0) и браковки (H1):

r £ A(n) , r ³ B(n). (9.67)

Для упрощения планирования разработаны таблицы планирования [4,5], по которым линии приемки A(n) и браковки B(n) строятся в координатах

(n,r) в виде прямых по уравнениям, соответственно,
r = a(n - n0),	r = an + r0,	(9.68)

а коэффициенты уравнений (9.68) a, r0 è n0 рассчитаны в соответствии с

условиями (9.66) исходя из заданных значений a, b, P0=1-q0 è P1=1-q1 (ïðèë.XI, òàáë.XI.4):

ln

P0

ln

1 - b

ln

1 - a

P1

b

a =

, r0 =

a

, n0 =

. (9.69)

ln

1 - P1

+ ln

P0

ln

1 - P1

+ ln

P0

ln

P0

1 - P

P

1 - P

P

P

0

1

0

1

1

187

Ïðè a=b r0=an0 и уравнения прямых (9.68) приобретают вид

r = an ± r0.

(9.70)

Средняя продолжительность контроля (среднее число наблюдений n äî

принятия решения о приемке при P=P0) определяется по формуле [4,5]:

(1 - a) ln 1 − α - a ln

1 − β

n

»

b

a .

(9.71)

ñð

P ln P0

-

(1 - P ) ln 1 - P1

0

P1

0

1 - P0

Пример 9.13. Для контроля надежности элементов заданы два уровня вероятности

безотказной работы при наработке 20 ÷: P0=0,95 è P1=0,90. Необходимо определить

план контроля надежности последовательным методом при рисках изготовителя и за-

казчика α=0,05 è β=0,10.

По таблицам (прил.XI, табл.XI.4) или формулам (9.69) находим коэффициенты ли-

ний приемки и браковки:

ln

0,95

ln1− 0,10

ln1− 0,05

a =

0,90

= 0,072358,

r

=

0,05

= 3,87, n

0

=

0,10 = 4164, .

ln1− 0,90 + ln

0,95

0

ln1− 0,90 + ln

0,95

ln 0,95

1− 0,95

0,90

1− 0,95

0,90

0,90

С учетом полученных значений по формулам (9.68) строятся линии приемки и бра-

ковки (рис.9.7, прямые 1 и 2).

Среднее число испытаний (объем выборки) до приемки по формуле (9.71) или

òàáë.XI.4 (ïðèë.XI):

(1 − 0,05) ln 1 − 0,05 − 0,05 ln 1 − 0,10

n

≈

0,10

0,05

= 119,4.

ñð

P ln P0

− (1 − P ) ln 1 − P1

0

P1

0

1 − P0

При контроле необходимо организовать в

r

среднем 119,4 циклов работы (для восста-

навливаемых

элементов)

èëè

испытания

119,4 элементов (для невосстанавливаемых)

15

II

длительностью 20 ÷. По завершении каждого

H1

испытания подсчитывается накопленное чис-

ло законченных испытаний n и накопленное

число отказов r, на графике наносятся точки

10

с координатами (n,r),

ïî

которым строится

2

ступенчатая линия испытаний (рис.9.7). Ис-

1

пытания продолжаются, пока линия проходит

в области неопределенности между линиями

5

H0

приемки 1 и браковки 2. Если линия испы-

r0

таний пересекает линию приемки 1 и попа-

дает в область приемки H0, то изделия при-

I

нимаются, если линию браковки 2 и попада-

0

0

n0 50

100

nñð 150

n

ет в область браковки H1, то изделия браку-

ются. На рис.9.7 нанесены две из возможных

Рис.9.7. Границы областей приемки (H0)

реализаций испытаний (линии I и II) - реали-

зация I означает положительный результат

и браковки (H1) (к примеру 9.13)

испытаний, реализация II - отрицательный.

Если помимо n<0,1N выполняется условие q0<q1£0,1, то число отказов

r может быть описано распределением Пуассона (см.гл.2). Тогда отноше-

ние правдоподобия (9.53)

Ï =

P(H )

=

(nq )r

exp(-nq )

=

æ q

ör

exp[-n(q - q )] .

(9.72)

1

1

)r

1

ç 1

÷

P(H0 )

(nq

exp(-nq )

è q0 ø

1

0

0

1

188

Аналогично случаю биномиального распределения можно получить

ln

β

+ n(q - q

)

ln

1 − β

+ n(q - q

)

A(n) =

1 - a

1

0

,

B(n) =

a

1

0

. (9.73)

ln

q1

q1

ln

q

q

0

0

Условия принятия решения остаются в виде (9.66)-(9.67), линии при-

åìêè A(n) и браковки также параллельны B(n).

Пример 9.14. Установлено минимально допустимое значение вероятности срабатывания устройства p1=0,9 при нормальном значении p0=0,95. Требуется организовать контроль надежности при α=0,03 è β=0,02..

Максимально допустимая вероятность отказа (несрабатывания) q1=1–p1=0,1, íîð-

мальное значение - q0=1–p0=0,05. Поскольку q0 è q1 не превосходят 0,1, воспользуемся распределением Пуассона и вычислим по уравнениям (9.73):

A(n)= –5,6 + 0,073n; B(n) = 5,03 + 0,073n.

При проведении контроля каждого изделия его подвергают испытанию n раз, под- считывая при этом число несрабатываний r. Например, при n=50 испытаний зафикси-

ровано r=4 отказов. На графике контроля эта точка попадает в область неопределенности (рис.9.8), так что число испытаний необходимо увеличить. Испытания прекраща-

ются, когда точка попадает в область приемки H0 или браковки H1. Из графика контроля и уравнения A(n), следует, что минимальное число проб, необходимое для выполнения условия приемки, составляет n0=77.

9.2.3. Последовательный контроль средней наработки

При планировании контроля средней наработки в общем случае необходимо располагать полной выборочной совокупностью {Ti } случайных наработок объема n. По значениям {Ti } вычисляется суммарная наработка TΣ, на которую при планировании устанавливаются критический приемоч- ный и браковочный уровни, являющиеся функцией объема испытаний n. Графическое изображение линий приемки и браковки в координатах (r,TΣ)

èëè (r,TΣ/T0) упрощает принятие решения по испытаниям [3]. Гипотезы при контроле средней наработки записываются в виде

H0:

Tô ³ T0 ,

H1:

Tô £ T1 ,

(9.74)

ãäå T0 è T1 - контролируемые уровни генеральной средней наработки Tô.

процедуры

r

Äëÿ

упрощения

B(n)

аналогично

одноступенчатому

12

методу

приемку

или браковку

H1

принято проводить не по уровню

самого

контролируемого

показа-

8

òåëÿ

(наработки),

à

ïî

связан-

ному с ним числу возникших

отказов r за заданную суммар-

4

íóþ

наработку изделий

TΣ [5].

A(n)

При этом число изделий может

быть любым и планирование за-

H0

ключается в

построении

линий

0

приемки и браковки в координа-

0

50

100

n

Рис.9.8. График для контроля вероятности	òàõ (r,TΣ) èëè (r,TΣ/T0).
при распределении Пуассона (к примеру 9.14)

189

Ïðè экспоненциальном распределении выборочных наработок условная плотность вероятности описывается функцией с единственным неизвест-

ным параметром l=1/Òô, в отношении которого и могут проверяться гипотезы (9.74). Отношение правдоподобия (9.53) приводится к виду [11]

n

1

exp(-Ti /T1)

ö n

æT

é

æ

ö

ù

T

1

1

Ï = ∏

1

= ç

0

÷

expê-ç

-

÷TΣ ú .

(9.75)

1

i

=

exp(-Ti /T0 )

è T1 ø

ë

èT1

T0 ø

û

1

T0

После логарифмирования и простых преобразований из выражения (9.75) можно получить условия приемки (принятия гипотезы H0), браков-

ки (принятия гипотезы H1) и неопределенности, соответственно:

- ln

β

+ n ln

T0

- ln

1 − β

+ n ln

T0

1

- a

T

a

T

TΣ ³

1

= A(n),

TΣ £

1

= B(n), (9.76)

(1/T - 1/T )

(1/T - 1/T )

1

0

1

0

B(n) < TΣ < A(n).

(9.77)

При равенствах в выражениях (9.76) можно получить уравнения линий

приемки A(n) и браковки B(n) в координатах (n,TΣ), которые будут разделять области приемки, браковки и неопределенности (продолжения испытаний).

Практически использование графиков контроля в координатах (n,TΣ) не очень удобно, так как для его построения требуется проведение испытаний всей выборки n. Чаще используются графики в координатах, связанных с текущим количеством отказов r в выборке. Кроме того, при использовании координат (r,TΣ/T0) положение границ областей приемки и браковки не зависит от абсолютных значений T0 è T1, а полностью определяется их отно-

шением T0/T1 и значениями рисков a и b. В этом случае из отношений (9.76) можно получить уравнения линий приемки и браковки в виде [4,5]

r = a(TΣ/T0 - TΣ0/T0), r = aTΣ/T0 + r0,

(9.78)

где численные значения коэффициентов a, r0 и отношения TΣ0/T0 можно определить по таблицам (см.прил.XI, табл.XI.5) [4,5] или рассчитать по формулам:

T0

- 1

ln

1 - b

ln

b

a =

T1

,

r =

a

,

TΣ0

=

1 - a

.

(9.79)

ln

T0

0

ln

T0

T0

T0

- 1

T

T

T

1

1

1

При наличии отказов графиком испытаний является ступенчатая линия, сумма отрезков которой, параллельных оси TΣ/T0, равна отношению суммарной наработки изделий в момент времени t к значению T0, а сумма отрезков, параллельных оси r, равна числу отказов изделий к моменту t. При отсутствии отказов график испытаний совпадает с осью TΣ/T0, при этом суммарная наработка образцов TΣ=nt.

190

При испытаниях без восстановления или замены суммарная наработка

в момент времени t вычисляется по формуле

r

TS = (n - r)t + åTi.

(9.80)

i=1

При испытаниях с восстановлением или заменой суммарная наработка

в момент времени t вычисляется по формуле

r

TS = nt - åtâi,

(9.81)

i=1

ãäå tâi

- длительность восстановления или замены i-ãî èç r отказавших изделий.

По формулам (9.79) можно видеть, что если риски изготовителя и за-

казчика совпадают (a=b), то r0=aTΣ0/T0 и уравнения прямых (9.78) име-

þò âèä r0=aTΣ0/T0±r0.

Нижнюю оценку средней продолжительности контроля для восстанав-

ливаемых изделий при T=T0 можно рассчитать по формуле [4,5]:

æT

ö

(1 - a) ln

1 − α

- a ln

1 − β

=

b

a

.

(9.82)

ç

S0

÷

T0

T0

è T0

ø

ñð

T

- 1 - ln T

1

1

Значения (TΣ0/T0)ñð

также приведены в прил.XI (табл.XI.5).

Пример 9.15 [4]. По данным примера 9.6 определить план контроля последова-

тельным методом.

По табл.XI.5 (прил.XI) или формулам (9.79) для a=b=0,2, T0/T1=1,765 находим

значения величин:

1 − 0,2

= ln

0,2

a = 1765,

- 1 = 1346, ,

r

0,2

= 2,44,

TΣ0

= ln 1 - 0,2 = 181, .

ln1765,

0

ln1765,

T0

1765,

- 1

По рассчитанным данным строится график последовательного контроля (рис.9.9).

Нижняя оценка средней продолжительности контроля по формуле (9.82):

æTΣ

ö

(1- 0,2) ln1− 0,2 - 0,2ln

1− 0,2

=

0,2

0,2

= 4,23.

ç

0

÷

1765, -1- ln1765,

r

è T0 øñð

Ориентировочный

объем

выборки

ïî

8

H1

формуле (9.30)

æTΣ

ö

æT

ö

æ3000

ö

0

+

= 25,38.

II

n » ç

T

÷ ç 0

+1÷ =

4,23 × ç

1÷

6

è

ø

ñð

èT

ø

è 600

ø

2

1

0

è

Окончательно можно принять n=25.

Ïðè

контроле необходимо

организовать

4

I

25 циклов работы (для восстанавливаемых

изделий) или испытания 25 изделий (для не-

r0

H0

восстанавливаемых изделий). В процессе кон-

троля определяется суммарная наработка из-

2

делий TΣ

к моменту очередного отказа r, íà

графике (рис.9.9) наносятся точки с коорди-

0 0

4 TΣ/T0

натами (TΣ/T0,r), по которым строится сту-

TΣ

/T

0

4

пенчатая

линия

испытаний. Испытания

ïðî-

0

должаются до тех пор, пока линия испытаний

Рис.9.9. Границы областей приемки (H )

проходит

в области неопределенности, огра-

и браковки (H1) (к примеру 9.15)

0

ниченной линиями приемки 1 и браковки 2.