надежность машин и оборудования

71

Задача обеспечения запасными элементами решается в рамках теории управления запасами. Под управлением запасами понимается определение моментов и объемов заказов на восполнение запасов и их распределение исходя из минимизации суммарных расходов. Основными параметрами являются система снабжения, спрос на предметы снабжения, возможность пополнения запасов, функции затрат и наложенные ограничения. Основная цель управления запасами - анализ функционирования системы при различных комбинациях параметров системы снабжения, спроса и пополнения запасов, функций затрат, а также выбор оптимальных параметров стратегии управления (совокупности правил, по которым принимаются решения по пополнению и распределению запасов).

В общем виде решение задач теории управления запасами выходит за рамки теории надежности, однако результаты расчетов по оптимальному резервированию служат исходными данными для разработки стратегии управления запасами (запасными элементами).

7.2.1. Определение количества резервных элементов

Количество необходимых запасных элементов при эксплуатации техни- ческих систем можно определить двумя основными способами: на основании статистических данных по эксплуатации систем (или их аналогов) и расчетом в сочетании со статистическим моделированием.

Первый метод (метод инженерного анализа) позволяет практически без расчетов принимать решение о включении элементов в номенклатуру запасных частей. Он может использоваться при разработке технических изделий, базирующейся на совершенствовании существующих конструкций, когда в новых проектах предусматривается широкое использование стандартных или унифицированных деталей, узлов и блоков.

Метод инженерного анализа заключается в определении номенклатуры запасных элементов путем оценки их классификационных признаков (табл.7.1). Анализ начинается с составных частей высшего уровня, т.е. крупных сборочных единиц и комплексов, затем анализируются более мелкие части (блоки, узлы и т.д.) и, наконец, отдельные детали. По результатам анализа каждой составной части (элементу) присваивается четырехзначный код (кодовое число) (см.табл.7.1). Элемент включается в номенклатуру запасных элементов только в случае, если код состоит из одних единиц. Количество запасных элементов определяется исходя из данных по эксплуатации объектов или их аналогов.

Таблица 7.1

ОЦЕНКА КЛАССИФИКАЦИОННЫХ ПРИЗНАКОВ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ ОБЪЕКТА [27]

Номер	Классификационные признаки составных частей		Оценка
разряда	Ï ð è ç í à ê	Характеристика признака	признака
1	Возможность	Контролируется	1
	контроля	Не контролируется	0
2	Возможность отказа	Отказы возможны	1
	за время эксплуатации	Отказы практически невозможны	0
3	Влияние отказов на	Приводит к отказу системы	1
	работоспособность системы	Не ухудшает выполнение функций	0
4	Целесообразность	Заменой элемента	1
	устранения отказа	При техническом обслуживании	0

72

Такой способ достаточно надежен и точен лишь для устойчивых в конструктивном отношении технических систем и возможен лишь после их длительной эксплуатации.

Второй (расчетный) метод может использоваться при проектировании совершенно новых не имеющих аналогов технических объектов. Он основан на результатах структурно-логического анализа надежности техниче- ских систем с использованием методов оптимизации структурного резервирования.

Использование системы обеспечения запасными элементами представляет собой один из видов резервирования (резервирование замещением [13]) и при расчете оптимального состава запасных элементов можно воспользоваться методами оптимизации структурного резервирования (гл.5). Специфика и сложность расчета заключается в неопределенности норм расхода запасных частей вследствие разброса значений срока службы или ресурса. Если, например, ресурс элемента лежит в интервале от tmin äî tmax (рис.7.7), то ресурс двух элементов (основного и резервного) - в ин-

тервале от 2tmin äî 2tmax, òðåõ - îò 3tmin äî 3tmax и т.д., т.е. с увеличением общего срока эксплуатации и количества запасных элементов разброс зна-

чений увеличивается, поэтому при расчетах необходимого количества запасных элементов обычно используются вероятностные модели [13].

Для обеспечения заданного ресурса T необходимо выполнение условия

m
åti ³ T ,	(7.13)

i=1

ãäå ti- наработка или ресурс i-го элемента, m- число элементов, заменяемых в процессе эксплуатации (необходимый запас резервных элементов).

Неравенство (7.13) представляет собой условие достаточности числа запасных элементов. Поскольку число m зависит от случайных величин

ресурса ti, то условие (7.13) выполняется с некоторой вероятностью:
æ m	ö
ç	÷	= p .	(7.14)
pç åti	> T÷
èi=1	ø

Ресурс, который необходимо обеспечить для надежного функциониро-

вания n основных элементов, должен соответствовать условию
æ m	ö
ç	÷	= p.	(7.15)
pç åti	> nT÷
èi=1	ø

f(t)

t

tmin	tñð	t	max	2t	min	2tñð	2tmax

Рис.7.7. Определение необходимого числа запасных элементов

æ

= Fç

è

73

На основании предельной теоремы вероятностей и в соответствии с основными свойствами характеристик случайных величин случайная величи- на суммарной наработки запасных элементов распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией

æ	m	ö	= mM(ti ) = mtñð,
Mçç	åti÷÷
èi=1		ø

Тогда

æ	m	ö	= mD(ti ) = mD .
Dçç	åti÷÷			(7.16)
èi=1		ø

æ	m	ö	æ mM(t ) - nT ö
ç		÷	ç		i		÷
p =p ç	åti ³ nT÷		= p(mtñð ³ nT)= Fç		mD(t )	÷
è	=	ø	è			ø
	i 1				i

ãäå F(x) - интегральная функция нормального распределения.

mtñð - nT ö

÷ , (7.17)

mD ø

Введя понятие квантили up, уравнение (7.17) запишется в виде

mtñð − nT			= up .	(7.18)
	mD

Если обозначить среднее необходимое число элементов за весь период эксплуатации`n=nT/Tñð и ввести обозначение коэффициента вариации

ресурса элемента v =D1/2/t	ñð	, то уравнение (7.18) запишется в виде
t		m - n = upvt
				m					(7.19)
èëè
		m2 - 2mn - n2 = u2v2m,							(7.20)
				p t
откуда [13]
		2+				» n +u v		.
m= n +u v			n2 +(n +u v	2)2
							n		(7.21)
p	t		p t			p t

Зависимость (7.21) позволяет рассчитать приблизительное число запасных элементов, необходимое для обеспечения заданного ресурса.

Для приближенных расчетов используется также аналогичная формула вида [27]

m = lT + uγ		,
	lT		(7.22)

ãäå λ - интенсивность отказов, T - заданное время работы объекта, uγ - квантиль нормального распределения при доверительной вероятности γ (обычно γ=0,90÷0,99).

Если система состоит из n основных и m резервных (запасных) элементов и их вероятность безотказной работы подчиняется экспоненциальному закону, задача определения необходимого количества запасных элементов, обеспечивающих при наработке системы t заданную вероятность безотказной работы Po, сводится к решению относительно m неравенства

m	(nlt)k	exp(-nlt) ³ Po .	(7.23)
P = å	k !
k=0

Решение неравенства (7.23) возможно численными методами или подбором. Можно также воспользоваться номограммой (рис.7.8): искомое зна- чение n соответствует кривой, ближайшей к точке с координатами nlt=nt/tñð=Lnt è Po.

						74
P
0,8											m=10
0,6
	m=0	1	2	3	4	5	6	7	8		9
0,4
0,2
0		1	2	3	4	5	6	7	8	9	nλt
		Рис.7.8. Зависимость вероятности безотказной работы
от числа основных (n) и резервных (m) элементов при ненагруженном резерве [28]

На практике при разработке оптимальной системы снабжения запасными элементами необходимо учитывать большое количество разнообразных факторов как технических, так и организационных, экономических, маркетинговых и др. Кроме того, восстановление работоспособности системы может осуществляться не только за счет замены отказавших элементов, но и в результате их восстановления (полного или частичного), т.е. ремонта. Поэтому задачу оптимизации запасов в каждом случае приходится решать индивидуально для конкретной технической системы.

7.2.2.Модель "гибели и размножения"

Âобщем случае в произвольный момент времени техническая система может содержать одинаковые (или взаимозаменяемые) элементы (включая

запасные) в различных состояниях (рис.7.9) [29]: n элементов в рабочем состоянии с интенсивностью отказов λ, m элементов в нагруженном резерве с той же интенсивностью отказов λ, l элементов в состоянии облег- ченного резерва с интенсивностью отказов λî, s элементов в состоянии ненагруженного резерва (в запасе) и в этом состоянии не отказывают, до r элементов может находиться в ремонте с интенсивностью восстановления

Запас

Облегченный

Нагруженный

Рабочие

(ненагруженный

резерв

резерв

элементы

резерв)

s

l

m

n

λ0

λ

η

λ

μ

ν

Ремонт

Снабжение

Списание

r

Рис.7.9. Блок-схема технической системы

75

μ (число r определяется мощностью ремонтной базы - количеством ремонтных мест, числом ремонтных бригад и т.д.).

В систему могут поступать новые элементы через систему снабжения и часть элементов списывается. Каждый отказавший элемент из рабочей группы мгновенно поступает на ремонт и заменяется элементом из нагруженного резерва, на место выбывшего элемента становится элемент из облегченного резерва, а его место занимает элемент из ненагруженного резерва, который, в свою очередь, заменяется элементом из ремонта. Оче- видно система находится в работоспособном состоянии, если число работоспособных элементов не меньше n. Конкретная система может не содержать элементов в состояниях нагруженного и облегченного резерва, отказавшие элементы могут не ремонтироваться, а сразу заменяться новыми и т.д. Однако все возможные варианты технических систем являются частными случаями системы, блок-схема которой приведена на рис.7.9.

Система с установившимся режимом работы содержит постоянное количество элементов N:

N = n + m + l +s + r.

(7.24)

Приведенное описание технической системы по сути аналогично описанию закрытой или открытой системы массового обслуживания (см.гл.2), в которой узел обслуживания соответствует состоянию элемента, поэтому для анализа работоспособности технической системы можно использовать методы теории массового обслуживания. Однако в общем случае для полного описания работы системы, состоящей из N элементов, каждый из которых может находиться во всех пяти состояниях необходимо рассмотреть 5N возможных состояний, что при больших значениях N делает решение задачи практически нереальным. Даже если ограничиться только двумя состояниями (исправным и неисправным), необходимо рассмотреть 2N возможных состояний.

Для совокупности идентичных по надежности элементов число рассматриваемых состояний может быть существенно сокращено. Так как для

каждого состояния системы суммарная интенсивность отказов λk и суммарная интенсивность восстановлений μk зависит только от числа неисправных в данный момент элементов k, то она может быть описана марковским процессом с числом состояний N+1 (в данном случае состояния отличаются друг от друга только числом неисправных элементов k).

Если принять, что характеристики безотказности и восстановления элементов подчиняются экспоненциальному закону (то есть интенсивности

отказов λ è λ0 и восстановлений μ - постоянные величины), то работа системы может быть описана категориями однородного марковского процесса

"гибели и размножения" (èëè "рождения и смерти" [30]) теории массового обслуживания. При таком подходе система может быть описана цепоч- кой состояний (рис.7.10), отличающихся друг от друга числом неисправ-

ных элементов k (0≤k≤N) и суммарными интенсивностями отказов и восстановлений λk è μk, причем в общем случае (рис.7.9) [29]

76

ì(n + m)l + llo,

lk = ïí(n + m)l + (l + s - k)lo,

ïî(n + m + l + s - k)l,

0 £ k £ s,

s < k £ s + l,	(7.25)
l + s < k £ N,

mk	ìkm,	k £ r,
	= í	k > r.	(7.26)
	îrm,

Рассмотрим изменение вероятности k-го состояния системы через ма-

лый промежуток времени Dt . При этом будем считать, что интервал Dt настолько мал, что вероятность того, что в течение этого времени произойдет более одного события (отказа или восстановления элемента) пре-

небрежимо мала. В момент времени t+Dt система может находиться в k- ом состоянии только в одном из следующих случаев:

1)В момент t система находилась в предыдущем (k–1)-ом состоянии и

âтечение времени Dt отказал один из работающих элементов. Если элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации и их надежность подчиняется экспоненциальному закону, то вероятность такого события

pk−1,k(t, t + Dt) = qk−1(Dt) = 1 - exp(-lk−1Dt) » lk−1Dt ,

(7.27)

ãäå qk–1 è λk–1 - вероятность и интенсивность отказов элементов в (k–1)-ом состоянии.

2)В момент t система находилась в последующем (k+1)-ом состоянии и

âтечение времени Dt был восстановлен один элемент. Если процесс восстановления элементов подчиняется экспоненциальному закону, то вероятность такого события

pk+1,k(t, t + Dt) = pâ(k+1)(Dt) = 1 - exp(-mk+1Dt) » mk+1Dt ,

(7.28)

ãäå pâ,(k+1) è μk+1 - вероятность и интенсивность восстановления в (k+1)-ом состоянии.

3) в момент времени t система уже находилась в k-ом состоянии и в

течение времени Dt ни один из работоспособных элементов не отказал и ни один из отказавших не был восстановлен. Вероятности этих событий:

pk,k+1(t, t + Dt) =1- qk(Dt) =1-[1 - exp(-lkDt)]»1- lkDt,	(7.29)
pk,k−1(t, t + Dt) =1-pâk(Dt) =1-[1 - exp(-mk Dt)]»1-mk Dt ,	(7.30)

ãäå qk è λk - вероятность и интенсивность отказов элементов в k-ом состоянии, pâk è μk - вероятность и интенсивность восстановлений элементов в k-ом состоянии.

Чтобы в момент t+Dt система оказалась в k-ом состоянии, необходимо, чтобы либо состоялось событие первого или второго вида, либо не состоялось ни одно из событий третьего вида. По теореме сложения вероятностей для первого и второго случая и теореме умножения вероятностей для

третьего вероятность k-го состояния системы в момент времени t+Dt

0

l0

1

l1

... lk-2

k-1

lk-1

k

lk

k+1

lk+1

... lN-1

N

m1

m2

mk-1

mk

mk+1

mk+2

mN

Рис.7.10. Схема процесса гибели и размножения

		77
		Pk(t + Dt) =
		v		v
= Pk−1(t)pk−1,k(t, t+Dt)+Pk(t)pk,k+1(t, t+Dt)p(t, t+Dt)+Pk+1(t)pk+1,k(t, t+Dt)»
k−1( )	k−1	k( )(	k	)(	)	k+1( )	k+1
» P t l	Dt + P t 1- l			Dt 1	- mDt	+ P t m	Dt »
» Pk 1(t)lk 1Dt + Pk(t)[1 -			(lk + mk )Dt] + Pk 1(t)mk 1Dt ,					(7.31)
−	−					+	+

ãäå Pk–1(t), Pk+1(t) è Pk(t) - вероятности предыдущего, последующего и k-го состояний в момент времени t.

Из выражения (7.31)

Pk(t + Dt) - Pk(t) = lk−1Pk−1(t) - (lk + mk )Pk(t) + mk+1Pk+1(t) . (7.32)

Dt

Переходя к пределу при Dt®0, получим дифференциальное уравнение

относительно неизвестной функции Pk(t):
	dPk(t)	= lk−1Pk−1(t) - (lk + mk)Pk(t) + mk+1Pk+1(t) .	(7.33)
	dt

Составив для каждого из всех возможных N+1 состояний системы уравнение вида (7.33), получим систему N+1 дифференциальных уравнений (k =0, 1, ..., N). Так как система линейно зависима (сумма правых частей всех уравнений равна нулю), то для ее решения относительно неизвестных P0(t), P1(t), ..., PN(t) одно (любое) уравнение необходимо заменить нормирующим условием, в соответствии с которым сумма вероятностей всех N+1 состояний, составляющих полную совокупность событий, равна единице:

N
åPk(t) = 1.	(7.34)

k=0

В качестве начальных условий можно воспользоваться значениями P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) = ... = PN(0) = 0. (7.35)

На практике часто наиболее важно поведение системы в установив-

шемся режиме при t®¥, когда предельные значения вероятностей состояний

Pk = lim Pk(t)	(7.36)
t→∞

не зависят от начального состояния системы, причем установившиеся (финальные) вероятности pk представляют собой среднюю долю времени, которое система пребывает в соответствующем состоянии. Переходя в системе уравнений (7.33) к пределам при t®¥, учитывая (7.35) и то, что при этом dPk(t)/dt=0, получим систему линейных алгебраических уравнений

ì-l0P0 + m1P1 = 0,
ï
ï...	- (lk + mk )Pk + mk+1Pk+1
ílk−1Pk−1		= 0,	(7.37)
ï...

ï	- mNPN = 0.
îlN−1PN−1

Кроме того, из соотношения (7.34) следует, что сумма всех установившихся вероятностей равна единице:

78

		N
		å Pk = 1.	(7.38)
		k=0
Если в системе уравнений (7.37) ввести обозначение
mkPk - lk–1Pk–1 = pk,			(7.39)
то она запишется в виде
ìp	0 = 0,
ï
ï...,
ípk - pk+1 = 0,			(7.40)
ï...,
ïp	N	= 0,
î

откуда, очевидно, pk = 0 (k = 0,1,...,N). Тогда, если mk ¹ 0, òî

l

k−1

l

k−2

l

k−1 P

l

l ...l

k−1 P

k−1

l

i

P =

P

=

=...=

0

1

= P

∏

= q

k

P (7.41)

k

mk

k−1

mk−1mk

k−2

0

0

i=0 mi+1

0

m1m2...mk

или окончательно с учетом условия (7.38)

N

−

N

j−1

k 1

li

Pk = qk

å qj =

Õ

li

å Õ

,

(7.42)

j=0

i=0 mi+1

j=0 i=0 mi+1

k−1

λ

j −1

λ

ãäå θk =

∏

i

,

θ j

= ∏

i

.

i= 0 μi+1

i= 0

μi+1

Через вероятности состояний системы в установившемся режиме (7.42) легко находятся некоторые вероятностные характеристики системы. Например, среднее число неисправных элементов

N	N	N
kñð = M[k] = å kPk = å kqk		å qk .	(7.43)
k=0	k=0	k=0

Система будет работать безотказно до момента времени t, если число

отказавших элементов ни разу не превысит N-n. Если в начальный момент все элементы исправны, то вероятность безотказной работы системы

P = 1 - PN–n+1.

(7.44)

Òàê êàê Pk = p{tk<t} = 1 - exp(-t/tk), òî

P = expæ	-		t	ö .	(7.45)
ç				÷
è		TN −n+1ø

Надежность системы может также характеризоваться коэффициентом готовности (см.разд.1.4), который можно считать предельным значением вероятности безотказной работы. Для системы, блок-схема которой изображена на рис.7.9, можно рассчитать среднюю длительность исправного состояния Tè, среднюю длительность неисправного состояния Tí и коэффициент готовности Kã:

		1	N−n				1		N
Tè =			åPk ,		Tí =				åPk ,	(7.46)
	l	P				l	P	=
		N−n N−n	=				N−n N−n		− +
			k	0				k	N n 1

79

		= lim P(t) =	Tè		=	N−n
K						P ,	(7.47)
			T	+T
	ã	t→∞				å k
			è	í		k=0

Из всех возможных частных случаев, описываемых блок-схемой на рис.7.9 и выражениями (7.25)-(7.26), на практике чаще других встречаются следующие:

1. Система состоит из N=n элементов, из них n–m в рабочем состоянии и m в нагруженном резерве, число одновременно восстанавливаемых элементов практически не ограничено (r ³ n). Тогда lk= (n–k)l, mk= km и вероятность k-го состояния по формуле (7.42)

P = Ck		lkmn− k	.	(7.48)
k	n (l + m)n
Отказ системы наступит,	когда	число отказавших элементов		станет

равным m+1. Тогда пользуясь формулой (7.48) среднее время безотказной работы

k

æ

l ö

i

æ

m

ö

n−i

m

é

m−i æ lö

i+1

1

1

ù

åCni

ç

÷ ç

÷

åêCn

ç ÷

+

ú

m

i+1

i=0

è l +mø è l +mø

i=0

ê

è mø

m-i+1ú

Tm+1=å

=

ë

û

. (7.49)

æ

l

ö

k

æ

m

ö

n−k

(l +m)Cm+1

k=0

n

(n- k)lCnk ç

÷ ç

÷

è l +mø

è l +mø

В частном случае для системы с одним рабочим элементом (m = n – 1)

n	(1 + m l)k
Tm+1 = Tn = å k(l + m) .		(7.50)
k=1

2. Система та же, но отказавшие элементы восстанавливаются по одному (r = 1). Тогда lk= (n–k)l, mk= m и по формуле (7.42)

		1		(m l)n− k	n	1		(m l)i .
	Pk =				å				(7.51)
		(n - k)!				i!
					i= 0

Отказ системы произойдет в состоянии k = m+1. Тогда на основании формулы (7.51)

n	n	(k - 1)!	(m l)i	−	k .
Tm+1 = å	å	li!				(7.52)
k= n−m	i= k

3. В системе n рабочих элементов и неограниченный ненагруженный резерв, возможности восстановления также не ограничены. Тогда lk= nl, mk= km и по формуле (7.42)

P =	1		(nl m)k exp(- nl m) .	(7.53)
k	k!

4. Система как в предыдущем случае, но r = 1. Тогда lk= nl, mk= m. Для этого случая решение существует при nl<m. По формуле (7.42)

P = (nl m)k (1 - nl m) .	(7.54)
k

80

Формулы (7.45)-(7.54) позволяют по заданной вероятности безотказной работы системы P или другим параметрам надежности и интенсивности отказов элементов l рассчитать необходимую интенсивность восстановле-

ния элементов m. Если возможности восстановления ограничены или элементы не восстанавливаются, то для обеспечения заданных параметров надежности необходимо отказавшие элементы заменять запасными, т.е. в

полученных формулах m=h. Следовательно, в необходимых случаях приведенная методика позволяет рассчитать необходимые нормы запасных эле-

ментов: при заданной наработке t и интенсивности замен h необходимое число запасных элементов s=h×t.

7.2.3.Основные характеристики ремонтоспособности системы

Âсоответствии с общей схемой (рис.7.9) отказавшие элементы посту-

пают в ремонтное устройство, состоящее из r ремонтных единиц, для восстановления или замены. Если в этот момент все ремонтные единицы заняты (или нет элементов на замену), то элемент ставится в очередь. При такой схеме длина очереди равна нулю, если число неисправных элемен-

òîâ k£r, и равна k–r, åñëè k>r. Ремонтоспособность системы, качество и достаточность системы технического обслуживания и ремонта могут характеризоваться средним числом элементов, ожидающих ремонта или тре-

бующих замены k¢ или средним числом занятых ремонтных единиц k¢¢ [29]:

N	r	N
k¢ = å(k - r)Pk,	k¢¢ = å kPk + r	å Pk.	(7.55)
k=r +1	k= 0	k=r +1

Каждый элемент в процессе работы один или несколько раз проходит цикл работа - ожидание ремонта (замены) - ремонт - резерв. Если обозна- чить среднюю продолжительность цикла t0, среднее время пребывания элемента в каждом периоде, соответственно, t1, t2, t3 è t4 (t0=t1+t2+t3+t4),

то отношения
h1 = t1/t0, h2 = t2/t0, h3 = t3/t0, h4 = t4/t0	(7.56)

равны долям времени пребывания в каждом периоде (и h1+h2+h3+h4= 1). Отношения (7.56) равны также отношениям среднего числа элементов

в каждом из четырех состояний (периодов), к общему числу в системе, т.е.

hi = 1 lim M[ki(t)],

N t→∞

ãäå ki(t) - число элементов в каждом из четырех состояний (i = 1, 2, 3, 4).
Число элементов в рабочем состоянии
k (t) =	ì		n, å ñ ëè k(t) £ N - n,
1	í	N - k(t), å ñ ëè k(t) > N - n,
	î
число элементов, ожидающих ремонта или замены,
k (t)	=	ì	0,	å ñ ëè k(t) £ r,
2		îík(t) - r,		å ñ ëè k(t) > r,

(7.57)

(7.58)

(7.59)