6.4.1. Обратная задача

При изготовлении детали (рис.6.2, а) вначале обрабатывают базовую плоскость 1; затем по настройке от этой базы - плоскость 2 по размеру А₂=28 ± 0,14 мм и плоскость 3 по размеру А₁=60± 0,2 мм. Размерная цепь показана на рис.6.2, б.

Расчет номинального размера замыкающего звена

В технологической линейной размерной цепи размер А_Δ является замыкающим звеном; он зависит от увеличивающего размера А₁ и уменьшающего А₂: А_Δ = А₁ - А₂ = 60 – 28 = 32 мм

В общем случае при n увеличивающих и р уменьшающих размерах номинальный размер замыкающего звена линейной размерной цепи можно определить по формуле

(6.1)

Это уравнение справедливо и в случае, когда вместо номинальных взяты значения соответствующих действительных размеров размерной цепи.

Напомним, что деталь по замыкающему размеру не обрабатывают - он получается в результате обработки детали по другим, связанным с ним размерам. В сборочных размерных цепях замыкающий размер определяется последовательностью сборки.

Определение предельных размеров замыкающего звена.

Составляющие размеры могут меняться в установленных допусками пределах. При сочетании наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих составляющих размеров замыкающий размер имеет наибольшее значение (см. рис.6.2, а), при сочетании наименьших увеличивающих и наибольших уменьшающих составляющих размеров - наименьшее значение:

(6.2)

(6.3)

б)

а)

Рис.6.2. Трехзвенная размерная цепь

По формулам (6.2) и (6.3) определяем предельные размеры замыкающего звена для примера, показанного на рис.6.2: мм; мм.

Поскольку разность между наибольшим и наименьшим предельными размерами есть допуск, вычтем почленно равенство (6.3) из равенства (6.2). Тогда получим

. (6.4)

Если принять общее число звеньев в цепи равным m, а общее число составляющих звеньев m-1=n+p, то получим

(6.5)

т. е. допуск замыкающего размера равен сумме допусков составляющих размеров. Например, при TA_i = 0,40 мм и ТА₂ = 0,28 мм ТА_Δ = 0,40+0,28 = 0,68 мм.

Равенство (6.5) справедливо, если суммировать погрешности всех составляющих размеров. В этом случае погрешность замыкающего звена равна алгебраической сумме погрешностей всех составляющих звеньев цепи. Это справедливо также в каждый момент времени при работающем механизме. Следовательно, для обеспечения наименьшей погрешности замыкающего звена размерная цепь должна состоять из возможно меньшего числа звеньев, т. е. при конструировании изделия необходимо соблюдать принцип кратчайшей цепи. Кроме того, порядок обработки и сборки деталей следует строить (если это возможно) так, чтобы замыкающим был менее ответственный размер (так как его погрешность наибольшая).

На основании (6.5) запишем формулу для определения допуска любого составляющего размера А_q при условии, что известны допуски остальных размеров цепи, включая замыкающий:

, (6.6)

где суммируются допуски всех составляющих звеньев, кроме звена А_q.

Выведем уравнения, необходимые для определения отклонений замыкающего размера. При расчете удобно использовать координату середины поля допуска Е_с (А_j) и половину допуска Т А_j/2 (рис. 6.3).

Рис.6.3. Схема определения координаты середины поля допуска Е_с(А_j)

Для любого составляющего звена

; (6.7)

Аналогично

; (6.8)

Выразим наибольший предельный размер в виде суммы номинального размера и верхнего отклонения, а наименьший предельный размер - в виде алгебраической суммы номинального размера и нижнего отклонения. Тогда, преобразовав уравнения (6.2) и (6.3), получим

; (6.9)

. (6.10)

Размер А_Δ можно определить по формуле (6.1). Вычтя почленно из уравнений (6.9) и (6.10) уравнение (6.1), получим уравнения для определения соответственно верхнего и нижнего отклонений замыкающего звена:

; (6.11)

. (6.12)

По формулам (6.11) и (6.12) найдем отклонения замыкающего звена размерной цепи, изображенной на рис. 6.2:

мм; мм.

Таким образом, замыкающий размер А_Δ = 32 ± 0,34.

Подставим в уравнения (6.11) и (6.12) значения предельных отклонений, выраженных через координату середины поля допуска в уравнениях (6.7) и (6.8):

;

.

Сложив почленно последние два уравнения и разделив сумму на 2, получим следующее выражение для определения координаты середины поля допуска замыкающего звена:

. (6.13)