u-lectures сопромат

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

Сопротивление материалов

(название дисциплины)

Учебное пособие

Красноярск

2008

2

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПОДГОТОВЛЕНО В СООТВЕТСТВИИ С УЧЕБНОЙ ПРОГРАММОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ», СОСТАВЛЕННОЙ

в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по укрупненной группе 150000 «Металлургия, машиностроение и металлообработка» Направления 150300.62 «Прикладная механика» Специальностей 150301.65 «Динамика и прочность машин»

150302.65 «Триботехника»

Тексты лекций подготовили

Фамилия И. О.	Место работы	Должность	Подпись
Шатохина Люд-	Сибирский федераль-	ПИ, к.т.н., до-
мила Петровна	ный университет	цент
Богомаз Ирина	Сибирский федераль-	ИАС, профес-
Владимировна	ный университет	сор, к.ф-м.н.,
		заведующая
		кафедрой
Мартынова Тать-	Сибирский федераль-	ИАС, к.п.н.,
яна Петровна	ный университет	доцент
Федорова Елена	Сибирский федераль-	ПИ, к.т.н., до-
Николаевна	ный университет	цент
Козлов Владимир	Сибирский федераль-	ПИ, д.т.н.,
Игоревич	ный университет	профессор
Фадиенко Лю-	Сибирский федераль-	ПИ, к.ф.-м.н.,
бовь Павловна	ный университет	доцент
Чернякова Ната-	Сибирский федераль-	ПИ, к.т.н., до-
лья Александ-	ный университет	цент
ровна
Белозерова Яна	Сибирский федераль-	ПИ, старший
Юрьевна	ный университет	преподаватель
Буров Андрей	Сибирский федераль-	ИНиГ, к.т.н.,
Ефимович	ный университет	доцент

3
Содержание
Введение	стр.
Модуль 1 Простое сопротивление	6
Раздел 1 Введение	6
Тема 1.1 Основные понятия	6
Тема 1.2 Виды простого и сложного сопротивления	19
Тема 1.3 Понятие о напряжённо-деформированном со-	20
стоянии (НДС)
Тема 1.4 Модель прочностной надёжности	23
Раздел 2 Центральное растяжение (сжатие) прямого стержня	26
Тема 2.1 Расчёты центрально растянутого (сжатого) пря-	26
мого стержня
Тема 2.2 Специальные расчёты статически неопределимых	52
систем при растяжении (сжатии)
Тема 2.3 Экспериментальное изучение механических ха-	56
рактеристик материалов
Тема 2.4 Экспериментальное исследование материалов	67
при специальных воздействиях
Раздел 3 Геометрические характеристики плоских сечений	78
Тема 3.1 Основные определения и общие свойства геомет-	78
рических характеристик
Тема 3.2 Главные моменты инерции	88
Раздел 4 Сдвиг и кручение	99
Тема 4.1 Сдвиг	99
Тема 4.2 Кручение	109
Раздел 5 Плоский изгиб	135
Тема 5.1 Расчёты балок на прочность и жёсткость	135
Тема 5.2 Общий вид эпюр внутренних усилий при изгибе.	178
Тема 5.3 Особенности расчета балок при изгибе	183
Модуль 2 Сложное сопротивление	198
Раздел 6. Основы теории напряженно-деформированного со-	198
стояния
Тема 6.1 Напряженное и деформированное состояние	198
Тема 6.2 Экспериментальное определение напряжений и деформа-	212
ций
Тема 6.3 Теории прочности	221
Раздел 7 Расчеты при сложном сопротивлении	232
Тема 7.1 Косой изгиб	232
Тема 7.2 Внецентренное растяжение (сжатие)	243
Тема 7.3 Изгиб с кручением	251
Тема 7.4 Расчет пространственного бруса в общем случае действия	260

4

сил
Модуль 3 Упругие перемещения и расчет статически неопредели-	274
мых систем
Раздел 8 Энергетические методы определения перемещений в уп-	274
ругих системах
Тема 8.1 Общие теоремы об упругих системах	274
Тема 8.2 Общие методы определения перемещений	286
Раздел 9 Статически неопределимые системы	299
Тема 9.1 Основные понятия	299
Тема 9.2 Методы расчета статически неопределимых систем	302
Тема 9.3 Особенности применения метода сил	325
Модуль 4 Расчеты при динамических воздействиях	335
Раздел 10 Расчет движущихся с ускорением элементов конструк-	335
ций
Раздел 11 Удар	343
Тема 11.1 Основы теории удара	343
Тема 11.2 Расчеты на ударную нагрузку	347
Раздел 12 Расчет на прочность при циклически меняющихся во	351
времени напряжениях
Тема 12.1 Усталость. Предел выносливости	351
Тема 12.2 Коэффициент запаса при циклическом нагружении и ме-	362
тоды его определения
Модуль 5 Устойчивость и осесимметричные задачи прочности	369
Раздел 13 Устойчивость	369
Тема 13.1 Устойчивость центрально сжатого стержня	369
Тема 13.2 Расчёты на устойчивость	380
Тема 13.3 Продольно-поперечный изгиб	389
Раздел 14 Осесимметричные задачи прочности	392
Тема 14.1 Расчет тонкостенных осесимметричных оболочек	392
Тема 14.2 Расчет толстостенных цилиндров	399
Заключение	407
Список литературы	408

5

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие по курсу лекций «Сопротивление материалов» составлено для бакалавров направления 150300.62 «Прикладная механика» и специалистов, обучающихся по образовательным программам: 150301.65 «Динамика и прочность машин», 150302.65 «Триботехника», а также для студентов других специальностей.

Целью создания данного пособия является обеспечение базовой инженерной подготовки, включающей приобретение фундаментальных знаний в области расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость, устойчивость и долговечность.

Программой курса предусматривается изучение основных понятий простого и сложного сопротивления: метода сечений для определения внутренних усилий, деформаций, напряжений, условий прочности и жесткости. Достаточное внимание уделяется изучению характеристик механических свойств конструкционных материалов, процессов деформирования и разрушения, методов анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и условий накопления предельного состояния. Рассматриваются вопросы расчета упругих перемещений в статически определимых и статически неопределимых системах, основы расчетов элементов конструкций при статических и динамических нагрузках, в условиях циклически меняющихся во времени напряжениях, задачи устойчивости.

Учебное пособие включает в себя курс лекций и электронные презентации курса. Лекционный курс состоит из 14 разделов, в конце которых приводится список вопросов для самоконтроля.

При написании пособия использованы учебные издания крупнейших инженерных школ, работы таких выдающихся ученых в области прикладной механики как С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев и др., а также многолетний опыт преподавания «Сопротивления материалов» на кафедрах «Техническая механика» ИГУиРЭ СФУ и «Динамика и прочность машин» ПИ СФУ.

Авторы пособия с благодарностью примут все пожелания и предложения по его совершенствованию.

6

Модуль 1 Простое сопротивление

Раздел 1 Введение

Тема 1.1 Основные понятия

Цели и задачи учебной дисциплины «Сопротивление материалов»

Сопротивление материалов (СМ) – инженерная дисциплина, являющаяся составной частью механики деформируемого твердого тела, изучающая основы методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций, сооружений и машин с учетом требований долговечности и экономичности.

Основные положения СМ опираются на законы и теоремы общей механики и в первую очередь статики, без знания которых невозможно изучение курса. Но в отличие от теоретической механики, которая базируется на гипотезе об абсолютно твердом теле, в СМ рассматриваются деформируемые тела.

Целью расчётов СМ является определение таких размеров конструкции, при которых сохраняется прочность, а деформации не превышают величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

Изучение СМ имеет большое значение для инженерной подготовки, так как формирует фундамент грамотного проектирования и эксплуатации конструкций, является связующим звеном между теоретическими науками (теоретической механикой, математикой и др.) и конкретными техническими дисциплинами.

Основными задачами СМ являются освоение теории и практических методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций и машин, необходимых как при изучении дальнейших дисциплин, так и в практической деятельности инженеров-механиков, ознакомление с современными подходами к расчету сложных систем, элементами рационального проектирования конструкций.

Как уже отмечалось выше, к инженерным конструкциям предъявляются тре-

бования прочности, достаточной жесткости, устойчивости, долговечности.

Прочность – способность элементов конструкций, деталей машин сопротивляться разрушению под действием приложенных внешних сил (нагрузок). Под разрушением твердых тел понимается либо разделение их на части (хрупкое разрушение), либо появление больших деформаций (пластическое разрушение) под действием механических нагрузок или напряжений, иногда в сочетании с термическими, коррозионными и др. воздействиями.

Жесткость – способность элементов конструкций, деталей машин сопротивляться деформированию (изменению формы и размеров) в результате действия внешних сил.

7

Устойчивость – способность конструкций и их элементов сохранять под действием нагрузок начальную форму упругого равновесия.

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Основным показателем долговечности является ресурс – продолжительность работы объекта (наработка) от начала его эксплуатации или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.

Проведение расчетов на прочность, жесткость, устойчивость, долговечность, как правило, осуществляется на стадии проектирования конструкций и сооружений. Основные задачи сводятся:

кустановлению оптимальных размеров и форм элементов конструкций и деталей машин;

квыбору конструкционных материалов, обеспечивающих надежную работу конструкции в течение заданного срока в соответствии с требованиями долговечности и с учетом реальных условий эксплуатации.

Основное значение для решения этих задач имеет установление связи между силами, действующими на тело, и его деформациями. Данный вопрос является предметом механики деформируемого твердого тела (МДТТ), которая представляет собой комплекс технических дисциплин – сопротивление материалов, строительная механика, теории упругости, пластичности и ползучести, механика разрушения, экспериментальная механика. В этом комплексе СМ является основополагающей дисциплиной, без знания которой невозможно создание надежных инженерных конструкций и сооружений.

Связь СМ с другими дисциплинами

МДТТ и, в частности, СМ не является обособленной наукой, она тесно связана с общей механикой, математикой, физикой твердого тела, материаловедением и технологией металлов.

К механике деформируемых твердых тел, кроме СМ и МР, относятся и другие дисциплины, такие, как математическая теория упругости, строительная механика машин и конструкций, теория инженерных сооружений, теории пластичности и ползучести и ряд других. Различие между СМ и этими дисциплинами заключается, в первую очередь, в подходе к решению задач.

Математическая теория упругости изучает вопросы поведения деформируемых тел в более точной постановке. Поэтому при решении задач приходится во многих случаях обращаться к сложному математическому аппарату, что ограничивает возможности практического использования методов теории упругости, но при этом достигается большая полнота анализа изучаемых явлений. На этой основе выделяются, как самостоятельные ветви теории упругости – теории пластин, оболочек, стержневых систем.

В рамках теорий пластичности и ползучести рассматриваются вопросы проч-

8

ности в условиях больших деформаций с учетом влияния повышенных температур. На основе общих положений СМ созданы новые разделы науки о прочности, имеющие конкретную практическую направленность. Сюда относятся строительная механика, теория надежности технических систем, теория прочности сварных конструкций, динамика и прочность инженерных систем и сооружений.

Классификация конструкций по геометрическим параметрам

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения в геометрию реального объекта. Основной упрощающий прием заключается в приведении элементов конструкции к типовым геометрическим схемам (рис. 1.1).

Брус – тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим (длиной) (рис. 1.1, а). Плоская фигура, образованная путем рассечения бруса плоскостью, центр тяжести которой лежит на оси, а сама фигура ей перпендикулярна, называется поперечным сечением бруса.

Продольная ось, таким образом, является геометрическим местом центров тяжести поперечных сечений, поэтому при переходе от реальной схемы к расчетной в большинстве случаев можно не вычерчивать брус полностью, а ограничиться изображением только оси.

В зависимости от его формы различают брусья прямые и кривые. Среди прямых брусьев различают стержни, балки и валы. Примером кривого бруса может служить грузоподъемный крюк.

Пластина – тело, ограниченное двумя плоскими поверхностями (рис.1.1, б), расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами – шириной и длиной (крышки резервуаров, перекрытия сооружений и т.д.).

Рис. 1.1

Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями (рис. 1.1, в), расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами (тонкостенные резервуары, котлы, купола зданий, корпуса судов, обшивка фюзеляжа).

Массив – тело (рис. 1.1, г), у которого все три размера одного порядка (фундаменты сооружений, подпорные стенки).

В курсе СМ рассматриваются стержни и стержневые конструкции. Соединяя стержни между собой, можно получить так называемые стержневые конст-

9

рукции (рис. 1.2): фермы, если соединения являются шарнирными (1.2, а); рамы, если стержни соединены жестко (1.2, б).

а

б

Рис. 1.2

Схематизация и классификация внешних нагрузок

Внешними силами называются силы взаимодействия рассматриваемого элемента конструкции со связанными с ним телами, включая и внешнюю среду. Реакции связей могут рассматриваться как внешние силы. В процессе расчетной схематизации нагрузки классифицируют по разным признакам.

По способу приложения нагрузки сводят к распределенным и сосредоченным

силовым воздействием.

Распределенные нагрузки (рис. 1.3) могут быть погонными [Н/м] (сила тяже-

сти стержня принимается распределенной по длине стержня в силу малости двух других размеров), поверхностными [Н/м2] (давление ветра или воды на стенку) и объемными [Н/м3] (сила тяжести тела, сила инерции).

В тех случаях, когда площадка контакта реальных тел пренебрежимо мала по сравнению с размерами нагружаемого элемента, вводят понятие сосредоточенной силы F [H] как равнодействующей давления по указанной площадке.

Возможны и – моментные воздействия – в виде сосредоточенных моментов

m[Н м] и моментов распределенных m Н м .

м

Рис. 1.3

10

По характеру изменения в процессе приложения нагрузки делятся на статические, динамические и повторно – переменные.

Кстатическим относятся нагрузки не изменяющиеся со временем (собственный вес) или меняющиеся настолько медленно, что вызываемые ими ускорения и силы инерции элементов пренебрежимо малы (снеговая нагрузка). Динамические нагрузки меняют свое значение, положение или направление в короткие промежутки времени (движущиеся нагрузки, ударные, сейсмические и др.), вызывая большие ускорения и силы инерции, что приводит к колебаниям конструкций и сооружений.

Повторно-переменные нагрузки многократно (до нескольких миллионов раз) изменяют со временем значение или значение и знак. Разрушение материала под действием таких нагрузок называется усталостным (например, разрушение куска проволоки от многократного перегибания).

По продолжительности действия нагрузки делят на постоянные и временные.

Кпостоянным относятся нагрузки, действующие в течение всего времени существования конструкции или сооружения (вес несущих и ограждающих конструкций, вес и давление грунта).

Временные нагрузки действуют на протяжении отдельных периодов эксплуатации или возведения объекта (от веса людей, материалов и оборудования; давления жидкостей и сыпучих материалов в сосудах и трубопроводах; атмосферные нагрузки – снеговая, ветровая, а также температурные, монтажные, сейсмические, взрывные, аварийные и др.).

Опорные устройства и реактивные усилия

Все многообразие существующих опорных устройств балок схематизируется

ввиде следующих трех основных типов опор: шарнирно-подвижная (рис.

1.4,а), в которой может возникать только одна составляющая реакция RA, направленная вдоль опорного стержня; шарнирно-неподвижная (рис. 1.4,б), в

которой могут возникнуть две составляющие реакции – вертикальная RA и го-

ризонтальная HA; защемление (рис. 1.4, в) (или иначе жесткое защемление

или заделка), где могут быть три составляющие – вертикальная RA и горизонтальная HA реакции и опорный момент MA. Возможные направления реакций

вопорах стержней показаны на рис. 1.4, б