67
		1
		1 v2
			c2 .

С учѐтом найденных коэффициентов преобразования Лоренца приобретают вид:

1

1

x

(x vt)

x

(x vt)

v

2

v

2

1 c2

1 c2

y y

y y

z z

z z

t

1

(t

v

x)

t

1

(t

v

x )

v2

c2

v2

c2

1

1

c

2

c

2

1.7.3.Относительность одновременности событий

Втеории относительности ход времени в различных инерциальных системах отсчѐта различен. Соответственно относителен и промежуток времени между двумя событиями. В частности, относительна одновременность двух событий, происходящих в разных точках пространства. События, одновременные в одной инерциальной системе отсчѐта, могут быть не одновременны

вдругих инерциальных системах отсчѐта, движущихся относительно первой.

		Пусть в движущейся системе отсчѐта K							в точках с координатами
										x1 и
	произошли два каких-либо события,
x2			соответственно, в моменты времени t1
и		. Этим событиям в неподвижной системе K соответствуют моменты вре-
	t2
мени
				v
			c2
		t1 (t1					x1 )
					v
			c2
		t2 (t2					x2 ).

Вычитая из нижнего равенства верхнее, получим промежуток времени между событиями

		v
t2 t1 (t2	t1 ) c2		(x2	x1 ).	(1.9)

		68
Отсюда видно,		что, если в системе K произошли два одновременных
события (t1	t2 ) в разных точках пространства ( x1		x2 ), эти события не будут

одновременными в системе K (t1 t2 ).

События, связанные причинно-следственной связью, не могут совершаться одновременно ни в одной системе отсчѐта. В любой инерциальной системе отсчѐта событие следствие всегда совершается позже, чем событие причина. Пусть в движущейся системе K в момент времени t1 в точке с

координатой		произошѐл выстрел. Пуля попала в мишень с координатой
	x1						x2
				. Скорость пули в системе K		определится соотноше-
в момент времени t2			t1

нием	u		x2	x1
			t2	t1

принимает вид:

t2 t1.

. Так как
		x2	x1		(x2 x1)
						vu
						c2
t2 t1 (t2				t1)(1			) .

, то

Так

							и (1.9)
x2	x1	u (t2			t1) ,
как vu c			2	и	t2 t1		, то и

Рассмотрим зависимость промежутка времени между событиями от выбора системы отсчѐта. Пусть в движущейся инерциальной системе отсчѐта K два рассматриваемых события 1 и 2 происходят в одной и той же неподвиж-

ной относительно K									. Про-
		точке А ( x1	x2 ) в разные моменты времени t1					и t2
межуток времени между этими событиями						. Время 0	, измеряемое
				0 t2	t1

по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем объекта. Относительно неподвижной системы отсчѐта K точка A движется со скоростью v , как и система K . Промежуток времени между со-

бытиями 1 и	2 по часам системы			K , как следует из (1.9), равен
t2 t1 (t2	t1) , т.е.
				0		.
		1 v2
				c2

Эта закономерность свидетельствует о существовании релятивистского эффекта замедления хода времени в движущейся инерциальной системе отсчѐта по сравнению с неподвижной. Часы, движущиеся со скоростью v отно-

	сительно неподвижной системы отсчета, идут медленнее в	1			раз, чем
		1 v2
			c2

неподвижные. Соответственно, все физические процессы в движущейся системе отсчѐта протекают медленнее, чем в неподвижной.

69

1.7.4. Относительность длин

Из преобразований Лоренца следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчѐта, уменьшается в направлении движения. Это изменение продольного размера тела при его движении называется лоренцевым сокращением.

Пусть	0 – длина стержня, покоящегося в системе отсчѐта K . Стержень
расположен	вдоль оси x . Для измерения его длины наблюдатель в системе

K
		может отмечать координаты его концов x1		и x2 в разные моменты времени
t1 и t2 . Длина стержня в этой системе			0 x2 x1 . Длина того же стержня в
системе отсчѐта K, относительно которой он движется вместе с системой K ,
равна разности координат концов стержня x2				и x1 , измеренных в один и тот

же момент времени t2 t1 . Запишем преобразования Лоренца для координат

	и
x2		x1 .
				(x2 vt2 )
		x2
				(x1 vt1 )
		x1

Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим

		(x2	x1) v(t2 t1).
x2	x1

Так как t2 t1 0 , то

0 или

0 1 v2 c2 .

Как видим, размеры тела относительны. Они максимальны в той инерциальной системе отсчѐта, относительно которой тело покоится. Эти размеры тела называются его собственными размерами.

Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчѐта.

1.7.5. Пространственно-временной интервал

Интервалом или пространственно-временным интервалом между дву-

мя событиями называется величина

70

c

2

2

2

,

s12

(t12 )

( 12 )

– промежуток времени между этими событиями (по часам сис-

где t12

t2

t1

темы

K

, а

2

2

2

– расстояние между точка-

12

(x2

x1)

( y2

y1)

(z2

z1)

ми, в которых совершаются эти два события.

Из преобразований Лоренца следует, что интервал между двумя событиями инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчѐта, т. е. не изменяется при переходе от движущейся инерциальной системы отсчѐта K к неподвижной системе K:

s12 inv. ,

s12

где s

c2 (t

)2

(

12

)2 .

12

12

1.7.6. Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть

материальная

точка

движется

со

скоростью

dy

dz

dx

u

i

j

k в движущейся системе отсчѐта K . В неподвижной

dt

dt

dt

системе отсчѐта K скорость этой точки запишется как

u

dx

i

dy

j

dz

k .

dt

dt

dt

Используя преобразования Лоренца, найдѐм связь между проекциями скоростей точки на оси координат в системах K и K . Запишем преобразования Лоренца для бесконечно малого промежутка времени:

dx (dx				vdt)
dy dy
dz dz
					v
dt (dt					c	2 dx )

		dx
Тогда ux						(dx vdt )					. Разделив каждый член этой дроби на dt и учи-
			dt			(dt			v
										dx )
									c2
тывая, что			dx
			dt		ux , получим: