124

		2 2				1	2
		arctg 0	arctg	0		0		.
	0
		2		2		0
По графику видно, что величина 0 находится в пределах от										0 до .
При малом коэффициенте затухания			в момент резонанса р						0 1, отста-

вание происходит на величину 0 2 .

Существует иной вид воздействия извне, с помощью которого можно сильно раскачать систему. Он состоит в периодическом изменении в такт колебаниям какого-либо параметра системы (например, длины математического маятника). Параметрическое воздействие на маятник мы можем осуществить периодически изменяя его длину, т. е. втягивая и выпуская нить, на которой висит маятник. Представим себе, что маятник совершает малые колебания, а мы втягиваем нить всякий раз, когда маятник проходит через среднее положение, и на столько же выпускаем нить всякий раз, когда маятник проходит через крайние положения.

Втягивая нить, мы совершаем положительную работу (увеличиваем энергию колебаний маятника). Отпуская нить, мы совершаем отрицательную работу (отбираем энергию у маятника). При колебаниях маятника натяжение нити в среднем положении будет больше, чем в крайних, поэтому положительная работа больше отрицательной. Энергия, сообщаемая маятнику, больше энергии, получаемой от него обратно. Следовательно, мы можем раскачать маятник при помощи параметрического воздействия, если это воздействие происходит с надлежащей частотой и в надлежащей фазе. В частности, частота воздействия в рассматриваемом случае должна быть вдвое больше частоты собственных колебаний маятника. Так как явления параметрического возбуждения наблюдаются только при известных соотношениях между частотой внешнего воздействии и частотой собственных колебаний системы, то в этом отношении оно сходно с явлением резонанса. Поэтому его часто назы-

вают параметрическим резонансом.

2.2.Волны

Волнами называют распространяющиеся в веществе или поле возмущения какой-либо физической величины, характеризующей состояния этого вещества или поля.

Упругими волнами называются распространяющиеся в упругой среде механические возмущения (деформации). Например, если какая-либо частица упругой среды совершает гармоническое колебание, то, благодаря упругим

125

силам, возникающим при смещении частиц среды, это возмущение распространяется в пространстве. Возмущения среды распространяются в пространстве, сами же частицы колеблются около положений равновесия. Упругая волна передает энергию и импульс, не перемещая вещества. Примером упругих волн могут служить звуковые волны. Кроме упругих волн существуют волны другой природы: электромагнитные волны (например, свет), поверхностные волны на границе слоев жидкости или газа в поле тяготения (например, на поверхности воды от брошенного камня). В образовании и распространении поверхностных волн определяющую роль играют силы тяжести и поверхностного натяжения. Мы будем рассматривать, главным образом упругие волны. Однако многие выводы, касающиеся упругих волн, относятся в равной мере к волнам любой природы.

Если колебания физической величины, характеризующей среду или поле, происходят перпендикулярно направлению распространения волны, то такие волны называют поперечными. Поперечные волны в упругой среде связаны с деформацией сдвига. При сдвиге одного слоя среды по отношению к другому слою возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в положение равновесия. Если в среде не возникают упругие силы при сдвиге параллельных слоев друг относительно друга, то поперечные волны не могут образоваться. Поэтому упругие поперечные волны могут возникать только в твердых средах. Скорость распространения поперечных волн v за-

висит от модуля сдвига G и плотности среды :	v			G		.

Если колебания физической величины, характеризующей среду или поле, происходят в направлении распространения волны, то такие волны называют продольными. Продольные волны в упругой среде создают упругие силы, возникающие при деформации среды в ответ на сжатие или растяжение. Поэтому продольные волны могут распространяться в любой среде твердой, жидкой и газообразной. Скорость распространения продольных волн v

зависит от модуля Юнга E и плотности среды : v E .

Внешние тела, вызывающие возмущения в среде называют источниками волн. Волновым полем называют область пространства, в котором наблюдается возмущения среды.

Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени доходят колебания, называют фронтом волны. То есть фронт волны это

126

поверхность, которая отделяет колеблющиеся частицы от частиц, еще не пришедших в колебательное движение.

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. Волновая поверхность понятие более общее, чем фронт волны. Действительно, в каждый момент времени существует только один волновой фронт. Волновых же поверхностей можно провести сколько угодно много. В общем случае волновая поверхность может иметь любую форму. Если, в частности, волновая поверхность представляет собой сферу, то волну называют сферической, если плоскость, то плоской.

Бегущими волнами называют волны, которые переносят энергию в пространстве.

Лучом называется линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением распространения волны.

Скорость распространения фазы колебания носит название фазовой скорости v .

2.2.1. Уравнение плоской бегущей волны

y

x

Пусть источником волн является колеблю-

r

v

щаяся плоскость, находящаяся в начале коорди-

нат (на рис. 2.18 это плоскость yz ). Эта плоскость

k

x

возбуждает колебания в упругой среде по закону

z

s Acos t . Такие же колебания возникнут в

s Acos t

s Acos (t

x

точке с координатой x , но они будут запаздывать

)

v

Рис. 2.18.	по времени, т. е. фаза колебаний будет отставать
		x
	на величину		, где v	скорость распростране-
		v

ния волны (фазовая скорость). Тогда уравнение волны имеет вид:

sAcos t vx .

Умножив выражение в скобках на циклическую частоту , получим

sAcos t v x .

127

Отношение циклической частоты к фазовой скорости волны v называют

волновым числом

k v ,

а уравнение плоской волны записывают в следующем виде:

s Acos t kx .

Введем понятие волнового вектора, по модулю равного волновому чис-

лу и направленного в сторону распространения волны: k v ev , где ev еди-

ничный вектор в направлении скорости распространения волны. Тогда уравнение волны запишется в следующей форме:

s Acos t k r .

Здесь r радиус-вектор точки среды, участвующей в волновом процессе.

На рис. 2.18 все точки плоскости, проходящей через точку с координатой x и параллельной плоскости yz , колеблются в одной фазе. Проекции ра-

диус-векторов r этих точек на волновой вектор k , а, следовательно, на ось Ox , равны координате x этих точек, т. е. k r kx .

В случае сферической волны площадь волновой поверхности, проходящей через точку пространства, находящуюся на расстоянии r от источника колебаний, равна 4 r2 . Энергия волны, проходящая через единицу площади

за время t, равна W (W энергия, излучаемая источником колебаний за это

4 r2

же время). Так как энергия колебаний W пропорциональна квадрату ампли-

туды, то амплитуда должна убывать по закону Ar , где A амплитуда колеба-

ний точек среды в окрестности точечного источника волн, находящегося в начале координат. Тогда уравнение сферической волны запишется в виде:

s Ar cos t kr .