11

мент времени, еѐ скорость и ускорение. Действительно, взяв производную ра- диус-вектора по времени, найдѐм вектор скорости

v drdt dxdt i dydt j dzdt k ,

v vxi vy j vz k ,

где vx dxdt , vy dydt , vz dzdt – проекции вектора скорости на оси координат.

Применяя теорему Пифагора, определим модуль вектора скорости

v vx2 v2y vz2 .

Аналогичным образом определим вектор мгновенного ускорения, взяв производную вектора скорости по времени

a ddtv ddtvx i ddtvy j ddtvz k , a axi ay j az k ,

где ax ddtvx , ay ddtvy , az ddtvz – проекции вектора ускорения на оси коорди-

нат. Модуль полного ускорения определится как

aax2 ay2 az2 .

1.1.3.Движение по окружности

Если материальная точка движется по окружности, то еѐ положение при заданном радиусе окружности R вполне определяется углом , который составляет радиус-вектор r , проведѐнный из центра окружности, с осью отсчѐта Оx (рис. 1.6). В данном случае начало отсчета координат выбрано в центре окружности, и модуль радиус-вектора r равен радиусу окружности (r = R). Зависимость (t) полностью задаѐт движение материальной точки по окружности радиуса R. Угол поворота измеряется в радианной мере.

12

Углом в

r

O R

Рис. 1.6.

	1 радиан называют такой центральный угол, длина дуги
		которого s равна еѐ радиусу R. Приблизительно такой
	s	угол показан на рис. 1.6. Чтобы определить произ-
		вольный угол в радианной мере, надо узнать, сколь-
		ко раз радиус R укладывается в дуге окружности:
		x
			s	. Единица измерения радиан не имеет размерно-
			R
		сти. Угол в 1 оборот равен 2 радиан. Чтобы опреде-
		лить дугу окружности, надо еѐ радиус умножить на
		центральный угол в радианной мере:
				s R .

Сопоставим бесконечно малому углу поворота d вектор d , направленный перпендикулярно плоскости вращения и связанный с направлением вращения правилом правого винта или буравчика, d d (рис. 1.7). Если материальная точка движется по окружности против часовой стрелки, то вектор d направлен вдоль оси вращения вверх (рис. 1.7, а) в сторону поступательного движения винта. Если материальная точка движется по часовой стрелке, то вектор d направлен вдоль оси вращения вниз (рис. 1.7, б).

Длина дуги окружности

ds Rd .

Это соотношение выражает связь между линейным и угловым путем материальной точки при ее движении по окружности. Учитывая, что ds dr ,

получим, что модуль перемещения		dr		rd .	Векторы d , r и dr взаимно

перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис. 1.7), значит, вектор перемещения можно представить в виде векторного произведения векторов углового пути d и радиус-вектора r (см. Приложение):

dr d ,r .

(1.1)

Быстроту движения материальной точки по окружности характеризует угловая скорость. Вектор угловой скорости равен

13

d dt

и направлен в ту же сторону, что и d (рис. 1.7). Модуль вектора угло-

d

dr

dr

r

d

d

ds

ds

r

d

a

Рис. 1.7.

б

вой скорости

d

, а единица измерения

рад.

.

Разделив обе части

dt

с

d r

dr

уравнения (1.1) на dt, получим

d

, r

. Здесь

– скорость движения

dt

dt

dt

материальной точки по траектории (линейная скоростьv , ddt – вектор угло-

вой скорости . Таким образом, получаем связь линейной и угловой скорости точки при движении по окружности в векторной форме:

v , r

Так как угол между векторами и r равен 90° , а r R , то по модулю

v R.

Если начало отсчета координат выбрать не в центре окружности, а в произвольной точке на оси вращения, то при движении точки по окружности радиус-вектор r будет вращаться по конической поверхности (рис. 1.8) или, как говорят, прецессировать. Уравнение прецессии имеет вид:

drdt , r ,

14

r

вектор угловой скорости прецессии ра-

R

диус-вектора r . По модулю правая часть ра-

венства равна r sin , где – угол между

O

векторами

r

и

.

Учитывая,

что

r sin R,

получим

, r

R v

–

мо-

дуль линейной скорости материальной точки,

Рис. 1.8.

вращающейся по окружности радиуса R.

По уравнению вида

db

c,b можно судить, что вектор b

прецессирует с

dt

угловой скоростью, равной вектору c .

Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового

ускорения , равный производной угловой скорости по времени:

d

.

dt

Представим вектор угловой скорости в виде e

, (где e

–

еди-

ничный вектор в направлении вектора ). Расписав производную произведения, получим:

	d ( e )		d	e	de	.
	dt		dt		dt

Если ось вращения не меняет положения в пространстве, то e не изменяется, и второе слагаемое равно нулю. Тогда

d

e .

dt

Вектор углового ускорения

направлен вдоль оси вращения (рис. 1.9).

Он сонаправлен c , еcли модуль угловой скорости увеличивается (

d

0 ) и

dt

противоположен , если модуль угловой скорости уменьшается (

d

0 ).

dt

d

, а единица измерения

рад.

Модуль углового ускорения

.

dt

с2

15

Если векторы и сонаправлены или противоположны, то же самое можно сказать и о векторах v и a (рис. 1.9, а, б). В случае, изображенном на рис. 1.9 (a) угловая и линейная скорости движения увеличиваются – движение ускоренное. На рис. 1.9 (б) и v , и уменьшаются – движение замедленное.

Выразим через угловые характеристики движения компоненты линей-

dv

ного ускорения a

и a

n

. Модуль тангенциального ускорения

a

. Учиты-

dt

вая, что v R , получим:

d

R .

a

R или

a

dt

v		v
	a
	an
	R	v
	a

		v
R		an
		a
б

Рис. 1.9.

Модуль нормального ускорения an v2 Rv v. Иначе

R R

an 2 R2 2 R.

R2

Тангенциальную и нормальную компоненты ускорения можно выразить через угловые характеристики движения и в векторной форме. Если взять начало отсчета координат в центре окружности, по которой движется материальная точка, то радиус-вектор этой точки совпадет с радиусом окружности R. Примем в этом случае для радиус-вектора обозначение R (рис. 1.9). Тогда в векторной форме a , r , а an , v или an 2 R.

Если угловая скорость движения не изменяется, то каждый полный оборот материальной точки по окружности совершается за одно и то же вре-