5

Стерадиан (ср) – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Особенностью данного курса лекций по физике является модульная структура, позволяющая студентам систематизировать самостоятельную работу по изучению предмета.

Многие физические величины являются векторными, поэтому перед началом изучения курса необходимо ознакомиться с Приложением ―Операции с векторами‖.

МОДУЛЬ I: ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

1.Механическое движение

1.1.Движение материальной точки

Механика – это раздел физики, изучающий простейший вид движения материи – механическое движение. Механическим движением называют перемещение тел или частей тела относительно друг друга. При описании механических движений каких-либо тел надо указывать, по отношению к каким телам рассматривается это движение, т.е. какое тело мы условно считаем неподвижным. Это тело называют телом отсчета. Для описания движения необходима система отсчѐта, включающая тело отсчѐта, систему координат и систему отсчета времени (часы).

Материальной точкой в физике называют тело, размеры, форма и

внутренняя структура которого в данной задаче несущественны. Положение
y				материальной точки определяется радиус-
				вектором r , проведѐнным из начала ко-
	v	r
				ординат к данной материальной точке.
r0		r			Линию, вдоль которой движется ма-
	s				териальная точка, называют траекторией
	v				движения. При движении материальной
					точки еѐ радиус-вектор меняется в общем
0			x	случае, как по модулю, так и по направле-
				нию. На рисунке 1.1 r0 – радиус-вектор ма-

	териальной точки в начальный момент от-
Рис. 1.1.	счета времени.

6

Вектор перемещения r представляет собой приращение радиусвектора r r r0 и соединяет положения материальной точки в начале и конце наблюдения.

Длину участка траектории s называют пройденным путем. Единицей измерения пути в международной системе единиц СИ является 1 метр (м).

Модуль перемещения всегда меньше или равен пути r ∆s. Знак ра-

венства соответствует только случаю прямолинейного движения в одном направлении. Также равенство выполняется при условии, что рассматриваемый участок траектории бесконечно мал ( dr =ds). Такой участок принято назы-

вать элементарным.

При движении по замкнутой траектории перемещение равно нулю, чего нельзя сказать о пути.

1.1.1. Скорость

Отношение перемещения к промежутку времени, за который оно про-

изошло, называют средним вектором скорости:

v = rt .

В тех задачах, где направление скорости не имеет значения, пользуются скалярной величиной v – средним модулем скорости на данном участке

v st .

Иначе эту скорость называют средней путевой.

Определим вектор скорости v в данный момент времени как предел от-

ношения r при t → 0. Эту скорость называют мгновенной скоростью.

t

Мгновенная скорость равна производной радиус-вектора по времени и характеризует быстроту его изменения с течением времени.

	v lim	r		d r	r .
		t		dt
	t 0

7

Вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Модуль мгновенной скорости:

v

v

dr

.

dt

Учитывая, что для бесконечно малого участка траектории

dr

ds , по-

лучим:

v

ds

s.

dt

v								Интегрируя выражение ds vdt от t1	до
v								t2, найдем длину пути, пройденного точкой за
			ds					промежуток времени t = t2 – t1:
							s
								t2
								s vdt
								t1
		t1				dt		t2 t
				Рис. 1.2.				Если зависимость модуля скорости	от
								времени задать графически (рис. 1.2), то пло-

щадь заштрихованной полоски, соответствет элементарному пути: ds v dt . Вся площадь под кривой v(t) соответствует пути за рассматриваемый промежуток времени t=t2 t1.

1.1.2. Ускорение

Быстроту изменения вектора скорости характеризует физическая величина, называемая ускорением. Среднее ускорение равно отношению изменения вектора скорости v к промежутку времени t, за который оно произошло.

a v .

t

Мгновенным ускорением называют физическую величину равную производной вектора скорости по времени:

8

Учитывая, что v drdt

vА
			v
	d			B
		B
A	d

O

Рис. 1.3.

	a lim	v		dv	v
		t		dt
	t 0

r , получим

a r.

Определим направление и величину мгновенного ускорения материальной точки. Пусть точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.3). Вектор скорости v в любой точке траектории представим в виде: v v , где v – модуль скорости, а – единичный вектор, направленный по касательной к траектории в направлении движения.

По определению a	dv	v	d v	.
	dt		dt

Взяв производную произведения, получим

a ddtv v ddt .

Умножим числитель и знаменатель второго слагаемого на элементарный путь

ds:

dv

ds d

a

v

.

dt

dt ds

Учитывая, что v

ds

, запишем:

dt

dv

d

a

v2

.

dt

ds

Если промежуток времени dt бесконечно мал, то все соответствующие ему точки траектории находятся на дуге окружности радиуса R, сопряженной с траекторией на данном участке. Величину R называют радиусом кривизны, а центр этой окружности – центром кривизны траектории.

Найдѐм разность d двух единичных касательных векторов , расположенных бесконечно близко на траектории. Угол d между ними также бесконечно мал. При этом угол между векторами d и стремится к 90°.

9

Нужно обратить внимание, что на рис. 1.3 это условие нарушено для наглядности чертежа. Из подобия треугольника ОАВ и треугольника, образованного

d

1

векторами

и

d (на рисунке 1.3 он покрыт точками), определим

, а

ds

R

1

вектор

d

, где

– единичный вектор, перпендикулярный вектору ско-

n

n

ds

R

рости и направленный к центру окружности (центру кривизны траектории). В итоге видим, что полное ускорение a выражается формулой

a ddtv v2 R1 n

и состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов: тангенциального ус-

корения

a ddtv

и нормального ускорения

				a v2 n .
				n	R
a				Полное ускорение является суммой этих
a		векторов (рис. 1.4):
an
O					a a an .
Рис. 1.4.				Тангенциальная компонента ускорения
		направлена вдоль траектории движения в на-
правлении скорости v ,	если		dv	0 (скорость увеличивается, рис. 1.5, а) и
			dt

против скорости v , если ddtv 0 (скорость уменьшается, рис. 1.5, б). Проек-

ция вектора тангенциального ускорения a ddtv на направление скорости в

первом случае положительна, а во втором отрицательна.

Нормальная компонента ускорения направлена перпендикулярно касательной к траектории движения в направлении центра кривизны.

10

an v2 . R

Применяя теорему Пифагора, получим модуль полного ускорения:

				dv 2			v2
	2	2
a	a	an
					dt			R

2 .

		a v	a	v
a	n		a	an
		a
		а		б
		Рис. 1.5.
Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту из-
менения скорости по модулю. Если v = const., то			dv 0 и a		= 0.
			dt

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению. В случае прямолинейной траектории

радиус кривизны стремится к бесконечности (R ∞), значит	1	0	и	a 0 .
	R			n
Если материальная точка движется, то ее радиус-вектор r			является

функцией времени. Зависимость радиус-вектора движущейся материальной точки от времени r r (t) называют кинематическим уравнением движения.

Выберем прямоугольную декартову систему координат и запишем радиусвектор в проекциях на оси:

r xi yj zk ,

где x, y, z – координаты материальной точки, равные проекциям радиусвектора на оси координат: x rx , y ry , z rz , а i , j, k – единичные векторы в

направлении координатных осей x, y и z (орты осей). В процессе движения координаты точки меняются, т. е. являются функциями времени. Зная зависимость координат от времени, можно найти положение точки в каждый мо-