34

Теперь рассмотрим случай, когда внешних сил нет. В проекции направление движения ракеты уравнение Мещерского примет вид:

m ddtv dmdt u

или

dv dmm u.

Интегрируя это выражение, получим:

v dv u dmm u lnm C.

Константу интегрирования C определим из начальных условий. Если в начальный момент отсчета времени t = 0 скорость ракеты равна нулю, а масса m m0 , то 0 u ln m0 C и C u ln m0. Тогда

v u ln m0 ulnm; v u ln mm0 .

Это соотношение носит имя российского ученого К.Э. Циолковского и лежит в основе ракетостроения.

1.5. Силовое поле

			Силовое поле – это особая форма материи, свя-
			зывающая частицы вещества в единые системы и
			передающая с конечной скоростью действие одних
r		F	частиц на другие. В дальнейшем силовое поле мы
			будем называть просто полем. Взаимодействия меж-
O
	Рис. 1.19.		ду удалѐнными телами осуществляется через созда-
			ваемые ими поля: гравитационные, электромагнит-

ные. Например, так осуществляется притяжение планет к Солнцу, взаимодействие заряженных частиц и т. д.

35

Силовое поле описывается векторной функцией координат пространства (радиус-вектора). Каждой точке пространства сопоставляется вектор силы, который действовал бы на материальную частицу, помещѐнную в исследуемую точку пространства (рис. 1.19).

1.5.1.Центральное и однородное силовые поля

Вполе центральных сил на материальную точку действуют силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку – центр сил (рис. 1.20). Величина этих сил зависит только от

расстояния r до центра сил: F Fr (r) rr . Здесь r – радиус-вектор, проведѐн-

ный из центра сил в исследуемую точку поля, Fr (r) – проекция силы F на радиус-вектор r , зависящая только от модуля радиус-вектора r. Если материальная точка отталкивается от центра сил, то Fr r 0, так как векторы F и r сонаправлены (рис. 1.20, а). Если материальная точка притягивается к центру сил, то Fr r 0 , так как F и r направлены в противоположные стороны

(рис.1.20, б).

F	F
r	r
a	б

Рис. 1.20.

Примером центрального поля является гравитационное поле Земли, для которого:

F G Mmr2 rr ,

где G – гравитационная постоянная (G = 6,67·10-11 Н м2/кг2), M – масса Земли, m – масса тела, r – расстояние от центра Земли до исследуемой точки поля.

36

Проекция силы F на радиус-вектор r : Fr r G Mmr2 , а модуль силы

F r G Mmr2 .

Количественной мерой поля тяготения является напряженность

E mF

С учетом закона всемирного тяготения E G Mr2 rr , а модуль напряженности

EG Mr2 .

Уповерхности Земли расстояние r от точек поля до центра сил равно

радиусу Земли R, а модуль напряженности E G RM2 . Если не учитывать вра-

щение Земли, сила гравитации равна силе тяжести F mg , тогда

E mgm g ,

т. е. вектор напряженности равен вектору ускорения свободного падения, а модуль ускорения свободного падения у поверхности Земли приближенно ра-

вен g G RM2 . Другим примером поля центральных сил является электроста-

тическое поле точечного заряда.

Упругие силы также являются центральными. Действительно, если один конец пружины закрепить шарнирно в центре сил, а другой конец пружины располагать по различным точкам пространства, то в этом случае

F k r rr , где r величина деформации пружины. В одномерном случае

Fx kx , где k коэффициент жесткости пружины, х – величина деформации пружины (если x > 0, пружина растя-

		нута, если x < 0, пружина сжата).
		В однородном силовом поле на материальную части-
	Рис. 1.21.	цу всюду действует один и тот же вектор силы, т. е. F
		const. Если центр сил центрального поля удален в беско-

нечность, то такое поле приближенно можно считать однородным. Так гравитационное поле Земли у ее поверхности в относительно небольшой области

37

пространства близко к однородному (рис. 1.21). Также приближенно является однородным электрическое поле между пластинами плоского конденсатора.

1.5.2. Энергия. Работа сил поля. Мощность

Существует ряд различных форм движения материи – механическая, тепловая, электромагнитная. Их общей мерой является скалярная физическая величина называемая энергией, а взаимные превращения из одной формы в другую происходят в строго определенных количественных соотношениях. Для анализа качественно различных форм движения вводят разные виды энергии.

В механике простейшими формами движения материи являются перемещение тел в пространстве и силовое взаимодействие между телами системы. Этим формам движения соответствуют кинетическая и потенциальная энергии.

При превращении одной формы движения в другую совершается работа, равная переходу энергии от одного вида к другому. Энергия и работа измеряются в одних и тех же единицах. В системе СИ такой единицей является 1 Джоуль (Дж).

Если тело под действием постоянной силы F перемещается по прямой линии ( r s ), то при этом совершается механическая работа

		F	A Fs cosα F s ,
			где α – угол между направлениями силы и перемещения
	r	F
	Рис. 1.22.		тела (рис. 1.22), F F cos – проекция вектора силы на
			направление перемещения. Величина работы может иметь

разный знак, а также быть равной нулю.

A 0, если cosα = 0 т. е. α = 900 (сила перпендикулярна перемещению);

A 0, если cosα > 0, т. е. α < 900 (угол между силой и перемещением острый);

A 0 , если cosα < 0, т. е. α > 900 (угол α тупой).

Если направления силы и перемещения совпадают, то A Fs .

За единицу работы принимают такую работу, которую совершает сила в 1Н при перемещении тела в направлении действия силы на расстояние 1 м.

A 1 H 1 м 1 Н м 1 Дж .

38

Если составляющая силы F в направлении перемещения во время движения тела не остаѐтся постоянной (т. е. меняется или величина силы, или угол α), то работа А может быть найдена путѐм интегрирования элементарных работ A , совершенных на малых участках пути ds , в пределах которых составляющую силы F можно считать постоянной:

A F ds .

Так как ds dr , то элементарную работу A F dr cos можно записать в

виде скалярного произведения: A F dr . Тогда работа на всем пути будет равна:

F

A F ds

A F ds или A F dr .

Графически работу можно

представить

A

как площадь под кривой F s (рис. 1.23).

12

Скорость совершения работы характери-

зуется

величиной,

называемой

мощностью.

1

ds

2

s

Мощность – это работа, совершаемая в единицу

Рис. 1.23.

времени (за 1 секунду):

N =

dA

,

dt

N

F ds

F v F

v .

5.

dt

Если работа выполняется равномерно, то N At . Так же определяется и

среднее значение мощности N At . В системе СИ мощность измеряется в ваттах N = 11Джс = 1Вт .

1.5.3. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы

39

Силовое поле называют потенциальным, а силы, действующие в нѐм, консервативными, если работа сил поля по перемещению материальной точки не зависит от вида траектории движения, а зависит только от по-

Рис. 1.24. ложений материальной точки в исходном и конечном состояниях. В этом случае работа сил поля по замкну-

той траектории равна нулю (рис. 1.24): F dr 0 .

Все центральные силовые поля являются потенциальными. Действительно, работа сил поля

er

(2)

(2)

(2)

drr

A

F

dr Fr

(r)

r

dr Fr (r)er dr .

M dr

(1)

(1)

r

(1)

r

Вектор

r

e

– единичный вектор,

задающий на-

r

O

r

правление радиус-вектора r

материальной точки М, про-

Рис. 1.25.

веденного из центра силового поля (рис.

1.25). Так как

er dr drr – проекция вектора dr на вектор er или на

2

соответствующий радиус-вектор r , то работа A Fr (r) drr . Полученное вы-

1

ражение зависит только от вида функции Fr (r) , т. е. от характера взаимодействия, и от значений r1 и r2 – начального и конечного положений точки М.

К потенциальным полям относятся гравитационное поле Земли, поле точечного заряда, поле упругих сил. Соответственно гравитационные, кулоновские и упругие силы являются консервативными.

Силы, работа которых зависит от траектории движения, неконсервативны. Если действие таких сил приводит к переходу энергии из механической в немеханические формы, то эти силы называют диссипативными. К ним относятся силы трения скольжения и сопротивления среды.

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. При отсутствии смазки между поверхностями тел спра-

ведлив закон сухого трения: сила трения скольжения не зависит от площади трущихся поверхностей и пропорциональна силе нормального давления:

Fтр Fn ,