101

МОДУЛЬ II: КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

2. Механические колебания

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), повторяющиеся во времени. Колебательные процессы могут иметь различную природу. Различают механические, электромагнитные, тепловые и другие колебания.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой. Свободными (собственными) называют колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему.

Колебания называют периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при еѐ колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Этот повторяющийся процесс называют полным колебанием. Время одного полного колебания называется периодом колебания

T Nt ,

N число полных колебаний, совершенных за время t. Частотой колебаний называется величина

Nt ,

равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени. Видно, что

T 1 , T1 ,

т. е. период и частота колебаний выражаются взаимно обратными числами. Циклической или круговой частотой периодических колебаний называ-

ется величина

2 2T .

2.1.Гармонические колебания

2.1.1.Характеристики и график гармонических колебаний

Периодические колебания называют гармоническими, если они подчиняются закону косинуса или синуса. Допустим, материальная точка соверша-

102

ет гармонические колебания вдоль оси x около положения равновесия, принятого за начало координатной оси. Зависимость координаты x от времени t имеет вид:

x

A

0

T

x

2

Рис. 2.1.

x Acos( t ) или x Asin( t ) ,

где A амплитуда колебаний. Амплитудой колебаний называют максимальное значение колеблющейся величины.

t Значение колеблющейся величины в произвольный момент времени t определяется значением фазы колебаний величины, стоящей под знаком

косинуса или синуса

t .

Величина представляет собой начальную фазу колебаний.

График гармонического колебания в зависимости от времени t и от фазы φ показан на рис 2.1.

2.1.2. Метод векторных диаграмм (вращающихся амплитуд)

Гармонические колебания можно представить в виде проекции на горизонтальную ось x или вертикальную ось y вращающегося вектора A , модуль которого равен амплитуде A рассматриваемых колебаний (рис. 2.2). В начальный момент времени угол, который вектор A составляет с осью x, ра-

						y
A						t	A
		t 0
								x
		x				x Acos( t )

Рис. 2.2.

вен начальной фазе колебаний α. Вращение вектора A происходит по закону изменения фазы колебаний t с угловой скоростью равной цикличе-

103

ской частоте колебаний . Проекция вектора на горизонтальную ось x изменяется по закону косинуса x Acos( t ) , а на вертикальную ось y по закону синуса y Asin( t ) .

2.1.3. Сложение колебаний

Если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах, то возникает результирующее движение или колебание, называемое суммой этих колебаний. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

2.1.3.1. Сложение колебаний одного направления. Биения

Рассмотрим результирующее колебание шара 1, который колеблется относительно шара 2 на пружине а и вместе с ша-

бром 2 колеблется на пружине б в одном и том же направлении

2		вдоль вертикальной оси (рис. 2.3). Допустим, что колебания
	а	происходят с одинаковой частотой по законам:
1			x1 A1 cos( t 1),
х			x2 A2 cos( t 2 ),
Рис. 2.3.		где A1	– амплитуда первого колебания, 1	– начальная фаза пер-
вого колебания, A2			– амплитуда второго колебания, 2	– начальная фаза вто-
рого колебания.
	Сложим эти колебания, воспользовавшись методом векторных диа-
грамм. Проведем векторы A1 и A2 под углами 1 и 2				к горизонтальной оси

(рис. 2.4). Так как эти векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью , то их взаимное расположение не изменяется. Значит, не изменяется и угол между векторами, соответственно разность фаз колебаний 2 1 остается постоянной. Результирующее колебание x x1 x2 можно представить как

сумму проекций векторов A1 и A2 на ось х или как проекцию результирую-

щего вектора A A1 A2 . То есть

x Acos( t ) ,

104

где A –

амплитуда результирующего колебания, равная модулю результи-

рующего вектора A ,

– начальная фаза результирующего колебания равная

углу, под которым расположен этот вектор к горизонтальной оси x в началь-

ный момент времени.

Результирующую амплитуду находим по теореме косинусов из тре-

угольника, образованного векторами A1 ,

A2

и A (рис. 2.4):

A2 A2

A2

2A A cos(

2

) .

(2.1)

1

2

1

2

1

Начальную фазу результирующего колебания можно выразить через

тангенс угла, образуемого вектором A с осью x :

tg A1 sin 1

A2 sin 2 .

A cos

A cos

2

1

1

2

у

A

A2 sin 2

A2

sin

2 1

А

A1

2

A1 sin 1

A1 cos 1

A2 cos 2

1

Acos

х

Рис. 2.4.

Проанализируем выражение (2.1) в зависимости от разности фаз скла-

дываемых колебаний 2 1 :

Если 2 1 2m (где m 0,1, 2,

), то cos( 2

1) 1, и амплитуда ре-

зультирующего колебания принимает максимальное значение A A1 A2 .

Если

2 1 (2m 1)

(где m 0,1, 2,

),

то

cos( 2 1) 1,

и

амплитуда результирующего колебания принимает минимальное значение

A A1 A2 .

105

A3				Если необходимо сложить не два, а несколько
				колебаний, то в этом случае пользуются графиче-
	3
				ским построением, выполненным	по масштабу
A	A2			(рис. 2.5). Измеряя модуль результирующего векто-
		2		ра A в масштабных единицах, определяют ампли-
	A1
1			x	туду результирующего колебания, а измеряя угол
				, находят начальную фазу этого колебания.
Рис. 2.5.				Рассмотрим случай, когда два складываемых
				колебания одного направления мало отличаются по
частоте: пусть 1		больше, чем 2 на величину . В процессе вращения
вектор A1	постепенно догоняет вектор A2 и, когда вектор A1				станет направ-

ленным в ту же сторону, что и вектор A2 , результирующее колебание достигнет максимальной амплитуды A A1 A2 . При этом разность фаз 2 1 0 .

Далее разность фаз начнет увеличиваться, и, когда вектор A1 станет направ-

лен противоположно вектору A2 , результирующее колебание достигнет минимальной амплитуды A A1 A2 . При этом разность фаз 2 1 . В ре-

зультате получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

Периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы и равны A , а их частоты равны соответственно и . Начало отсчета вре-

мени выберем так, чтобы начальные фазы колебаний были равны нулю. Запишем уравнения этих колебаний и сложим их:

x1 Acos( )tx2 Acos t

x A cos( )t cos t .

Применяя формулу для суммы косинусов

cos cos 2cos cos , 2 2

получим x 2Acos 2 t cos( 2 )t , а, с учетом того, что ,

106

x 2Acos 2 t cos t .

Задавая значения , и амплитуды A , построим график зависимости x от времени t (рис. 2.6). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой , амплитуда которого Аб медленно изменяется по закону

Aб 2A cos 2 t ,

Рис. 2.6.

т. е. возникают колебания, модулированные по амплитуде. Период изменения амплитуды результирующего колебания называется периодом биений Tб , он

равен

Tб 2 .

2.1.3.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим маятник, который может совершать колебания одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Для характеристики его положения нужно задать две величины, например, координаты x и y :

x Acos t ,	(2.2)
y Bcos( t ) .	(2.3)

Такими уравнениями описывается движение тела, закрепленного на двух парах одинаковых пружин или движение математического маятника

107

(рис. 2.7). Движение таких маятников представляет собой сумму колебаний в направлениях x и y. Чтобы получить уравнение траектории маятника, нужно исключить из уравнений (2.2) и (2.3) параметр t . Из (2.2) следует, что

Рис. 2.7.

cos t

x

,

(2.4)

A

а так как sin t 1 cos2 t , то

2

sin t

1

x

.

(2.5)

2

A

Применим тригонометрическую формулу косинуса суммы для уравне-

ния (2.3): cos t cos sin sin t

y

. Учитывая (2.4) и (2.5), получим:

B

2

x

cos sin

1

x

y

.

2

B

A

A

x

cos

y

sin

1

x2

Сделав переносы

и возведя обе части

A2

A

B

уравнения в квадрат, придем к следующему выражению

2

2

2

x

cos2 2

x

y

cos

y

sin2

x

sin2

.

2

2

2

A

A B

B

A

x2

После преобразований переноса и выноса за скобки дроби A2 , запишем

108

x	2	sin2 cos2 2	x		y		y	2
						cos			sin2	.
	2		A		B		B	2
A

Учитывая, что sin2 cos2 1, получим

2

2

x

y

2

x

y

cos sin2

.

(2.6)

2

2

A

A

B

B

Из аналитической геометрии известно, что это уравнение эллипса. Зна-

чит, тело будет двигаться по эллиптической траектории.

Рассмотрим частные случаи:

1) Разность фаз складываемых

колебаний

равна

нулю,

тогда

sin 0, cos 1, и уравнение (2.6) принимает вид

x

y 2

0 или

y

B

x

A

B

A

. Получилось уравнение прямой линии. Тело, перемещаясь по этой прямой (рис. 2.8 а), совершает результирующее гармоническое колебание в первом и

третьем координатных углах по закону r										A2 B2 cost , где r расстоя-
ние от тела до начала координат,				A2 B2 амплитуда этого колебания.
2)	Разность фаз складываемых колебаний , тогда sin 0, cos 1
, и уравнение (2.6) принимает вид					x		y 2		0 . Получилось уравнение пря-
					A		B
мой	y	B	x . Тело, перемещаясь по этой прямой, совершает результирую-
		A

y		y
B	r	B
	A x	r	A x
a		б

Рис. 2.8.

щее гармоническое колебание во втором и четвертом координатных углах по закону r A2 B2 cost (рис. 2.8 б).