74

Произведение массы частицы на скорость ее движения есть импульс

этой частицы,	тогда после сокращения		на	c2 уравнение примет вид
W 2 p2c2 W 2	или, с учетом того, что W 2	m2c4		,
0	0		0

W p2c2 m02c4 c p2 m02c2 .

1.8.Динамика твердого тела

					1.8.1. Момент силы
		Вектором момента силы относительно произвольной точки О называют
					векторное произведение радиус-вектора
					r	на вектор силы F , где радиус-вектор
			F		r	проведѐн из точки О к точке прило-
	h	r
					жения силы (рис. 1.44):
O		M
						M r , F .
		Рис. 1.44.
		Направление вектора			определяется по правилу буравчика (правого
				M

винта). Векторы r , F и M образуют правовинтовую систему: рукояткой буравчика служит вектор r , конец рукоятки надо вращать в направлении вектора F , тогда поступательное движение буравчика укажет направление вектора M (см. рис. 1.45). Условимся вектор, направленный за плоскость чертежа обозначать символом , а направленный к нам символом . Так, на рис.

		1.44	вектор M направлен от нас, что показано
r		знаком .
		M	Модуль момента силы
F	O
			M Fr sin ,
	Рис. 1.45.	где	α – угол между векторами r	и F . Произве-
		дение r sin h есть плечо силы		– кратчайшее

расстояние от точки О до линии действия силы (см. рис. 1.44). Тогда модуль момента силы

75

M Fh .

За единицу момента силы принимают момент, созданный силой в 1 Н с плечом равным 1 м: [M ] 1Н м .

Разложим вектор силы F на две составляющих: радиальную Fr и тангенциальную F . Как видно из рис. 1.46, F sin F , тогда модуль момента силы

		M F r .
		Fr	F
h	r	F
O		M

Рис. 1.46.

Момент силы, взятый относительно точки, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой точки. Если сила направлена вдоль радиус-вектора, ее плечо равно нулю. Такая сила не может вызывать поворот тела вокруг точки О. Этот поворот вызывается только тангенциальной (касательной) компонентой силы F , направленной перпендикулярно радиусвектору.

Результирующий момент сил взаимодействия тел всегда равен нулю. Действительно, для двух взаимодействующих материальных точек согласно третьему закону Ньютона f12 f21 , т. е. силы равны по величине, противоположно направлены и расположены на прямой, соединяющей взаимодействующие точки. Моменты этих сил относительно произвольной точки О будут

f12	f	21

h r1 r2

O

Рис. 1.47.

76

равны по модулю, так как эти силы обладают одним и тем же плечом h (рис. 1.47), и противоположно направлены: M12 M21 , M M12 M21 0 .

Рассмотрим произвольное тело, имеющее ось вращения z, которая закреплена в подшипниках (рис. 1.48). На это тело действует сила F , которую

	F	M
	F	r
	R
	F
		O M z

		Рис. 1.48.
можно разложить на	три	взаимно	перпендикулярные составляющие
F F F F . Силы F и F		не вызывают вращения тела, а вызывают де-
формацию оси в подшипниках. Сила F			создаѐт вращающий момент.
Вектор момента силы F		относительно произвольной точки О, взятой
на оси вращения, равен
	M r , F , r – радиус-вектор, проведенный из точки
О в точку приложения силы.		Модуль этого момента M F r (угол между

векторами r и F равен 90°, sin90 1). Найдѐм проекцию вектора M на ось вращения z (см рис. 1.48): M z M sin F r sin . Из заштрихованного треугольника видно, что r sin R , где R – кратчайшее расстояние от точки приложения силы до оси вращения (радиус вращения точки приложения си-

лы). Таким образом, момент силы относительно оси вращения равен:

M z F R

и не зависит от выбора точки О. Этот момент тем больше, чем больше расстояние от точки приложения силы до оси вращения. Мы наблюдаем это, когда пользуемся отверткой, обычным дверным ключом. Дверь также гораздо легче открыть, нажимая на нее около ручки, а не около петель.

Если сила F по отношению к оси z создаѐт правовинтовое вращение, то момент этой силы принимает положительное значение M z 0, при левовинтовом вращении M z 0 .

77

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент относительно оси вращения z равен алгебраической сумме моментов всех сил:

n

M z Fi, Ri с учетом направлений вращения, создаваемых этими силами.

i 1

Момент силы, взятый относительно оси, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой оси. Моменты сил F и F относи-

тельно точки О (рис.1.48) не равны нулю, однако проекции этих моментов на ось вращения z имеют нулевое значение. Такие силы не могут вызвать поворот тела относительно данной оси.

1.8.2. Момент пары сил

Парой сил называют две равные по величине противоположные по направлению силы, не лежащие на одной прямой.

Пусть на плоскую пластинку (на рис.1.49 она находится в горизонтальной плоскости) в точках 1 и 2 действует пара сил F2 F1 . Возьмѐм произ-

вольно

точку О и найдѐм сумму моментов

этих

сил

относительно

нее:

, F2

Учитывая, что F2 F1 ,

получим

M r1

, F1

r2

.

M r1

, F1 r2 , F1

или

Вектор r1 r2

–

M (r1

r2 ), F1 .

M

F2

это вектор, проведѐнный от точки прило-

жения силы F2

к точке приложения силы

h

1

2

F , тогда M

, F

.

Как видим,

момент

F1

1

1

пары сил не зависит от выбора точки О.

r1

r2

По правилу буравчика вектор M направ-

лен вертикально вверх, а модуль момента

O

пары

сил

M F1 sin .

Обозначим

sin a h –

плечо

пары сил

(кратчайшее

Рис. 1.49.

расстояние между линиями действия сил).

Учтем, что F1 F2 F , и получим величину

момента пары сил: M Fh .