71
ux	ux v		.
		2
	1 vux / c

Для проекции скорости на ось y имеем:

u

dy

dy

. После

dt

v

y

(dt

dy )

c2

деления числителя и знаменателя на dt выражение принимает вид:

uy

uy

1 v2 / c2

.

2

1 vux / c

Аналогично получим выражение для проекции скорости на ось z :

		1 v		2			2
	uz				/ c
u								.
z						2
	1	vux		/ c

1.7.7.Релятивистская масса

Врелятивистской механике, как и в ньютоновой, импульс p матери-

альной точки пропорционален еѐ массе и совпадает по направлению со скоростью v этой точки. Однако, в отличие от классической механики, импульс материальной точки является нелинейной функцией еѐ скорости

p			m0v		.
			v2 / c2
1

Такой импульс называют релятивистским импульсом. Величину

m			m0
			v2	/ c2
1

называют релятивистской массой, а m0 массой покоя материальной точки.

В той системе отсчета, где материальная точка неподвижна, ее масса равна m0.

72

1.7.8. Основной закон релятивисткой механики

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на эту точку, т. е.

dp	F	или	d			m v		F .
					0
dt			dt
					1 v2 / c2

Ускорение, сообщаемое материальной точке этой силой:

dv

1

v

2

2

a

F

(F v)

1 v

/ c

.

dt

m0

c

2

Следовательно, ускорение материальной точки, вообще говоря, не совпадает по направлению с силой, вызывающей это ускорение.

Вектор a коллинеарен силе F только в двух случаях:

сила направлена перпендикулярно скорости точки (поперечная сила), так что (F v) 0 , и

		F
	a		1 v2 / c2 ;
		m0

сила направлена параллельно скорости точки (продольная сила), так что

v(F v) v2 F , и

a F (1 v2 / c2 )3/2 .

m0

1.7.9. Связь массы, импульса и энергии в релятивистской механике

Приращение кинетической энергии Wk материальной точки равно работе равнодействующей силы F :

dWk Fds dp ds d (mv) vdt vd (mv). dt dt

73

	Возведѐм обе части равенства m			m0		в квадрат и умножим на
			1 v2 / c2
	знаменатель. Получим m2 (mv)2 / c2 m2		. Теперь умножим обе части равен-
	0

ства на с2. Получим: m2c2 (mv)2 m2c2 . Продифференцировав это равенство
0
и проведя сокращения, придем к 2c2mdm 2mvd (mv) 0,						и vd (mv) c2dm .
Тогда dW c2dm. Отсюда следует, что
к
m
Wк c2dm mc2 m0c2
m0
			или
		1
Wк m0c2					1
		1 v2 / c2
Величину W mc2 называют		полной			энергией тела, а величину

W0 m0c2 – энергией покоя тела. Кинетическая энергия тела равна разности этих двух энергий:

Wк W W0 .

Значения m0 и W0 не зависят от выбора инерциальной системы отсчѐта. Для элементарной частицы они являются неизменными характеристиками. Масса и энергия покоя системы частиц зависят от состава системы и от еѐ внутреннего состояния.

Выразим полную энергию частицы через еѐ импульс:

		W		m c2				W	.
			0				0
			1 v2 / c2				1 v2 / c2
Возведем обе части этого равенства в квадрат и освободимся от знаме-
нателя. Получим:		W 2 W 2 v2	W 2		. Учитывая, что					W mc2 , получим
		c2	0
W 2 m2c4 v2	W 2 .
c2	0