89
	J xx		0	0
ˆ		0	J yy	0
J					.
		0	0
				J zz

Момент импульса в этом случае L Jxx xi J yy y j Jzz z k .

При вращении тела вокруг главной оси векторы момента импульса и угловой скорости совпадают по направлению.

1.8.7. Работа, совершаемая при вращательном движении

Рассмотрим произвольное тело, которое совершает вращательное дви-

			z			жение под действием тангенциальной силы F (рис.1.64).
						При повороте на некоторый угол d совершается работа
			r		d ds	dA F ds , где ds rd . Тогда dA F rd . Учитывая, что
						F r M z есть момент силы относительно оси z , получим:
		F				dA M z d .

Рис. 1.64

выражение:

Для нахождения полной работы проинтегрируем это

2

A M z d . Если Mz = const., то в этом случае A M z .

1

1.8.8. Кинетическая энергия вращающегося тела

Разобьем мысленно вращающееся твѐрдое тело на систему материаль-

ных точек. Кинетическая энергия каждой материальной точки dWк dm2 v2 .

Учитывая, что v r , получим dW						dm r2 2					. Тогда кинетическая энергия
			к				2
вращающегося тела W		dW	2		r2dm			(угловая скорость постоянна для
			2
к		к
всех материальных точек		тела и		вынесена за знак интеграла). Интеграл
r2dm I есть момент инерции этого тела относительно оси z , т. е.
				W			I		2	.
						k		2

90

Умножив числитель и знаменатель на момент инерции I , и, учитывая, что I L получим:

Wк L2 .

2I

Если тело катится, то оно участвует в двух движениях: поступательном (скорость этого движения равна скорости центра масс) и во вращательном движении вокруг оси, проходящей через этот центр масс. Кинетическая энергия катящегося тела

mv2 I 2

Wк 2C 02 .

Здесь vC – линейная скорость центра масс, I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

1.8.9. Основной закон динамики вращательного движения

Тангенциальная сила F , совершая работу dA = Mzdφ, увеличивает кинетическую энергию вращающегося тела на dWk :

M z d dWk .

Возьмѐм дифференциал кинетической энергии вращения W	I 2
		:
k	2

dWk I d . Получим: M z d I d . Разделим обе части этого равенства на

промежуток времени dt . Тогда M		d	I	d	. Учитывая, что	d	есть мо-
	z
		dt		dt		dt

дуль угловой скорости ω, после сокращений получим:

M z I ,

где ddt – проекция вектора углового ускорения на ось z.

Полученная формула представляет собой основной закон динамики вращательного движения. Векторное равенство

M I

z

M

F

Рис. 1.65.

91

справедливо в случае, когда вектор момента силы направлен вдоль оси вращения (рис. 1.65). Для вращательного движения этот закон играет роль второго закона Ньютона F ma .

Отсюда вытекает физический смысл момента инерции тела относительно оси вращения. Если на два тела, обладающих разными моментами инерции, подействовать одним и тем же моментом силы, то тело, обладающее большим моментом инерции, получит меньшее уг-

ловое ускорение. Момент инерции есть мера инертности тела для вращательного движения.

1.8.10.Уравнение моментов

Вцентральном поле тяготения многие тела (планеты, спутники) движутся по замкнутым траекториям – орбитам. Законом динамики орбитального движения тела является второй закон Ньютона

F ddtp .

Выберем некоторую точку О. Умножим векторно обе части этого равенства слева на радиус-вектор r , проведенный из точки O к центру масс тела

d p

r ,

.

(1.10)

r ,

F

dt

Орбитальный момент импульса тела L r ,

p . Возьмем производную

dL

d r

d p

по времени обеих частей этого равенства:

, p

r ,

. Вектор

dt

dt

dt

d r

равен скорости движения центра масс тела и совпадает по направлению с

dt

d r

вектором импульса тела p , поэтому

, p 0 , и, следовательно

dt

dL

d p

r ,

.

(1.11)

dt

dt

92
Сравнивая (1.10) и (1.11) и учитывая, что					есть момент равно-
			r ,	F
действующей силы относительно точки O , получим
M	dL	.			(1.12)
	dt

Момент равнодействующей силы относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета равен производной по времени орбитального момента импульса тела относительно той же точки O .

Если тело одновременно участвует и в поступательном, и во вращательном движениях, то необходимо учитывать как орбитальный, так и собственный момент импульса тела. Полный момент импульса тела равен векторной сумме этих моментов L Lорб Lсоб , а закон динамики имеет вид (1.12),

где M – результирующий момент всех сил, действующих на тело, L – полный момент импульса тела.

1.8.11.Закон сохранения момента импульса

Пусть имеется система n тел, взаимодействующих только друг с другом. Внешние силы либо отсутствуют, либо сумма моментов этих сил равна нулю. Под действием этих сил тела могут участвовать как в поступательном, так и во вращательном движении.

Запишем для каждого тела уравнение динамики (уравнение моментов):

M1,2 M1,3		M1,n			dL1
						dt
M 2,1 M 2,3		M 2,n				dL2
							dt .
M n,1 M n,2		M n,n 1					dLn
							dt

Сложим левые и правые части этих уравнений. В левой части сумма моментов сил взаимодействия согласно п. 1.8.1 равна нулю. В правой части

сумма производных равна производной суммы. Тогда	d (L1 L2	Ln )	0 ,
	dt
и