Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Определение 5. Две системы называются эквивалентными

(равносильными), если они имеют одно и то же множество решений.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Определение 6. Система линейных уравнений называется

однородной, если все свободные члены равны нулю:

a x a

x

a

x

a

x

0,

1 1 1

1 2

2

1k

k

1n

n

,

a x a x

2

a x a x

n

0.

ij 1

ij

ik 1

in

Однородная

система

всегда

совместна,

так

как

x1 x2 … xn 0

является

решением

системы.

Это решение

называется нулевым или тривиальным.

1.3.2 Теорема Кронекера-Капелли

Обозначим через А основную матрицу системы (1), которая

~

составлена из коэффициентов при неизвестных, а через A —

расширенную матрицу этой системы, которая получена путем дополнения матрицы А столбцом свободных членов, т.е.

a

a

a

a

a

a

b

11

12

1n

11

12

1n

1

a a

a

a

a

a

b

A

21

22

2n

;

A

21

22

2n

2

.

~

am1

am2

amn

am1

am2

amn

bm

22

Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений (1)

совместная тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равняется рангу расширенной матрицы

~

r( A) r( A) .

Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений: 1) Найти ранги основной и расширенной матриц системы, если

r( A) r( A) , то система несовместна;

2) Если r( A) r( A) , система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений,

из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений;

3) Найти выражения главных неизвестных через свободные.

Получено общее решение системы.

4) Придавая свободным неизвестным произвольные значения,

получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример 1. Исследовать на совместность систему

23

																	x y 1,
														3x 3y 2.
Решение.							1		1				,		r(A) 1 .
					A
								3
									3
					1 1			1
																													1 1
		A											,		r( A) 2																		0 .
									2																				3 2
					3 3
Таким					образом,									r( A) r( A) ,													следовательно,									система
несовместна.
Пример 2. Решить систему
								x 2x									x x									1,
											1					2			3					4
								x1 2x2									x3						x4 1,
								x 2x								2	x 3x							4		3.
											1								3
Решение. r( A) r( A) 2 . Берем два первых уравнения:
	x 2x						x x							1,					;			x x						1 x 2x							,
		1				2		3				4											3				4					1		2
	x1 2x2 x3 x4 1																					x3 x4 1 x1 2x2 .
					1		2 0 ;								1					1 x1 2x									1		2x1			4x2		;
			1
			1		1															1 x1 2x									1
																	1 x1 2x									2 .
														1
									2					1			1 x1						2x
Следовательно,									x3 x1 2x2 ,															x4 1					–				общее			решение.
Положив,	например							x1 0,								x2			0 ,				получаем									одно из				частных
решений:	x1 0,					x2 0,						x3 0,								x4 1 .

24

1.3.3 Матричный способ решения системы

Рассмотрим решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.

Используя правила умножения матриц, данную систему уравнений можно записать в виде АХ = В , где

a	a	a		x1		b1
1 1	1 2	1 3
A a2 1 a2 2
		a2 3		, X x2		, B b2	.
	a3 2			x3		b3
a3 1		a3 3

Пусть матрица А невырожденная, т.е. | A | 0 . Умножая обе части матричного уравнения слева на матрицу A 1 , получим обратную матрицы А: A 1 AX A 1B

Учитывая, что A 1 A E , имеем X A 1B .

Пример 1. Решить систему уравнений матричным способом:

2x			4 y
	x		2 y
	3x		y

	3z		1;
	4z		3;
	5z		2.

Решение. Обозначим матрицы:
	2	4	3
A	1	2	4 – коэффициенты при неизвестных;
	3	1
			5
x			1
X y		– столбец неизвестных; B 3			– столбец свободных
				2
z

членов.

Тогда систему можно записать матричным способом: АХ = В ,

где X A 1B . Найдем обратную матрицу A 1 . 25

а) вычислим определитель матрицы:

		4	3
	2
| A |	1	2	4	25;
	3	1	5

б) найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

			4				1 4					1 2
A		2		6 ;	A				7 ;	A				5;
11		1	5		12		3	5		13		3	1

																												4
A			4	3			17 ;		A				2			3	1;							A			2			10 ;
21			1	5					22				3			5								23			3	1
				3											2		3										2	4
A		4				10;			A									5;						A					0.
31		2		4					32						1	4								33			1	2
		Тогда обратная матрица имеет вид
																6			17			10
									A 1		1
																7				1 5 ,
												25
																5			10				0
		итак,
								6	17	10 1												6 1 17 3 10 2
				1																1
		X						7	1			5				3						7	1	1 3 ( 5) 2
				25																25
								5	10														1 ( 10) 3 0 2
												0				2						5
																25				1
												1
																	0					0 .
												25
															25							1
		Откуда:
									x					1					x 1;
									y							0 y 0;
																			z 1.
									z							1

26

1.3.4 Правило Крамера

Если основной определитель матрицы А неоднородной

системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными не равняется нулю, то эта система имеет единственное решение, которое находится по формуле

x	xk	,	k 1, 2, , n ,
k	(A)

где xk — вспомогательный определитель, который получается из основного определителя ( A) путем замены его k-го столбца столбцом свободных членов системы.

Рассмотрим решение системы трех линейных уравнений из тремя неизвестными методом Крамера:

a x a						x		a	x b ,
	11	1		12			2	13		3	1
a21x1 a22x2 a23x3 b2 ,
a x a						x	2	a x b .
	31	1		32				33		3	3
Для нахождения x1 ,		x2 ,	x3			применим формулы Крамера:
x x1		,	x	2	x2 ,					x x3			,
1											3
где – определитель					системы,						элементы которого есть

коэффициенты при неизвестных:

a11 a12 a1 3

a21 a22 a23 . a3 1 a3 2 a3 3

x1 получен путем замены первого столбца определителя столбцом свободных членов:

27

b1

a12

a1 3

a11 b1

a13

a11

a1 2

b1

x1

b2

a22

a23

.

x2

a21

b2

a2 3

;

x3

a21

a22

b2

.

b3

a32

a33

a3 1

b3

a33

a3 1

a32

b3

Пример 2. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

				x1		2x2					x3	4,
						5x2					3x3	1,
				3x1
						7x2					x3	8.
				2x1
Решение.			а)	Вычисляем							определитель матрицы системы,
раскладывая его по первой строке
			1	2		1
			3 5			3		1 ( 16) 2 ( 9) 1 31 33.
			2	7	1
Так как	33 0 не равняется нулю, то система уравнений
имеет единственное решение.
б) Вычисляем определители
				2		1
			4
х1			1	5				3		4 ( 16) 2 25 1 47 33,
			8	7		1
				4		1
			1
х2			3	1		3		1 ( 25) 4 ( 9) 1 22 33,
			2	8	1
				2		4
			1
х3			3	5				1		1 ( 47) 2 22 4 31 33.
			2	7		8

в) По формулам Крамера находим решение системы уравнений

х х1			33	1;	х		х2		33	1;	х х3			33	1.
						2
1		33						33			3		33

28

1.3.5 Метод Гаусса

Основная идея метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Объясним содержание этого метода на системе трех уравнений из тремя неизвестными:

a		x a	y a		z a		;	(1)
	11	12		13		14
a21x a22 y a23z a24;								(2)
								(3)
a31x a32 y a33z a34.
Допустим, что		a11 0		(если		a11 0 ,		то изменим порядок

уравнений, выбрав первым уравнением то, в котором коэффициент при х не равняется нулю).

Первый шаг:

а) делим уравнение (1) на a1 1 ;

б) множим полученное уравнение на a21 и отнимаем с (2);

в) потом множим на a31 и отнимаем с (3).

В результате первого шага будем иметь систему:

причем bij aij

a11

x b12 y		b13z		b14;
	b22 y		b23z		b24;
	b32 y		b33z		b34.

( j 2; 3; 4) ; bij aij ai1b1 j

(4)

(5)

(6)

(i 2; 3; j 2; 3; 4) .

Второй шаг: поступаем с уравнениями (5) и (6) точно так же,

как с уравнениями (1), (2), (3).

В итоге исходная система приводится к ступенчатому виду:

x

b12 y		b13z b14;
y		c23z		c24;
		z		d34.

29

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без проблем.

Замечание. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Пример 3. Решить методом Гаусса систему:

			2x 4 y 3z 1;
				x				2 y		4z			3;
								y		5z			2.
			3x
	Решение. Переход от одной матрицы к другой будем
записывать с помощью знака эквивалентности ~:
	2 4 3		1		1 2 4						3			1 2				4		3
	1 2 4		2 ~		2 4 3						1		~	0 0 5						5 ~
	3 1 5				3 1 5						2			0 5 7						7
			3
																	3
			1 2	4			3				1 2			4
														7			7
	~	0 5		7			7		~	0			1					.
		0 0		5						0			0	5		5
							5							1			1

По полученной матрице выписываем преобразованную систему:

	x		2 y				4z				3;
				y			7	z			7	;
							5				5
								z
											1.
Тогда: z 1 ;	y	7		7		0 ; x 3 4 1 .
		5		5

Если система имеет единое решение, то ступенчатая система приводится к треугольной, т.е. к такой, в которой последнее уравнение будет содержать одно неизвестное. В случае неопределенной системы,

т.е. такой, в которой число неизвестных больше числа линейно

30

независимых уравнений, треугольной системы не будет, так как последнее уравнение будет содержать больше одного неизвестного

(система имеет бесчисленное множество решений).

Если система несовместна, то, после приведения ее к ступенчатому виду, она будет содержать хотя бы одно уравнение вида

0 1, т.е. уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэф-

фициенты, а правая часть отлична от нуля (система решений не имеет).

Метод Гаусса применим к произвольной системе линейных уравнений (при любых m и n).

1.3.6 Решение систем однородных уравнений

Вопрос о существовании решения однородной системы

линейных уравнений

a x a					x		a x			0,
11		1	1 2			2		1n n
a21x1 a2 2 x2								a2n xn 0,				(1)
,
a	m1	x a		m2		x	2	a	x		0,
		1							mn n

решает следующая теорема:

Теорема 1. Однородная система имеет ненулевое решение

тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее

неизвестных.

Из этой теоремы вытекают два важных следствия.

1.Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение.

2.Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда,

когда определитель матрицы системы равен нулю.

31