Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

5)Определитель, у которого соответствующие элементы двух любых строк (столбцов) пропорциональные, равен нулю.

6)Если в определителе элементы i-й строки (k-го столбца)

являются суммой двух слагаемых, тогда он равняется сумме двух соответствующих определителей;

7) Определитель не изменится, если ко всем элементам любой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы

другой строки (столбца), умноженные на любое число.
						2
					1
Пример 1.	Вычислить определитель второго порядка						.
					3	4
Решение.		2		1 4 2 3 2 .
	1
	3	4

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка, разложив по элементами первой строки:

5 3 2

1 2 4 .

7 3 6

Решение. Разложив определитель по элементам 1-й строки,

получим

5	3	2					1			1 2
1 2 4			5	2 4		3		4	2
				3	6		7	6		7	3
7	3	6

5 0 3( 34) 2( 17) 68 .

12

Пример 3. Вычислить определитель по правилу

«треугольников»

												1		2	3
													0	1	2	.
												3		2	1
Решение.
		1 2		3
		0	1	2		111 0 2 3 2 2 ( 3) (( 3) 1 3
		3	2	1
			2 2 ( 1) 0 2 1) 112 9 4 0 .
Пример 4.				Решить уравнение:
											x			x			2		6.
								3
								x			1			x			1
Решение.
			x	x			2			6 ;			(3 x)(x 1) (x 1)(x 2) 6 ;
	3
	x		1	x			1
				3x 3 x2 x x2 2x x 2 6 ;
				2x2 x 11 0 ; x 2; x 3 / 2.
														1			2
Пример 5.				Вычислить определитель четвертого порядка
													3	4	5
											6
											2		1	2	3
																	.
											3		3	1	2
											1		2	3	1

13

Решение. Разложим определитель по элементам первой строки

6	3	4	5
					1	2	3		2	2	3		2	1	3		2	1	2
2	1 2		3	6	3 1		2	3	3	1	2	4	3	3	2	5	3	3	1
3	3	1	2
					2	3	1		1	3	1		1	2	1		1	2	3
1	2	3	1

6 18 3 12 4 6 5 12 108 36 24 60 36.

1.2Матрицы и действия над ними

Определение 1. Матрицей А размера m n называется

прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, которая состоит из

чисел или других математических выражений aij (которые
называются элементами матрицы), i 1, 2, , m ,									j 1, 2, , n .
	a			a		a
		11		12			1n
	a		21	a	22	a
A							2n
				am2
	am1					amn

Если количество строк m одинаково с		количеством столбцов
n , то такая матрица называется квадратной порядка п,				при m n
матрица называется прямоугольной.
Элементы a11, a22, , ann	квадратной	матрицы		образуют
главную диагональ матрицы,	а элементы		a1n , , an1 –

вспомогательную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единице, а другие - нулю, называется единичной.

14

Определение 2. Рангом матрицы называют наибольший

порядок ее миноров, отличных от нуля.

Ранг матрицы обозначают r( A) или rA или просто r . Ранг

матрицы можно находить методом элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называют такие

действия:

1)перестановка строк (столбцов) матрицы;

2)умножение всех элементов строки (столбца) на число 0 ;

3)прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Все эти преобразования не изменяют ранг матрицы, но с их помощью матрицу сводят к матрице, у которой ниже главной диагонали все элементы – нули. Тогда ранг матрицы равняется количеству элементов главной диагонали, отличных от нуля.

Пример 1. Найти ранг матриц:

								1	2	1	3
1		2	3
а) A					,	б)	A	3	6	3	1 .
	3	6	9
								3	6	3	10

Решение. Ранг матриц будем находить методом элементарных преобразований.

а) Элементы первой строки матрицы умножим на (–3) и

прибавим к соответствующим элементам второй строки матрицы А:

1		2	3		1		2	3
A									.
	3	6	9			0	0	0

Отсюда вытекает, что ранг этой матрицы равняется 1 (ниже главной диагонали – нуль и один элемент главной диагонали 0 ).

15

б) Преобразуем матрицу аналогично предыдущей:

1		2	1	3	( 3), ( 3)	1		2	1	3		1		2	1	3
A	3	6	3	1			0	0	0	10			0	0	0	1		10
			3
	3	6		10			0 0 0			1			0 0 0			10

	1	2	1 3			1		3	1	2
	0	0	0	1			0	1	0	0	.
	0	0	0	0			0	0	0	0

Отсюда вытекает, что r( A) 2 .

Определение 3. Матрица A 1 называется обратной матрицей к матрице А, если выполняются равенства

A 1 A E ,

где Е – единичная матрица.

Не каждая матрица имеет обратную. В алгебре матриц доказано,

что матрица А имеет обратную матрицу А 1 при выполнении двух условий:

1)матрица А квадратная;

2)определитель |А| матрицы А не равен нулю.

Обратную матрицу А 1				к матрице А можно найти по формуле
					A	A	A
					11	21	n1
			1		A	A	A
A	1				12	22	n2
			| A|
					A1n
						A2n Ann

где Aij – алгебраические дополнения элементов aij – матрицы А.

16

											1		2	3
Пример 2. Найти обратную матрицу к матрице											A	4	5	6	.
												7	8	0
Решение. а) найдем		A	:
					4	6		4	5
| A| 1	5 6			2			3
	8	0			7	0		7	8

48 2 ( 42) 3 (32 35) 48 84 9 27.

Так как A 0 , матрица A 1 существует.

б) найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы

А:

A		( 1)1 1							5		6				5 0 6 8 48;
11									8		0
A ( 1)1 2								4			6			(4 0 6 7) 42;
12								7			0
		( 1)1 3										5
A										4					4 8 5 7 3;
13										7		8
					3											1	3
A21			2				24;								A22				21;
			8		0											7	0
					2											2	3
A23				1					6;						A31				3;
				7	8											5	6
					3											1	2
A32				1					6;						A33				3.
				4	6											4	5

17

в) обратная матрица имеет вид:

			48		24	3
		1
	A 1			42	21	6	.
		27
				3	6	3

Определение 4. Суммой матриц A (aij ) и B (bij ) одинако-

вого размера называется матрица C (cij ) , где cij aij bij , i, j .

Для любых матриц А, В и С одного размера выполняются равенства:

1.А + В = В + А (коммутативность);

2.(А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность)

Определение 5. Произведением матрицы			A (aij ) на число
называется матрица B (bij ) того же размера,			что и матрица А, где
bij aij , i, j .
Свойства операции умножения матрицы на число:
1)	( A) ( ) A (ассоциативность);
2)	(A B) A B	(дистрибутивность		относительно
сложения матриц);
3)	( ) A A A	(дистрибутивность		относительно
сложения чисел).
Свойства операции умножения матриц:

1)(A B) C A (B C) A B C (ассоциативность);

2)(A B) C A C B C (дистрибутивность);

3)A (B C) A C B C (дистрибутивность);

4)A B B A (отсутствие коммутативности).

18

Определение 6. Произведением матриц А и В называется

матрица С, элементы которой c ji являются скалярным произведением

векторов-строк ai

матрицы А на вектор-столбец b j матрицы В:

n

C AB || cij

||,

cij

a

i

b

j aisbsj , i 1, 2,...,m,

j i 1, 2,...,k.

s 1

Пусть даны две матрицы: А –

размера

m n

и В – размера

n k .

Будем рассматривать матрицу А как совокупность векторов-

строк

ai размерности п каждый, а матрицу В – как совокупность k

векторов-столбцов b j

, которые содержат по п координат каждый:

b1

b2 ...

bk

a1 1

a1 2

...

a1n

b1 1

b1 2 ...

b1k

a

1

a2 2

b2 2 ...

A

a

2

a2 1

...

a2n

B

b2 1

b2k

,

.

...

...

...

...

...

... ... ...

...

a m am1

am2

...

amn

bn1

bn2 ...

bn k

Длина сроки матрицы А равняется высоте столбца матрицы В, и

потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Пример 3. Найти произведение матриц:

	1	1	2			0	1
A	0	2	3	,	B	1	1 .
							2
	1	4	1			2

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равняется числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл.

Получаем в произведении матрицу размера 3 2 :

19

0 1 4		1 1 4			3	4
AB	0 2 6	0 2 6			8	4	.
	0 4 2	1 4 2			6	3
Произведение ВА не имеет смысла,				так		как число столбцов

матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Определение 7. Транспонированной к матрице						A (aij )
называется матрица	AT (aT )	такая, что	(aT ) a	ji	, i, j	(т.е. все
	ij		ij

строки которой равняются соответствующим столбцам матрицы А).

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных

преобразований,		называется				эквивалентной					к	матрице А
(обозначается B ~ A ).
Пример 4.		Найти 2А + 3В, где:
		1		2 3			2 3				0
A				,			B				.
			0	1 1				2 1			1
Решение.
	1 2			3		2		3 0			2 4 6
2A 3B 2				3
		0 1									0 2 2
				1			2 1 1
6 9		0		2 6		4 9		6 0			4	13 6
													.
6 3		3		0 6		2 3 2 3					6 5 1

20

1.3 Системы линейных алгебраических уравнений

1.3.1 Основные понятия

Определение 1. Система алгебраических уравнений называется

линейной, если она может быть записана в виде

a11x1 a12x2 a1k xk a1n xn b1,

a

x a

x

a x

a

x

b ,

21 1

22

2

1k k

2n n

2

,

(1)

a x a x

a x a x

b ,

ij 1

ij 2

ik 1

in n

i

,

a

a

a

b ,

a

x

m2

x

2

m1

x

x

m1 1

k

mn n

m

где x1, x2 , ..., xn –

неизвестные; aij –

действительные числа,

называющиеся коэффициентами системы; bk (k 1, 2, ..., m) – свободные от неизвестных члены (правые части уравнений).

Определение 2. Решением системы (1) называется множество действительных чисел 1, 2 , ..., n , подстановка которых в систему вместо неизвестных х1, х2 , ..., хn , превращает каждое уравнение

системы в тождество.

Определение 3. Система линейных алгебраических уравнений,

которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной, а

система, которая не имеет решения, называется несовместной.

Определение 4. Совместная система называется определенной,

если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или

21