Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

Фундаментальная система решений

Решения однородной системы обладают следующими

свойствами: если вектор (1 ,2 , ,n )				является решением
системы (1), то и для любого числа k вектор			k (k 1 , k 2 , , k n )

также будет решением этой системы. Если решением системы (1)

является также и вектор (1 , 2 , , n ) , то сумма также будет решением этой системы. Отсюда следует, что любая линейная

комбинация решений однородной системы также является

решением этой системы.

Как мы знаем, всякая система п–мерных векторов, состоящая более чем из п векторов, является линейно зависимой. Таким образом,

из множества векторов-решений однородной системы (1) можно выбрать базис, т. е. любой вектор-решение данной системы будет линейной комбинацией векторов этого базиса. Любой такой базис называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если ранг r системы однородных уравнений (1)

меньше числа неизвестных п, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из (n r) решений.

Укажем теперь способ нахождения фундаментальной системы решений. Пусть система однородных уравнений (1) имеет ранг r n .

Тогда, как следует из правила Крамера, базисные неизвестные этой системы x1, x2 , , xr линейно выражаются через свободные переменные xr 1 , , xn :

32

	x1 11xr 1 12 xr 2 1, n r xn
						(2)
	xr r1 xr 1 r 2 xr 2 r , n r xn
Выделим частные решения однородной системы (1) по
следующему принципу. Для нахождения первого вектора-решения							x1
примем	значения	свободных		переменных	xr 1 1 ,
xr 2 xr 3	xn 0 .
		Затем	находим	второе решение		x2 :
принимаем xr 2 1 , а остальные			r 1 свободные переменные примем

равными нулю. Иными словами, мы последовательно присваиваем каждой свободной переменной единичное значение, считая остальные нулями. Таким образом, фундаментальная система решений в вектор-

ной форме с учетом первых r -базисных переменных (2) имеет вид

x1 (11, 21, , r1 ,1, 0, , 0)

x2 (12 , 22 , , r 2 , 0,1, 0, , 0) (3)

xn r (1, n r , 2, n r , , r , n r , 0, , 0,1)

Фундаментальная система решений (3) является одним из фундаментальных наборов решений однородной системы (1).

Пример 1. Найти решение и ФСР системы однородных

уравнений

x1 x2 x3 x4 x5 2x6 0,2x1 3x2 2x3 x4 x5 0,

2x1 3x2 3x3 x4 x5 x6 0.

Решение. Будем решать эту систему методом Гаусса.

Поскольку число уравнений системы меньше числа неизвестных,

будем считать x1, x2 , x3 базисными неизвестными, а x4 , x5 , x6 –

33

свободными переменными. Составим расширенную матрицу системы и выполним действия, составляющие прямой ход метода:

		1						x		2x		( 2), (2)
	1		1		x
						4		5			6
	2	3 2			x4 x5								(1)
	2 3
			3		x4 x5 x6
	1 1				1		x4 x5 2x6
(1) 0 1			4					3x4		3x5		4х6	(1)	(2)
		0 1			5		x4 3x5 5x6
		1 1						1		x4 x5 2x6
	(2) 0			1				4		3x4		3x5	4х6	.
										2x4 x6
		0			0 1

Преобразованная расширенная матрица соответствует системе

уравнений, которая эквивалентна исходной однородной системе:

x1 x2 x3 x4 x5 2x6 ,x2 4x3 3x4 3x5 4x6 ,x3 2x4 x6 .

Обратный ход метода Гаусса дает значения базисных

неизвестных, выраженных через свободные переменные,

x3 2x4 x6 ; x2 11x4 3x5 ; x1 14x4 4x5 x6 .

Поскольку ранг однородной системы равен трем, то ФСР для нее состоит из трех линейно независимых векторов. По формулам (3)

при n 6 и r 3 , беря последовательно для свободных переменных тройки чисел (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1), получаем набор фундаментальных решений:

x1 (14, 11, 2, 1, 0, 0), x2 ( 4, 3, 0, 0, 1, 0), x3 (1, 0, 1, 0, 0, 1).

34

Характеристическое уравнение

Пусть х – собственный вектор квадратной матрицы А порядка п.

Тогда имеет место матричное уравнение

Ax		x ,			или ( A E)x 0 ,					(4)
где – собственное
					значение матрицы А, а Е и					0 –

соответственно, единичная матрица и нулевой вектор-столбец.

Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система (4) должна иметь ненулевое решение, т. е. в силу следствия 2 (см. ранее) определитель этой системы равен нулю:

a1 1	a1 2	a1n
a2 1	a2 2	a2n	0 .	(5)

an1

an2 ann

Определитель системы однородных уравнений (4) называется

характеристическим многочленом, а уравнение (5) –

характеристическим уравнением матрицы А.

Уравнение (5) имеет степень п относительно неизвестной .

Его корни являются собственными числами матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однородной системы (4).

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы

3 2

матрицы A .1 4

Решение. Характеристическое уравнение для этой матрицы

имеет вид		3	2		0 , откуда, раскрывая определитель, получаем:
		1	4

35

2 7 10 0 .

Корни этого уравнения 2 , 5 . Для нахождения

собственных векторов подставим найденные собственные значения в систему однородных уравнений (4) при n 2 , соответствующей

заданной матрице А. Собственный вектор, соответствующий собственному значению 1 2 , является решением системы

x	2x				0,
1				2
x1	2x2				0.
По сути дела, это одно уравнение, поскольку определитель
системы равен нулю. Полагая x2	b свободной переменной, получаем
первый собственный вектор			1 ( 2b, b) b( 2, 1) . Подстановка
		x

второго собственного значения 2 5 приводит к системе уравнений

	2x1 2x2 0,
		x2 0.
	x1
которая через свободную переменную x2 c определяет второй
собственный вектор матрицы А:				2 (c, c) c(1, 1) .
			x
Поскольку	b и с	– произвольные числа, то одному
собственному	значению	может			соответствовать	несколько

собственных векторов разной длины. Например, собственные векторы,

соответствующие фундаментальным решениям однородных систем (в

данном случае их будет по одному на каждое собственное значение),

имеют вид, x1 ( 2, 1), x2 (1, 1) .

Пример 3. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений для СЛАУ:

36

x1 2x2 x3 x4 2,2x1 x2 x3 2x4 4,

x1 4x2 5x3 7x4 2.

Решение: Матрицы А и С имеют вид
1		2	1	1	1		2	1 1		2
A	2	1 1		2 ;	C	2	1 1 2			4 .
	1	4				1	4	5 7
			5 7							2

Их ранги r(A) r(C) 2 , значит, СЛАУ совместна.

Выделим следующую подсистему

x1 2x2 2 x3 x4 ;2x1 x2 4 x3 2x4 .

Считая x3 , x4 известными, ее решение найдем по формулам Крамера:

	x 2 x			5	x		; x							x	4	x		,
	1	3	3			4						2		3	3		4
где x3 , x4	могут принимать произвольные значения.
Общее решение системы имеет вид
			2 x3						5
												x4 ,
									3
			x					4		x				,
			3					3					4	.
						x3 ,
						x4 .
Частное	решение	системы							получим,						например, при x3 0 ,

x4 1 :

37

		1
			,
		3
		4		,		.
		3
		0,
		1.

Давая свободным неизвестным поочередно значения, равные элементам столбцов определителя, порядка количества свободных неизвестных, в данном случае второго

	1		0	,
	0		1
получим векторы
	3,			1/ 3,
	1,			4 / 3,
C1	1,		,	C2	0,		,
					1.
	0.

представляющие собой фундаментальную систему решений.

Общее решение теперь можно записать следующим образом:

	3,				1/ 3,			31		1/ 32	,
		1,							1	4 / 32
					4 / 3,							,
X 1		1,		2		0,				,		.
										1
		0.				1.				2 .

Придавая коэффициентам 1, 2 различные числовые значения,

получим различные частные решения. Любое частное решение можно получить путем подходящего выбора коэффициентов 1, 2 .

38

1.4 Примеры использования линейной алгебры в задачах экономического содержания

Модель межотраслевого планирования потребностей и предложений

Таблицей заданы показатели взаимных спросов и предложений

между различными отраслями промышленности:

Отраслевые		Отраслевые				Потребности	Кол-во всех
		потребности				других
предложения							предложений
	1		2		3	отраслей
1	20		24		36	18	100
2	30		30		45	24	120
3	20		48		36	36	180
Затраты	20		24		48
труда

1)Найти матрицу потребностей–предложений А;

2)Допустим, что через 3 года потребности других отраслей возрастут до 26, 35 и 80 показателей для областей 1, 2, 3

соответственно. Сколько продукции должна произвести каждая отрасль, чтобы удовлетворить эти потребности?

Решение. 1) Элементы искомой матрицы А равны отношению спроса i-ной отрасли к общему количеству предложений этой отрасли.

Поэтому для нахождения элементов i-го столбца ( i 1, 2, 3 ) матрицы А необходимо разделить потребности i-й отрасли, указанной в таблице,

на общее количество предложений этой отрасли.

Таким образом, матрица потребностей–предложений:

39

				20				24					36
																		0,2
					100			120				180
																						0,2		0,2
				30				30					45
			A														0,3					0,25		0,25 .
					100			120				180
					20			48				36							0,2			0,4		0,2
				100				120				180
2) Пусть Е – единичная матрица третьего порядка. Обозначим:
			26
Д			35 – матрица–столбец новых потребностей.
			80
Х – матрица новых предложений, соответствующим новым
потребностям.
			1		0			0				0,2				0,2					0,2			0,8		0,2	0,2
B E A 0					1			0				0,3		0,25					0,25					0,3		0,75	0,25 .
				0								0,2				0,4								0,2		0,4
					0 1																0,2						0,8
Тогда:
										X B 1								Д .									(1)
Для вычисления будущих предложений осталось																											найти B 1 .
Матрица B квадратная, третьего порядка, ее определитель:
								0,8				0,2						0,2
				| B |				0,3				0,75						0,25				0,288 .
								0,2				0,4						0,8
Для			вычисления							матрицы									B 1				найдем			алгебраические
дополнения элементов матрицы В:
B			0,75 0,25					0,5;						В							0,3 0,25					0,26;
11			0,4		0,8									12							0,2			0,8

40

В			0,3	0,75				0,27;					В						0,2		0,2			0,24;
13			0,2	0,4									21						0,4		0,8
В				0,2				0,6;					В						0,8		0,2			0,36;
			0,8
22			0,2	0,8									23						0,2		0,4
В			0,2	0,2						0,2;			В							0,8	0,2					0,26;
31			0,75	0,25									32						0,3		0,25
В				0,2				0,54.
			0,8
33			0,3	0,75
Обратная матрица B 1 имеет вид
													0,5		0,24					0,2
				B 1						1
													0,26		0,6					0,26 .
										0,288
													0,27		0,36					0,54

Подставив значение Д и найденную обратную матрицу B 1 в

формулу (1), получим:

			0,5		0,24	0,2				26		37,4					130,9
B 1		1
		0,288		0,26	0,6	0,26				35		3,5 48,56					169,96 .
				0,27	0,36	0,54				80			62,82				219,87

Таким образом, первой отрасли необходимо изготовить 130,9

единиц продукции, второй – 169,96, третьей – 219,87 единиц продукции через 3 года.

Задача нахождения затрат сырья, топлива и трудовых

ресурсов

В таблице даны нормы затрат двух видов сырья и топлива на производство единицы продукции каждого цеха, трудоемкость в человеко-часах на единицу продукции, стоимость соответствующей

единицы сырья и стоимость одного человеко-часа.

41