RII_OCR[1]

" г "Г(			qJ + 2:лk	..	qJ + 2:лk )	=
Zk =У Z	=	-У'I cos	n	+ I slП	n
	=	"j;ei(T+bl)/"(k=O, n-1).				(7.5)

(Под "j; понимается арифметический корень.)

Пример 2. Вычислить (1 + i)12.

~ Представим число Z = 1 + i в тригонометрической или показа·

тельной форме, используя формулы (7.1):

r =.JI+I = -.j2, cos qJ = 1/-.j2, sin qJ = 1/-..J2,

qJ

= л/4,

Z =

-.j2(cos

:

+

i sin :) =

-.j2e"i/4.

Тогда по формуле Муавра

г12 = (~12(cos (12. :) + i

sin (12. :)) =

~еЗ"i=

=

64· (cos Зл +

i siп Зл) =

-64 ....

Пример 3. Найти кории уравнения г6 +

1 =

о.

г6 =

-

1

~ Данное

уравнение

можно

переписать

так:

или Z =

= ~ Согласно

формулам

(7.1),

число

-

1

в

тригонометрической

форме имеет вид:

-

1 = 1 • (cos л +

i sin л).

С учетом формулы (7.3}, корни исходного уравнеиия:

~ г-:

(

eos

л + 2kл

.. л + 2kл )

.

zk=~v-1=1·

6

+ISIП

6

=е/(~+2лk)/n,

где k = 0,5. Придавая k последовательно

значения 0,1, ... , 5, нахо­

дим все шесть возможных корней даиного уравнения г6 +

1 =

о:

л

..

л

-гз

1.

е

"i/6

,

го ~= cos 6"

+ I SIП 6"

= -2- +

"2

I =

г1

= cos"'::'

+ i

siп"'::'

= i = e'i/2

'

,22

5

л +

i

5

л =

-

-гз

+

-

1

i

=

е-

5Л.

г2 = cos -

sin -

--

'/6

6

6

2

'2

'

7

i

7

-гз

1

=

7

"/6

=

е-

5 "/6

Zз = cos б л +

sin б л = -

-2- -

"2 i

е Ш

т

,

г4 = cos ~:л +

i sin ~ :л =

- i = е-лi/2

= еЗ'i/2

'

2

2

г5

11

11

-гз

1

11/6

=е-

Ш~/6

= соsтл+i sin

тл =

-2-

-"2 i=

е ЛI

....

Пример 4. Найти корни уравнения ZЗ -

1 +

i-Гз=

о.

~ Так

как

ZЗ = 1 -

i-Гз= 2 . (cos

;

-

i sin

;) .

то

ПО

форму­

ле

(7.5)

11

:J Г	=	:J Г;;2(	л/3 + 2лk	-	. ,	л/3 +2лk )	(k = 0.2).
2k =У 2		-У 4 cos	3		I SlП	3

Следовательно, корнями данного уравнения являются:

~Г;;(

л

. Л)

:JГn:(

7л

.,

7Л)

20=у21 COSg-iSIП g

• 2,=-У4!2 COSg-ISIП g

•

:J Гn:(

cos

13л

. ,

13л )

....

22 = -у2

-9- -

I slП

-9-

А3-7.1

1.

Найти значение выражения (ZI + 2z2)zз,

если ZI =

= 2 +,3i, Z2 = 3

+ 2i,

ZЗ =

5 - 2i. (Ответ:

54

+

19i).

2.

Даны

комплексные' числа ZI =3

+

Ы,

Z2 = 3 -

4i,

ZЗ =

I

-

2i.

Найти число Z = «ZI +ZЗ)Z2)/Zз. (

Ответ:

358

+

+ ~'

i.)

3. Представить в тригонометрической и показательной

формах

комплексные

числа

ZI =

2 -

2i,

Z2 =

-

I + i,

Zз =

-i,

Z4 =

-4.

4. Найти корни уравнения Z8 -

1 = о. (Ответ: Zo =

1,

ZI = -У2+ -Y2i

Z2 =i

,

Zз=

-

-У2+ -Y2i

Z4 =

~ I

,

Z5 =

2

2'

2

2'

= - -у2_ -у2i' Z6 = i Z7 = -у2_ -у2i)

2

2'

,

2

2'

Самостоятельная работа

1.

1.

Найти

значение

выражения

ZI (Z2 + Zз) /Z2,

если

ZI =

4

+

Ы, Z2 =

1 +i,

ZЗ =

7 -

9i. (Ответ: 40 -

32i.)

2. Представить в тригонометрической и показательной

формах

комплексные числа

ZI =-{3 + i,

Z2

' - 1 +-{3i,

Zз =

-1/2.

(ZI + Z2ZЗ)/Z2,

2.

1. Найти значение

выражения

если

ZI = 4 +

8i,

Z2 = I - i,

Zз = 9 +

13i.

(Ответ:

7 +

19i,)

2.

Решить уравнение Z2 -

i = О. (Ответ:

+ (1 + i)/-{2.)

3. 1. Найти значение выражеНИЯ(ZI

+ Z2

+ ZЗ)/Z2,

если

ZI = 2 -

i,

Z2 = - 1+ 2i,

Zз = 8 +

12i.

(Ответ:

2 + 2i.)

2. Представить в тригонометрической и показатель-

ной

формах

комплексные

числа

ZI = 2/( 1 + i),

Z2 =

= -.y3-i.

12

7.2.ДОПОЛНИТЕЛЬНblЕ ЗАДАЧИ К гл. 7

1.Представить в показательной форме следующие

комплексные числа:

'

.

а) z=--;--уrтl~2-2i; б) z=-cos~+isin~7 7

(Ответ: а) 4е7лi/6 ; б) е6лi!7.)

2. Доказать формулу

(l+cosa+isina)2n=(2cos ~)2neina (nEN, aER).

3. Найти сумму	n .		(	Ответ:	ei(n+I)<,	1)
	~	e'k'l'.			i< -	•
. .	k=O				е' -	I

4.При Ка)ШХ целых· значениях n справедливо равен­

ство (1 +i)n=(I_i)n? (Ответ: n=4k, kEZ.)

5.Используя формулу Эйлера, найти сумму

	cos х + cos 2х + cos 3х +			... +	cos nх
(Ответ: (sin		~X cos	n t I х) sin ~ .)
6.	Доказать тождество
х5 _	1 = (х -	1) (х2 -	2х cos 720 + 1)	(х2 -	2х cos 1440 + 1).

Найти и построить на комплексной плоскости (z) области, которым принадлежат точки z = х +iy удовле:;­

воряющие указанным условиям.

7~ IZ-ZII<4, где ZI=3-Бi. (Ответ: внутренность

круга		радиусом R =			4 с центром в точке Zl.)
8.		Iz + ZI 1> 6,			где	Z2 = 1 - i.	(Ответ: внешность
круга		радиусом R =			6 с центром в точке -Z2.)
9.		1 < Iz -		il < 3: (Ответ: кольцо между окружностя­
ми	с	центром		в точке		z = i, радиусы которых ГI = 1,
Г2 =	3,)
	10. 0< Iz +iI <				1. (Ответ: внутренность круга радиу­
сом R = 1 с выколотым центром в точке z = - i.)
	11.	0< Re(3iz) < 2.				(Ответ: горизонтальная полоса,
заключенная между прямыми у = О,							У = -2/3.)
	12.	Re(l/z»a, где a=const, aER. {Ответ: если
а = О,		то	х > О -		правая полуплоскость без границы;
если а > О			или а < О, то получаем				точки, лежащие со­

ответственно внутри или вне окружности (х - 1/ (2а))2 +

+у2 = 1/(4a2).)

13.Re((z-аi)/(z+аi))=О, где a=const, аЕ R. (От

вет: точка z = ai.)

14.Im(iz) < 2. (Ответ: полуплоскость, лежащая левее

прямой х = 2.)

1'3

8.НЕОПРЕДЕЛЕННЫfI ИНТЕГРАЛ

8.1.ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ ИНЕОПРЕДЕЛЕННЫй

		ИНТЕГРАЛ
Пусть	на интервале	(а; Ь) задана	функция ((х).	Если Р(х) =
= {(х), где	х Е (а; Ь), то	функция Р(х)	называется	nервообразной

функцией функции {(х) на интервале (а; Ь). Любые две первообразные

данной функции [(х) отличаются друг от друга на произвольную

постоянную.

Совокупность первообразных Р(х) + С, где С - произвольная постоянная, функции {(х), х Е (а; Ь), называется неоnределенным интег· ралом функции {(х):

~f(x)dX = Р(х) + С.

Приведем основные правила интегрирования:.

1)	\ [' (x)dx =	\ df(x) = {(х) + С,
	d Jf (x)dx =	d (Р(х) + С) -	f(x)dx;
2)	\ (f(x) ± rp(x»dx = \ f(x)dx ± \ rp(x)dx;
З)	~af(x)dx=a\f(x)dx (a=const);
4)	если \ f(x)dx = Р(х) + С,		то

•\f(ax+ b)dx =-.!.. Р(ах+ Ь) + С

	а	* О;
прн условии, что а, Ь ~ постоянные числа, а
5) если \ f(x)dx = Р(х) + С и	и = ср(х) -	лю(iая дифференцируе·
мая функция, то
)/(u)du =	Р(и) + С.

Правильность результата интегрирования проверяется дифферен· цироваиием найденной первообразной, Т. е. (Р(х} + СУ = {(х).

На основании определения неопределенного интеграла, правил

Иtl,тегрирования и таблицы производных основных элементарных функ­

ций можио составить таблицу основных неоnределеННblХ интегралов:

uа.+l

1) \ u'"du = а+ 1 (а* -1); +с.,

2) } duU = ln Iиl + С;

,а"

З) \a"dU=-I-+С;

па

4)\eudU = е" + С;

5)\ sin udu = -cos и + С;

6)\cos udu = sin и + С;

14

7)

r

du

и2

=

1

u

С =

1

и

С (а =1=

О);

J

а2 +

а arctg а +

- а arcctg а +

8)

r

2 du

2

=-21 IпJu+аJ+С=--21

Iп!и-+аJ+с;

}g - u

а

и-а

а

u

а

.9) r

du

а2

= Iп

'и + .ju2 ± а2

I + С

(а =1= О);

J

-Уи2 ±

10)

du

. u

u

)

_~

=аГСSIП-+С=-агссоs-+С(а>О);

а

а

-уа"

-

и"

11)

(~= tgu+C;

J cos

u .

d

.

12)

)

~

=

-сtgu+С;

SIП

и

13) Jr ---!/:..!!- =

slП и

14) ) с::u =

и	С= IпJ_I- - ctg u J + С;
IпJtg 2 J +
IпItg (~ +	slП u
	~)J= IпIco~и + tg uI+ С;

15) \ sh udu = ch u + С; Iб) \ch udu = sh u + С;

17)	r~ = th u + С;
	J ch u
18)	r~=-сthu+С.
	J sh u

ИнтеграJlЫ 1-18 называются табличными.

Отметим, что в приведенной таБJlице буква и может обозначать

как независимую переменную, так и непрерывно дифференцируемую

функцию u = <р(х) аргумента х.

Пrимер 1. Найти неопредеJlенный интеграJl \ (4х3 - 2W +

+'Х/х + I)dx.

~\(4хЗ -2W+2/ХЗ + l)dx=4 \хЗdх-2 \х2/Зdх+2 \x-ЗdХ+

х4

х5

/З

х-2

С = х4 -

6 .:J г;

1

+

+ \ dx = 4 . - - 2 . -- + 2 . -- + х +

-

-ух5

-

-

х2

4

5/3

-2

5

+х+с. ...

Пример 2.

1 + 2х2 .

Найти

)

2

2 dx.

х (1 +х)

') 1 + 2х2

)

(1 + х2) + х2

~

х2 (1 + х2) dx=

х2 (1

+ х2)

dx=

r

1 + х2

r

х2

= J х

2(1

+ х2) dx -+ J

х2(1

+ х2) dx =

=

r d~ +

r~2

= _ ~ +

arctg х +

С....

J х-

J

1 +

х

Х

Пример 3.

Найти \ 3'e2x dx.

~

\ ЗХе2Хdх = \ (3e2Ydx =

(3

')'

е"_,_ + с. ...

lп (3е2)

15

Пример 4.

Найти

\ (2х -

7)9dx.

1 (2х - <7)16

1

9

1 \

9

+ С =

~ \ (2х - 7) dx ="2

(2х -

7)

. 2dx = "2

10

20. х

х (2х -7У'+ с. ...

.

Пример 5.

Найти \ cos (7х -

3)dx..

3)d(7x':"- 3) =; sin (7х -

~ \ cos (7х -

3)dx

=-} \cos (7х -

-з)+с.....

Пример 6.

•

~

х -

.

aгctg х

dx.

Наити

2

~ r х -

I+x

aгctg х dx =

r__х_ dx _ r aгctg х dx =

J 1+ х2

J 1+ х2

J 1+ х2

1 Гd(1 + х2)

-

\

1

(1 + х

2

1

2

х +

= "2 J 1 + х2

arctg xd(aгctg х) = "2 In

)_ "2 arctg

<

+с....

Пример 7.

Найти

\ ctg Зхdх.

~cgxx=t З d

cos Зх d

1 ~ cos Зх . Зdх

---x=-

\

~

sin Зх

З

sin Зх

I + С

=

~ r d(sin Зх) =

~ 1

I .

З

х

~

З

J

s.in

~x

З n

sIП

. ...

для того

чтобы

в

примерах

4-7 Itримеиить правило 5, некото­

рые сомножители подынтегральной функции мы

«подводили»

под

знак дифференциала,

после

чего

использовали подходящий

таблич­

ный интеграл. Такое преобразование называется подведением под знак дифференциала. Так, например, для любой дифференцируемой

функции [(х) имеем

r [' (х)

r df(x)

+ с.

J

{(х)

dx = Jf(x) = In If(x)1

Пример 8.

•

~

sin 2х

dx.

Наити

.

2

~ r

4 + sIП

Х

r

sin 2х

dx =

r 2 sin х cos х dx =

2 sin х d(sin х) =

J 4 + siп2

Х

J

4 + sin 2 х

J 4

+ sin 2 х

= r d~: ~i~2х)

= In (4 + sin 2 х) + с....

J .... SIП

Х

Пример 9.

Найти r

х

2

х+ 2

dx.

~ r

J

+

4х+

5

х+ 2

dx _

~

r..о.(х_2;;-+-'--4_х...:+'-----'5)'-' dx = In -Ух2 + 4х + 5 +

J

х2 + 4х + 5 - 2 J

х2 + 4х + 5

+с. ...

АЗ-В.1

Найти указанные интегралы, результаты интегриро­

вания проверить дифференцированием.

16

1.	~(5х7			3 V;З+ :.) dx.				2.	~	cos 2х
		-								-'"".-----2,;--dx.
3..~( 3 sin х+ 2					Х • з2х -		9:х2 ) dx.			cos< х siп	Х
4.	r!..J(5x +3)3 dx.							5.	r-:;-;==х=2=		dx.
	J								J	у(х3 + 7)2
6.	r(SiП7Х-е3-2Х+ __~_)dх.
	J						cos 4х
7. ~ ( е-3Х -				3х~; + з2х -				sin 3 х cos х) dx.
8.	~ tg 3xdx.				.	9. r ~аГСSiП х-			Хdx .
t о. r Х -							J.	~
		х	3	dx.	t t.	~	3Х			~ Х - 3 d	х.
							~x. 12.			-- 2
	J -У9 -	х:					>./9 -9f'			1-х

Самостоятельная работа

Найти неопределенные интегралы, результаты интегри-

рования проверить дифференцированием.

t.

а)

~(3х ---{Гх5+2 sin х -

3) dx;

б)

~(sin 3х +x--{l+x2) dx;

в)

~

е2х

е2х + 3

~ ( х7 - Vx-+ 2Х) dx;

-- dx .

2.

а)

б) J((х

2

.у4

х

2

+-.s!-п

~4-х) dx; в)

х+ I

d

~Х2 + 2)(- 3

Х.

3.

а)

Нх-2 + 7х6 -

2~)dX;

б) Hk-cos7 х sin х) dx; в)

~ctg(3x-2)dx.

8.2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИй

Задача нахождения неопределенных интегра.10В от многих функций решае:гся методом сведения их к одному из табличных интеграJIOВ. Этого можно достичь путем алгебраических тождественных преобразова­

иий подынтегральной функции {(х) или подведения части ее множи­

телей под знак дифференциала.

17

Пример 1.

Найти \ tg

З

xdx.

~ ~ tg

З

~~ C~S2Х

- 1) tg xdx =

xdx =

= r__12_ tg xdx -

rtg xdx =

rtg xd (tg х) _

r sin х dx =

-З=Х

J

J

з=х

tg2 x

~d(COSX)

1

2

x+1n Icosxl

+С. ...

=-2-+ --- = - 2 tg

cos

х

Пример 2.

u

rх + 3d

х.

Наити Jх

+ 5

~ r х + 3 dx = r х + 5 - 2 dx =

Зх+5

J

х+5

= rdx- f

2 _ dx =x_ 2rd(x+5) =

J

Зх+5

J

х+5

=x-21n /х+51 +С. ...

Пример 3.

Наитиu 1

2

dx

•

~ r

Х -4х+8

dx

_ r

dx

. _

= r

Jх2 -

4х + 8 - Jх2 -

4х + 4 + 4 -

dx

=

r

d(x -

2)

= ~arct

х -

2

с ...

J(х-

2)2 +

4

J

4 +

(х

- 2/

2

g

2

+ .

Для отыскания интегралов вида
\ sin тх cos nxdx,			\ sin тх sin nxdx, \ cos тх cos nxdx
используют следующие формулы.:
sin тх cos пх =			{-(sin (т + п)х+ sin (т - п)х),
sin тх sin пх =			{-(cos (т -		п)х - cos (т + п)х),
cos тх cos пх =	1	(т -	п)х + cos (т + п)х).
	2(cos
Пример 4.	Найти \ cos (2х -			1) cos (3х + 5)dx.
~ ~ cos (2х-	1) cos (3х+		5)dx = {- ~ (cos (х+			6) + cos (5х+ 4»dx =
=~ ~ cos (х+		6)d(x + 6) + /0 ~ cos (5х+					4)d(5x +	4) =
	= {- sin (х + 6) +			/0 sin (5х+ 4) +			С. ...
При нахождении интегралов вида
	\ cosm Х sin n xdx				(т, n Е Z)
возможны следующие случаи:				n -				т = 2k + 1.
1) одно из чисел		т	или		нечетное,	например

Тогда

\cos m Х sin n xdx = \ COS 2k Х sinn х cos xdx =

=\ (l - sin 2 x/k sin" xd (sin х),

18

т. е. получили интегралы от степенных функций;

2) оба числа т и n - четные. Тогда рекомендуется использо­

вать следующие формулы, позволяющие понизить степень тригоно­

метрических функций:

2 cos2 ах =

1 + cos 2ах,

2 siп2

ах =

1 -

С052

2ах (а Е R).

ПримерeJнайти \ cos7 х siпЗ

xdx.

~ \ cos7 Х siпЗ xdx =

\ cos7 Х siп2

Х siп xdx =

= -

\cos7 x(l -

cos2 x)d(cos х) = - \cos7 Xd(C05 х) +

+ ~ cos9 xd(cos х)= -fcos8 Х+ /0 cos10

Х+ С.....

Пример 6.

Найти \ cos2

3xdx.

~

r

2

r1+ cos 6х

Jcos

3xdx = j

2

dx =

= {- ~ dx +{- ~cos 6xdx = {-х+ /2 ~ cos 6хd(бх)=

1

1

="2Х +

12 siп 6х + С. ....

Пример 7.

Найти r

dx

2'

J

5-4х-х

~

Для отыскания данного интеграла в знамеиателе подынтеграль­

ной функции выделим полный квадрат. В результате получим

r

dx

r

dx

r d (х + 2)

J 5- 4х -

х2

=

J 9 - (х2

+ 4х + 4) =

J 9 -

(х + 2)2 =

1

'Х+2+3]

+ С =

1

'Х+51

+ С. ....

= z.з lп х + 2 _ 3

б lп х _ 1·

Пример 8.

Найти

~

х5 + 1

- 2--dx.

х

+4

~

Воспользовавшись

правилом

деления

многочлена на много­

член, будем делить числитель подынтегральной функции на ее знамена­

тель до получения остатка, степень которого меньше степени знаме­

нателя. Это позволит представить подынтегральную функцию в виде

суммы целого многочлена инекоторой правильной дроби. Выполнив

необходимые преобразования, получим

rх5 + 1dx = r(х3 _					4х + 16х + 1) dx = r(хЗ				_	4х)dx + 8( 2xdx +
Jx2 +4		J				х2	+4	J		)х2	+4
+		1			х'	2х2	+ 8 Iп (х2	+ 4) +	1	х
	- 2 -- dx =				- -				-2 arctg -2 + С. ....
	~х	+4			4
							А3-8.2
Найти данные неопределенные интегралы.
t.	Не2Х + e-2X )dx.						2.	~-Y1-7x3x2dx.
3.	r 2х - 3		2	dx.			4.	) cos3 2х sin4 2xdx.
	J -V	+ х
	4

19

6.	~	ctg3 2xdx.
8.	Jsiп 7х· sin 9xdx.
10.	(	dx
	Jх2 - 6х + 7'
12.	(х2 +х+! dx.
	J	х+!

Самостоятельная работа

Найти неопределенные интегралы.

1. а) rsiп	З	хdx;	б) ~ cos 2х· sin lOxdx;
J cos		х

В)	~ tg2 7xdx.
2.	а)	~		х	2	1	dx'
						+ 2х + 5	'
В)	) 3x+2 dx .
	х2	+ 9
3.	а)	~ х			2	_ 1
			-2-dx;
			х			+1
В)	) x+3х+ I d х.

б) ~ sin (7х - 1) sin 5xdx;

б) ~ sin 3 (1 - 3x)dx;

8.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИй, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫй ТРЕХЧЛЕН

Рассмотрим интеграл вида
(	Ах +В	d		(8.1)
J х2	+ Ьх + с		Х.

Если А =1= О, то из числителя можно выделить слагаемое 2х + Ь,

равное производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе.

Тогда в результате простых преобразований получим

(Ах+В	dx=~( (2x+b)+(2B/A-Ь)dх=~( 2х+Ь dx+
Jх2 + Ьх + с	2 J		х2 + Ьх + с			2 J х2 + Ьх + с
+(В-АЬ/2)(		2	dx	=..i1п Ix 2+bx+cl +
	J х		+ Ьх + с			2
	+(В-АЬ/2)(				2	dx
			Jх			+ Ьх + с

Для отыскания последнего интеграла выделим в квадратном трехчлене полный квадрат, т. е. представим трехчлен в виде

х2 + Ьх + с = (х + Ь/2)2 + С - Ь2/4

20