Математика для економістів Заоч. 2010 ч

Визначимо кут 1. Відомо, що площини можуть бути задані співвідношеннями:

N1	r	D1	0	,
N 2	r	D2	0

де N1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2). Кут між векторами нормалі знайдемо з їх скалярного добутку:

cos 1	N1		N 2		.
	N1		N 2

Таким чином, кут між площинами знаходиться за формулою:

cos			A1 A2	B1 B2			C1C2			.
		A2	B 2	C 2		A2	B 2	C 2
1			1	1	2		2	2

Умова паралельності і перпендикулярності площин

Для того, щоб площини були перпендикулярні необхідно і достатньо, щоб

косинус кута між площинами дорівнював нулю. Ця умова виконується, якщо:

A1 A2

B1 B2

C1C2

0 .

Площини паралельні,

якщо вектори нормалей колінеарні: N1 N 2

.Ця умова

виконується, якщо:

A1

B1

C1

.

A2

B2

C2

Кут між прямими в просторі

Нехай в просторі задані дві прямі. Їх параметричні рівняння:

l1:

r

r1

S1t

l2:

r

r2

S2t

r (x, y, z); r1

(x1 , y1

, z1 );

r2

(x2 , y2 , z2 );

S1

(m1 , n1 , p1 ); S2 (m2 , n2 , p2 ).

Кут між прямими

і кут між напрямними векторами

цих прямих пов‟язані

співвідношеннями:

= 1

або

=1800

- 1.

Кут між

напрямними

векторами

знаходиться із скалярного добутку. Таким чином:

cos		S1 S2								m1m2	n1n2			p1 p2			.
		S	1	S	2				m2	n2	p 2		m2	n2	p 2
						1				1	1	2		2	2

Умови паралельності і перпендикулярності прямих в просторі

Щоб дві прямі були паралельні необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори

цих прямих були колінеарні, тобто їх відповідні координати були пропорційні:

m1		n1		p1	.
m2		n2		p2

Щоб дві прямі були перпендикулярні необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були перпендикулярні, тобто косинус кута між ними дорівнює нулю:

m1m2

n1n2

p1 p2

0

Кут між прямою і площиною

Означення. Кутом між прямою і площиною називається будь-який кут між

прямою і її проекцією на цю площину.

Нехай

площина задана рівнянням

N r

D 0 , а

пряма

-

r

r0 St . З

геометричних міркувань (див. рис.) видно, що шуканий кут

= 900 -

, де

- кут між

векторами N

і S .

N

S

Цей кут може бути обчисленим за формулою:

		N		S		,
cos
		N		S
							N		S
sin	cos										.
							N		S

	В координатній формі: sin		Am	Bn		Cp		.
			A2 B 2	C 2		m2 n2 p 2

Умова паралельності і перпендикулярності прямої і площини у просторі Для того, щоб пряма і площина були паралельні, необхідно і достатньо, щоб

вектор нормалі до площини і напрямний вектор прямої були перпендикулярні. Для цього необхідно, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю:

N S,	N S 0, sin 0, Am Bn Cp 0.

Для того, щоб пряма і площина були перпендикулярні, необхідно і достатньо,

щоб вектор нормалі до площини і напрямний вектор прямої були колінеарними. Ця умова виконується, якщо векторний добуток цих векторів дорівнював нулю:

N	S 0;	A		B		C .
		m		n		p

Приклади

1.Знайти рівняння площини, яка проходить через дві точки P(2; 0; -1) і Q(1; -1;

3)перпендикулярно площині 3х + 2у – z + 5 = 0.

Розв'язок. Вектор нормалі		до		площини						3х+2у–z+5=0		N (3;2; 1) паралельний до
шуканої площини.
Отримаємо:
	x	2		y	0	z		1
	1	2		1	0	3		1		0
	3			2				1
	x	2		y	z	1
	1			1		4		0
	3		2			1
(x		2)(1		8)		y(1		12)			(z 1)( 2 3)	0
	7(x		2) 11y (z							1)	0
	7x		14		11y z			1		0
	7x		11y		z	15		0

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки А(2, -1, 4) і В(3, 2, -1)

перпендикулярно площині х+у +2z–3 = 0.

Розв'язок. Шукане рівняння площини має вигляд: Ax+By+Cz +D = 0, вектор нормалі до цієї площини n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3, -5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна шуканій має вектор нормалі n2 (1, 1, 2). Так як точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, отже

	i	j	k			3	5				1	5				1	3
n1 AB n2	1	3	5	i		1	2		j		1	2		k		1	1		11i 7 j 2k.
	1	1	2

Таким чином, вектор нормалі n1 (11, -7, -2). Так як точка А належить шуканій площині, то її координати мають задовольняти рівнянню цієї площини, тобто: 11 2 +

7 1 - 2 4 + D = 0; D = -21.

Отже, отримаємо рівняння площини: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

3. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) – основа

перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Розв'язок.

OP		(4;		3;12);					OP	16 9 144 169 13
N	(	4	;		3	;	12	)
		13		13 13

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C =12/13, скористаємося формулою:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

4			(x	4)					3			( y		3)				12			(z	12)			0
13								13										13
4			x	16				3				y		9					12		z	144			0
13				13				13						13				13				13
4			x	3			y			12			z	169							0
13				13				13						13
4x				3y			12z					169						0.

4. Знайти канонічне рівняння, якщо пряма задана у вигляді:

2x	y	3z	1	0 .
5x	4 y	z	7	0

Розв'язок. Для знаходження довільної точки прямої, припустимо що її координата х =

0, а потім підставимо це рівняння в задану систему рівнянь:

y 3z 1 y 3z 1 y 3z 1 4 y z 7 0 12z 4 z 7 0 z 1

Знаходимо координати напрямного вектора прямої.

m	B1	C1		1 3		11; n	A1	C1					2	3	17;
	B2	C2		4 1			A2	C2					5	1
Отримаємо канонічне рівняння прямої:
									x			y 2			z 1	.
								11				17			13

y 2 , тобто А(0, 2, 1). z 1

p	A1	B1		2	1	13.
	A2	B2		5	4

5. Привести до канонічного виду рівняння прямої, задане у вигляді:

2x	3y	16z	7 0 .
3x	y	17z	0

Розв'язок. Для знаходження довільної точки прямої, яка є лінією перетину заданих площин, покладемо z = 0. Тоді:

2x 3y 16z 7 0; y

3x ;

3x y 17z

0

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3.

Отримаємо: A(-1; 3; 0).

i

j

k

Напрямний вектор прямої: S

n1

n2

2

3

16

35i

14 j

7k .

3

1

17

Отже:

x 1

y 3

z

;

x 1

y

3

z

.

35

14

7

5

2

1

6. Подані координати вершин трикутника АВС: А (3,3,9), В (2,3,5), С(4,7,5). Знайти:

а) довжину та рівняння медіани ВЕ;

б) довжину висоти ВД;

в) внутрішній кут А у радіанах з точністю до 0,01;

г) площу трикутника;

д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій ВС.

Розв'язок. Знайдемо координату точки Е

X			X A			X C	; Y	YA			YC		;	Z		Z A		ZC		;
	E														E
				2			E				2							2
X E			3	4		3,5 ; YE		3			7		5	; Z E		9		5		7 .
			2								2							2

Рівняння медіани знайдемо за формулою

X

X B

Y

YB

Z

Z B

,

X E

X B

YE

YB

Z E

Z B

x 2

y

3

z

5

– рівняння медіани BE.

1,5

2

2

Довжину медіани ВЕ знаходимо за формулою

X E

2

YE

2

Z E

2

BE

X B

YB

Z B

2 2

3 2

5 2

BE

3,5

5

7

10,25

Координати векторів АВ і АС знаходимо за формулами

AB = (2-3; 3-3; 5-9) = (-1; 0; -4),

AC = (4-3; 7-3; 5-9) = (1; 4; -4).

Внутрішній кут А у радіанах знаходимо за формулою

cos

AB AC /

AB

*

AC

Векторний

1 ( 1) 0 4 ( 4) ( 4) / ( 1)2

02

( 4)2 * 12 42 ( 4)2 15/ 17 * 33

добуток векторів AB і AC знаходимо за формулою:

i

j

k

AB * AC

1 0

4

4k 4 j 16i 4 j 16i 8 j 4k

1

4

4

		1					1
			162		( 8)2 ( 4)2
	Знайдемо площу трикутника АВС: S								336 кв. од.
		2				2

В

А Д E С

Довжину сторони АС знаходимо за формулою:

	AC						12					42				4 2						1		16	16	33 .
Знайдемо довжину висоти ВД
S					1		AC				*				BД				,
				2
1									1
		336													33 *					ДВ	,
2									2
	ДВ						336 /									33

Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку Е ( 3,5;5;7;) паралельно прямій сторони ВС.

Рівняння ВС знайдемо за формулою																	X	X B		Y	YB		Z	ZB	,
																	X C	X B	YC		YB		ZC	ZB
	x	2		y	3		z	5	,	x	2		y 3		z 5	– рівняння прямої ВС.
4		x	7		3	5		5			2	4		0

Рівняння прямої, яка проходить через точку Е паралельно прямій ВС знаходимо за формулою

X

X E

Y

YE

Z

ZE

,

2

4

0

X

3,5

Y

5

Z

7

.

2

4

0

Завдання

1. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку M і має напрямний

:

вектор a

В. 1

M ( -1; 2; 5) ;

(2;1;6)

В. 2

(7;1;4)

a

M ( -4; 2; 6) ; a

В. 3

M ( 1; -4; 0) ;

(4;-1;5)

В. 4

(-2;3;6)

a

M ( 1; -3; 5) ; a

В. 5

M (-5; 2; 3) ;

(-2;3;8)

В. 6

(5;-1;3)

a

M ( 1; 0; -7) ; a

	2. Визначити відстань від точки Р до площини АВС :
В. 1	(АВС) :	3x + 4y – 5z + 2 = 0 ;	P ( 10; 8; 1 ).
В. 2	(АВС) :	– 2x + y – 3z –1= 0 ;	P ( -7; 6; 5 ).
В. 3	(АВС) :	2x – 3y + 6z – 9 = 0 ;	P ( 8; 1; 4).
В. 4	(АВС) :	– 5x + 4y – z – 3 = 0 ;	P ( 4; 6; 1).
В. 5	(АВС) :	6x – 3y + 5z + 1 = 0 ;	P ( -3; 1;	7 ).
В. 6	(АВС) :	– 2x – 4y + 5z + 1 = 0 ; P ( -2; 3;		8).

Питання для самоконтролю

1.Записати та дослідити загальне рівняння площини.

2.Вивести рівняння площини, яка проходить через три точки.

3.Вивести рівняння площини у відрізках на осях.

4.Як обчислити кут між двома площинами?

5.Які умови паралельності та перпендикулярності двох площин, двох прямих,

прямої і площини?

6. Вивести формулу для обчислення відстані від точки до площини?

Модуль І. Вища математика

Змістовий модуль ІІ. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці

Тема 5. Елементи теорії границь

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати поняття границі послідовності та границя функції, нескінченно малих і нескінченно великих величин. А також, набути навички обчислення границь функцій, розкриття деяких невизначеностей та вміти застосовувати першу і другу важливі границі для обчислення границі функцій.

План заняття

1.Числова послідовність. Обмежені і необмежені послідовності. Границя послідовності.

2.Границя функції в точці. Основні теореми про границі.

3.Односторонні границі.

4.Нескінченно малі функції. Еквівалентність нескінченно малих функцій.

5.Нескінченно великі функції.

6.Перша і друга важливі границі.

7.Розкриття деяких невизначеностей.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Числова послідовність

Означення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то кажуть, що задана послідовність

x1, х2, …, хn = {xn}.

Загальний елемент послідовності є функцією від n: xn = f(n).

Таким чином послідовність може розглядатись як функція порядкового номера елемента.

Задати послідовність можна різноманітними способами – головне, щоб було вказано спосіб отримання будь-якого члена послідовності.

Наприклад. {xn} = {(-1)n} або {xn} = -1; 1; -1; 1; {xn} = {sin n/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0.

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

1)	множення послідовності на число m: m{xn} = {mxn}, тобто mx1, mx2, ….
2)	додавання (віднімання) послідовностей: {xn}					{yn} = {xn yn}.
3)	добуток послідовностей: {xn} {yn} = {xn yn}.
4)	частка послідовностей:	xn		xn	при {yn}	0.
		yn		yn

Обмежені і необмежені послідовності

Означення. Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо існує таке число

М>0, що для будь-якого n вірна нерівність:

xn M ,

тобто усі члени послідовності належать проміжку (-М; M).

Означення. Послідовність {xn} називається обмеженою зверху, якщо для будь-

якого n існує таке число М, що

xn M.

Означення. Послідовність {xn} називається обмеженою знизу, якщо для будь-

якого n існує таке число М, що

xn M.

Наприклад. {xn} = n – обмежена знизу {1, 2, 3, … }.

Означення. Число а називається границею послідовності {xn}, якщо для будь-

якого додатного >0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:

	a x n	.
Позначається: lim xn = a.
В цьому випадку кажуть, що послідовність {xn} збіжна до а при n			.

Властивість. Якщо відкинути деяке число членів послідовності, то утворяться нові послідовності, при цьому якщо збігається одна з них, то збігається і друга.

Теорема. Послідовність не може мати більш однієї границі.

Теорема. Якщо xn	a, то		xn		a		.
Теорема. Якщо xn	a, то послідовність {xn} обмежена.

Слід зауважити, що зворотне твердження є невірним, тобто із обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

	1	1			, при парному n
		n
	Наприклад, послідовність xn				не має границі, хоча		xn		2.
		1
	2				, при непарному n
			n

Границя функції в точці

y

f(x)

A +

A

A -

0

a - a a +

x

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х = а (тобто в самій точці х

= а функція може бути і не визначена).

Означення. Число А називається границею функції f(x) при х а, якщо для

будь-якого >0 існує таке число >0, що для всіх х таких, що

	0 <	x - a <
виконується нерівність	f(x) - A < .
Це означення може бути записано в іншому вигляді:
Якщо а- < x < a+ , x	a, то виконується нерівність А- < f(x) <A+ .
Запис границі функції в точці: lim f (x)		A
	x a