Математика для економістів Заоч. 2010 ч

ознайомитись з елементами аналітичної геометрії на площині, вивчити види рівнянь прямої на площині, умови паралельності і перпендикулярності прямих на площині,

вміти визначати кут між двома прямими.

План заняття

1.Вектор, довжина вектора, властивості векторів.

2.Дії над векторами.

3.Поняття базису. Система координат.

4.Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів.

5.Геометричне застосування добутків векторів.

6.Рівняння прямої на площині.

7.Кут між прямими на площині.

8.Відстань від точки до прямої на площині.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Елементи векторної алгебри

Означення. Вектором називається направлений відрізок (впорядкована пара точок). До векторів відноситься також і нульовий вектор, початок і кінець якого співпадають.

Означення. Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і

кінцем вектора.

АВа

Означення. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор є колінеарним будь-якому вектору.

Означення. Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, якій вони паралельні.

Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

Означення. Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково направлені і мають одинакові модулі.

Всякі вектори можна привести до спільного початку, тобто побудувати вектори, відповідно рівні даним і які мають спільний початок. Із означення рівності

векторів випливає, що будь-який вектор має нескінченно багато векторів, що дорівнюють йому.

Означення. Лінійними операціями над векторами називається сума і множення

на число.

Сумою векторів є вектор - c

a

b

Множення на число:

b

a

b

a;

, при цьому вектор a

є колінеарним b .

> 0.

Вектор a

сонаправлений з вектором b

( a

b ), якщо

< 0.

Вектор a

протилежно направлений з вектором b

( a

b ), якщо

Властивості векторів

1)

- комутативність.

a

+ b = b +

a

2)

+

+

a

+ ( b

с ) = ( a

b )+ с

3)

+

=

a

0

a

4)

=

a

+(-1) a

0

5)

(

=

(

) a

a ) – асоціативність

6)

(

+

+

- дистрибутивність

) a =

a

a

7)

+

( a

b ) =

a +

b

8)

1

a

= a

Означення. 1) Базисом в просторі називаються будь-які 3 не компланарних вектора, які взяті у визначеному порядку.

2)Базисом на площині називаються будь-які 2 не колінеарні вектори, які взяті у визначеному порядку.

3)Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.

Означення. Якщо e1 , e2 , e3 - базис в просторі і a e1

e2 e3 , то числа , і

- називаються компонентами або координатами вектора в цьому базисі. a

Властивості:

-рівні вектори мають одинакові координати;

-при множення вектора на число його компоненти також множаться на це число:

a

( e1

e2

e3 ) = ( )e1 ( ) e2 ( ) e3 .

- при додаванні векторів додаються їх відповідні компоненти:

a	1 e1		2 e2	3 e3 ;	b	1 e1	2 e2	3 e3 ;
	+		= ( 1				3 )e3 .
a		b		1 )e1 ( 2	2 )e2	( 3

					Лінійна залежність векторів
	Означення. Вектори a1 ,..., an					називаються лінійно залежними, якщо існує така
лінійна комбінація					1 a1 2 a2 ...	n an	0 , при не рівних нулю одночасно			i, тобто
2	2	...	2	0 .
1	2		n
Якщо ж лише при					i = 0 виконується		1 a1	2 a2 ...	n an 0 , то вектори називаються
лінійно незалежними.
	Властивість				1. Якщо серед	векторів		ai є	нульовий вектор, то ці	вектори

лінійно залежні.

Властивість 2. Якщо до системи лінійно залежних векторів додати один або декілька векторів, то отримана система також буде лінійно залежна.

Властивість 3. Система векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли один з векторів розкладається в лінійну комбінацію решти векторів.

Властивість 4. Будь-які 2 колінеарних вектора лінійно залежні і, навпаки, будь-

які 2 лінійно залежні вектори колінеарні.

Властивість 5. Будь-які 3 компланарних вектора лінійно залежні і, навпаки,

будь-які 3 лінійно залежні вектори компланарні.

Властивість 6. Будь-які 4 вектора лінійно залежні.

Система координат

Для визначення положення довільної точки можуть використовуватись різні системи координат. Положення довільної точки в деякій системі координат повинно однозначно визначатись. Поняття системи координат являє собою сукупність точки початку відліку (початок координат) і деякого базису. Як на площині, так і в просторі можливо завдання самих різноманітних систем координат. Обрання системи

координат залежить від характеру поставленої геометричної, фізичної або технічної задачі.

Декартова система координат

Зафіксуємо в просторі точку О і розглянемо довільну точку М.

Вектор ОМ назвемо радіус-вектором точки М. Якщо в просторі задати деякий базис,

то точці М можна сопоставити деяку трійку чисел – координати її радіус-вектора.

Означення. Декартовою системою координат в просторі називається сукупність точки і базису. Точка називається початком координат. Прямі, що

проходять через початок координат називаються осями координат. 1-я вісь – вісь абсцис; 2-я вісь – вісь ординат; 3-я вісь – вісь аплікат.

Щоб знайти координати вектора треба із координат його кінця відняти

координати початку.

Якщо задані точки А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), то АВ = (x2 –x1, y2 –y1, z2– z1).

Означення. Базис називається ортонормованим, якщо його вектори попарно

ортогональні і дорівнюють одиниці.

Означення. Декартова система координат, базис якої ортонормований

називається декартовою прямокутною системою координат.

Довжина вектора в координатах визначається як відстань між точками початку і кінця вектора. Якщо задані дві точки в просторі А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то

AB

(x

2

x )2

( y

2

y )2

(z

2

z )2 .

1

1

1

Якщо точка М(х, у, z) ділить відрізок АВ у відношенні / , починаючи від точки

А, то координати точки М визначаються як:

x

x1

x2

; y

y1 y2

; z

z1 z2

.

Зокрема, координати середини відрізку знаходяться як:

x =

(x1 + x2)/2;

y = (y1 + y2)/2;

z = (z1 + z2)/2.

Лінійні операції над векторами в координатах

Нехай задані вектори в прямокутній системі координат

a(xA , yA , z A ); b(xB , yB , zB ), тоді лінійні операції над ними в координатах мають вид:

a b c(xA xB ; y A yB ; z A zB ); a ( xA ; y A ; z A )

Скалярний добуток векторів

Означення.

Скалярним добутком

векторів

і

називається число, яке

a

b

дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

=

a

b

a

b cos

Властивості скалярного добутку:

1)

=

2

;

a

a

a

2)

= 0.

a

b

= 0, якщо a

b

або a = 0 або b

3)

=

a

b

b

a ;

4)

+ c ) =

c ;

a

( b

a

b + a

5)

(m a ) b

= a (m b ) = m( a

b ); m=const

Якщо розглядати вектори		a(xa , ya , za ); b(xb , yb , zb ) в декартовій прямокутній
системі координат, то
		= xa xb + ya yb + za zb.
a	b

Використовуючи отримані рівності, отримаємо формулу для обчислення косинуса кута між векторами:

xa xb

ya yb

za zb

.

cos

a

b

Векторний добуток векторів

Означення. Векторним добутком векторів

і

називається вектор

, який

a

b

c

задовольняє наступним умовам:

1)

sin

, де

- кут між векторами

, sin

0;

0

;

c

a

b

a

і b

2) вектор

;

c є ортогональним векторам a і b

утворюють правую трійку векторів.

3) a

, b

і c

Позначається: c

a

b

або c

[a,b] .

c

b

a

Властивості векторного добутку векторів:

1)
	b	a	a		b ;
2)											= 0 або
	a	b	0 , якщо a					b або a
3) (m a )			b	= a		(m b ) = m( a					b );
4)			+							;
	a	( b		с ) =		a	b	+ a с
5)	якщо задані вектори									(xa, ya, za)
									a

координат з одиничними векторами

a

b = 0;

і b (xb, yb, zb) в декартовій прямокутній системі

				, то
i , j, k
				i	j	k
	=							;
b			xa		ya	za
			xb		yb	zb

6) геометричним

змістом

векторного

добутку

векторів

є

площа паралелограма,

побудованого на векторах

a

і b .

Мішаний добуток векторів

Означення.

Мішаним добутком векторів

і

називається

число, що

a ,

b

c

дорівнює скалярному

добутку вектора

який

дорівнює

векторному

a на вектор,

добутку векторів

і

b

c .

Позначається

,

a

b

c або ( a

b

, c ).

Мішаний добуток

по модулю дорівнює об‟єму паралелепіпеда, побудованого

a

b

c

і

на векторах a

, b

c .

b	c

a

c

b

Властивості мішаного добутку: 1) Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо:

а) хоча б один з векторів дорівнює нулю;

б) два з векторів колінеарні;

в) вектори компланарні.

2)

(a b) c a (b c)

3)

(a,b, c)

(b, c, a)

(c, a,b)

(b, a, c)

(c,b, a)

(a, c,b)

4)

( a1

a2

,b, c)

(a1

,b, c)

(a2

,b, c)

5)

Об‟єм трикутної піраміди, яка утворена векторами

і

, дорівнює

a

, b

c

1

a, b, c

6

, z1) ,

, y3 , z3 ) , то

6)

Якщо a

(x1, y1

b

(x2 , y2 , z2 ),

c

(x3

x1

y1

z1

.

(a, b, c)

x2

y2

z2

x3

y3

z3

Рівняння прямої на площині

Означення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

Причому константи А, В не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2 + В2 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

	В залежності від значень констант А,В і С можливі наступні випадки:
-	C = 0, А	0, В	0	– пряма проходить через початок координат;
-	А = 0, В	0, С	0	{ By + C = 0}- пряма паралельна осі Ох;

- В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – пряма паралельна осі Оу;

-В = С = 0, А 0 – пряма співпадає з віссю Оу;

-А = С = 0, В 0 – пряма співпадає з віссю Ох.

Рівняння прямої може бути представлено в різних видах в залежності від будь-

яких заданих початкових умов.

Рівняння прямої по точці і вектору нормалі

Означення. В декартовій прямокутній системі координат вектор з координатами (А, В) перпендикулярний прямій , що задана рівнянням Ах + Ву + С =

0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай на площині задані дві точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), тоді рівняння прямої,

що проходить через ці точки:

x	x1		y	y1	.
x2	x1		y2	y1

Рівняння прямої по точці і кутовому коефіцієнту Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до виду:

y

A

x

C

B

B

і позначити

A

k;

C

b;

тобто

y

kx

b , то

отримане

рівняння називається

B

B

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці і напрямному вектору

Означення.

Кожен ненульовий

вектор

2),

координати якого

а ( 1,

задовольняють умову А 1 + В

2 = 0 називається напрямним вектором прямої Ах + Ву

+ С = 0.

Рівняння прямої у відрізках на осях

Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С = 0 С

0, то, поділивши на –С,

отримаємо:

А

х

В

у

1 або

С

С

x

y

1

, де

a

b

a

C

; b

C

A

B

Геометричний зміст коефіцієнтів в тому, що коефіцієнт а є координатою точки

перетину прямої з віссю Ох, а b – координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Нормальне рівняння прямої

Якщо

обидві частини

рівняння

Ах

+ Ву + С = 0 поділити

на число

1

, яке називається нормуючим множником, то отримаємо:

A2 B 2

xcos + ysin

- p = 0 - нормальне рівняння прямої.

Знак

нормуючого множника необхідно обирати таким чином, щоб

С < 0; р –

довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а

- кут,

утворений цим перпендикуляром з додатнім напрямом осі Ох.

Кут між прямими на площині

Означення. Якщо задані дві прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2, то гострий кут між

цими прямими буде визначатись як

tg

k2

k1

.

1

k1k2

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А1х + В1у + С1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А1 = А, В1 = В. Якщо ж і С1 = С, то прямі співпадають.

Координати точки перетину двох прямих знаходяться як розв‟язок системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій

Означення. Пряма, що проходить через точку М1(х1, у1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b зображується рівнянням:

y y	1	(x x )
1	k	1

Відстань від точки до прямої

Теорема. Якщо задана точка М(х0, у0), то відстань до прямої Ах + Ву + С =0

визначається як

																	d		Ax0		By0				C	.
																				A2			B2
																			Приклади
1.		Задані вектори									2;		3),									(2;			1; -1) і d (3; 2; 2) в деякому базисі.
									a (1;						b (-1; 0; 3),						с
Показати, що вектори																	утворюють базис і знайти координати вектора d в
											a ,		b і		с
цьому базисі.
		Розв'язок. Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто, якщо
рівняння, що входять в систему:
													2				0
											2		0				0					лінійно незалежні.
											3		3				0
Тоді d					a		b		c .
Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відрізняється від нуля.
																			1		2
																		1
																		2	0		1			0 ;
																		3	3			1
		1	2			0 1				2 1				2 0			3 ( 2 3) 12 4 0 ;
	1
	2 0 1												2
	3	3	1			1	1			3	1			3	3
		a1	b1		c1		d1
		a2	b2		c2		d 2 .
		a3	b3		c3		d3

Для розв‟язання цієї системи скористаємося методом Крамера.

1 =		d1			b1	c1		3		1	2			0 1			2 1				2 0
		d2			b2	c2		2		0	1		3							2				3( 3) ( 2 2) 12	1.
		d3			b3	c3		2		3	1			3	1		2	1			2	3
1					1/ 4	;
		a1			d1	c1			1	3	2
2 =		a2			d2	c2			2	2	1		( 2		2)	3( 2		3)		2(4		6)		4 15 4 7;
		a3			d3	c3			3	2	1
2					7 / 4;