Математика для економістів Заоч. 2010 ч

Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято в якості довільних значень брати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку – 3, -2, 1/3. Отримаємо:

40A	16	A	2 / 5
35B	21	B	3 / 5
C 1		C	1

Остаточно отримаємо:

6x5

8x4

25x3

20x2

76x 7

dx =

2

x3

3x 3

dx

2

dx

5

dx

3x3

4x2

3

x 2

x 3

3x 1

17x 6

2

x

3

3x 3ln

x 2

2 ln

x 3

5

ln

3x 1

C.

3

3

3x4

14x2

14.

7x

15

dx

A

dx

Bx

C

dx

Dx

E

dx

(x 3)(x2

2)2

x

3

(x2

2)2

x2

2

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

A(x 2

2)2

(Bx

C)(x

3)

(Dx

E)(x

3)(x 2

2)

3x 4

14x 2

7x

15

D

A

3

Ax 4

4Ax 2

4A

Bx 2

3Bx

Cx

3C

Dx 4

2Dx 2

3Dx3

6Dx Ex3

3D

E

0

2Ex 3Ex 2

6E (D A)x 4 (3D E)x3 ( A B 2D 3E 4A)x 2

B 2D 3E 4 A 14

(3B C 6D 2E)x (2A 3C 6E 4 A)

3B C 6D 2E 7

3C

6E

4A 15

D

3

A

E

9

3A

B

6 2 A

27

9 A 4 A 14

3B

C

18

6 A

18

6 A

7

3C

54

18A 4 A 15

D

3

A

D

3

A

A

3

E

9

3A

E

9

3A

B

2

B 11A

35

11A

35

B

C

1 .

3B

C

7

C

7

3B

D

0

3C

22A

69

21

9B

70

2B

69

E

0

Тоді значення заданого інтегралу:

3

dx

2x

1

dx 3

dx

2

x

dx

dx

3ln

x 3

1

x 3

(x 2

2)2

x 3

(x 2

2)2

(x2

2)2

x 2

2

x

1

arctg

x

C.

4(x 2

2) 4

2

2

3x3

7x 2

1

dx

15.

dx ( Ax 2

Bx

C)

x 2

2x

5

.

x 2

x 2

2x

5

2x 5

Тепер продиференцюємо отриманий вираз, помножимо на

ax2

bx

c і зведемо

коефіцієнти при однакових степенях х.

3x3

7x2

1

Ax 2

Bx C

(x 1)

(2Ax B) x2

2x 5

x2

x2

x2

2x 5

2x 5

2x 5

(2 Ax B)(x 2

2x 5) ( Ax 2

Bx C)(x 1)

= 3x3

7x2

1

2Ax3

4Ax2

10Ax

Bx2

2Bx

5B

Ax3

Bx2

Cx

Ax2

Bx

C

=

3x3

7x2

1

3Ax 3

(5A

2B)x 2

(10A

3B C)x

5B

C

3x3

7x 2

1

A

1

A

1

5A 2B 7

B

1

10A 3B C

0

C

13

5B

C

1

7

3x3

7x2

1

dx

Отже

dx

(x2

x

13)

x2

2x

5

7

=

x2

2x 5

(x

1)2

4

= (x2

x

13) x2

2x

5

7 ln(x

1

x2

2x

5)

C.

dx

x

2

; dx

2 sin t

dt;

2 sin t costdt

1

cost

cos2 t

ctg 4tdt

x(x 2

4)5 / 2

cos2 t

2

25 tg 5t

32

x 2

4

2tgt;

1

ctg 2t

1

1 dt

1

ctg 2td (ctgt)

1

ctg 2tdt

1

ctg 3t

1

1

1 dt

16.

32

sin2 t

32

32

96

32

sin2 t

17.

1

ctg 3t

1

ctgt

t

C

ctgt

2

1

1

96

32

32

12(x 2

4)3 / 2

x 2

4

16

x 2

4

1

arccos

2

C.

32

x

x

atgt; dx

a

dt;

cos3 tdt

sin2 t)d sin t

dx

cos2 t

a costdt

1

(1

a

cos2 ta4tg 4ta

a 4 sin4 t

a 4

sin4 t

x 4

a 2

x 2

a

2

x

2

;

18.

cost

1

1

a 2

x

(a 2

x 2 )3 / 2

a 2 x 2

C

sin t

1

C.

3a 4 sin3 t a 4 sin t

a 2

x 2

a 2

x 2

3a 4 x3

a 4 x

x

a sin t;

a

2

a 2

x 2 dx

a 2

a 2 sin2 ta costdt

a 2 cos2 tdt

(1

cos2t)dt

dx

a costdt

2

a 2t

a 2

a 2t

a 2

a 2

x

x

sin 2t C

sin t cost

C

arcsin

a 2 x 2

C.

2

4

2

2

2

a

2

19.

12 x 1 t; x 1 t12 ;

3 x 1

4 x 1

dx

6

12t11dt;

(x

1) 1

x 1

dx

12

t 3

dt

t 2

dt

12

t

t

dt

t 2

1

t 2

1

t 2 1

12

dt

6t 2

12t

6 ln(t 2 1)

12arctgt

C

1 t 2

12arctg12 x

1

C.

	(t 4				t 3 )12t11dt					12		t 3	t 2	dt
		t12 (1						t 2 )				t 2	1
1					1			dt		12 tdt 12					tdt			12 dt
																			20.
			t	2										t	2
							1										1
66		x			1		1212 x			1 6 ln(6			x		1		1)

dx

4

2dx

dx

2t 3 dt

t 2 dt

1

2x

t; dt

;

2

3

2t 3

t 2

t 1

1 2x 4 1 2x

4 4

t

1 2x

2

t

t

dt

2 tdt

2

t

dt

t 2

2

1

1

dt

t 2

2t

2 ln

t

1

C

t

1

t

1

t

1

21.

1 2x 24 1 2x 2 ln

4 1 2x 1

C.

dx

2dt

2

dt

2

dt

9

8 cos x

sin x

(1

t 2 ) 9

8(1

t 2 )

2t

t 2

2t

17

(t

1)2

16

1

t 2

1

t 2

Завдання

tg

x

1

1

t

1

1

arctg

C

arctg

2

C.

2

4

2

4

Невизначений інтеграл

1. Знайти інтеграли для заданих функцій:

В. 1			В. 2
1. y 3 2x 1;			1. y x x 1 ;

	2.	y	sin5x;											2.	y		cos2x;
	3.	y	1					.						3.	y						1							.
			x2			3
																				3 x 2
	В. 3															В. 4
	1.													1.	y e 2 x ;
		y	4 2 x;
	2.	y	sin 2x 1 ;											2.	y	cos						1			x 3 ;
																					2
	3.	y	1										.	3.	y	1								.
																	x2				3
					3 x 2
	В. 5															В. 6
															y 5 4 x ;
	1.	y x5				x 1 ;								1.
	2.	y e3 x ;												2.
															y				2 3x;
	3.	y	1									.		3.	y	1									.
																	x2				4
					x 2	3

Методи інтегрування (підведення функції під знак диференціала; зміна змінної;

інтегрування частинами) 2. Знайти інтеграли для заданих функцій:

В. 1

В. 2

1.

y

e3 cos x sin x;

1.

y

ln t

4

;

t

2.

y

1

;

2.

y

x

;

x 2x 9

x4

1

3.

y

ln x .

3.

y

arctgx.

В. 3

В. 4

1.

y

x2

3x 1 10

2x 3 ;

1.

y

1

;

x ln x

e

2 x

e 2 x

2.

y

;

2.

y

;

e 4 x

5

e 4 x

5

3.

y

x sin x .

3.

y

x ln x.

В. 5

В. 6

1.

y

sin x cos ;

1.

y

cos sin x cos x;

		2ln x 3	3
2.	y			;	2.	y	x2		x3 5;
		x
3.	y arcsin x .				3.	y	x	ex .

Інтегрування раціональних дробів

3. Знайти інтеграли для даних функцій:

В. 1
1.	y		1			;
		x2		6x	25
2.	y				1		;
		x	1 x		2 x 3
3.	y	x		.
		x	1

В. 3

1.	y	3					;
		2x2			x
2.	y		1							;
		x x	1				x	2
3.	y	2x2		.
		x 1
В. 5
1.	y		1						;
		25		x2				6x
2.	y					1					;
		x	3			x		1 x 2
3.	y	x			.
		2x	1

		В. 2
1.	y				1							;
			x2			6x			25
2.	y				1								;
			x x		1				x	1
3.	y			x2		.
			x 1
		В. 4
1.	y				1							;
			6x			x2			25
2.	y								1						;
				x	1 x					2 x 3
3.	y			x			.
				x	2
		В. 6
1.	y				1						;
		25				x2			x
2.	y				1									;
			x x		2				x	1
3.	y			x2				.
			2x		1

Інтегрування ірраціональних виразів

4. Знайти інтеграли для даних функцій:

В. 1

В. 2

В. 3

1. y

x

;

1. y

x

;

1. y

x

;

x 2

2x 5

x 2 2x 5

2x x 2 5

2.

y

6

x

.

2.

y

x

.

2.

y

3 x

.

x

1

1

3 x

1

x

В. 4

В. 5

В. 6

1.

y

x

;

1.

y

x

;

1.

y

x

;

5 x 2

2x x 2

x 2

2x

5

2x 3

1

1

2.

y

.

2.

y

.

2. y

1

x

.

1 2x

4 1 2x

x 2 x2

2x

x 2 x

Інтегрування тригонометричних функцій

5. Знайти інтеграли для даних функцій:

В. 1

В. 2

В. 3

1.

y

1

;

1.

y

1

;

1.

y

1

;

sin x

cos x

5

3cos x

5

4sin x

2.

y

cos5 x

sin 2x;

2.

y

sin2 x

cos2 x;

2.

y

1

2cos x 2 ;

3.

y

sin3x cosx;

3.

y

cos3x sin x;

3.

y

sin2x cos2x;

4.

y

4 x 2

.

4.

y

1

.

4. y

x 2

.

x

x 4

x 2

x 2

4

В. 4

В. 5

В. 6

1.

y

1

;

1.

y

1

; 1. y

1

;

cos x

2sin x

2 cos x sin x

2 cos x 3sin x

2.

y

sin 2x

;

2.

y

tg 3 x;

2.

y

1

;

cos4 x

sin4

x

3.

y

tg 2 x;

3.

y

sin3 x

cos2 x;

3.

y

sin x cos2x;

4.

y

9

x

2

.

4.

y

x

1

.

4.

y

x

.

x

x 9

x 2

x 2

9

Питання для самоконтролю

31.Що називається первісною даної функції? Навести приклади.

32.Сформулювати теорему про існування первісної.

33.Сформулювати та довести основні властивості невизначеного інтеграла.

34.У чому суть інваріантності формули інтегрування?

35.Які раціональні дроби називаються елементарними?

36.Як інтегруються елементарні дроби?

37.Як інтегруються елементарні дроби?

38.Який раціональний дріб називається правильним?

39.Записати розкладання правильного раціонального дробу на елементарні

дроби.

40.В чому полягає метод інтегрування раціонального дробу?

41.Записати розкладання багаточлена на лінійні множники та квадратні тричлени з дійсними коефіцієнтами.

42.Навести приклади інтегрування раціональних функцій.

43.Як обчислюються інтеграли sinn x cosm xdx ?

44.У якому випадку кажуть, що невизначений інтеграл не є елементарною функцією? Навести приклади.

Тема 12. Інтегральне числення

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати поняття та методи обчислення визначеного інтегралу, формулу Ньютона – Лейбниця.

План заняття

1.Визначений інтеграл та його властивості.

2.Формула Ньютона – Лейбниця.

3.Заміна змінної у визначеному інтегралі.

4.Формула інтегрування частинами для визначеного інтегралу.

5.Наближене обчислення визначеного інтегралу.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Визначений інтеграл

Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція f(x). Позначимо через m і M

найменше і найбільше значення функції на відрізку [a,b] . Розіб‟ємо відрізок [a,b] на частини (не обов‟язково однакові) n точками x0 < x1 < x2 < … < xn.

Тоді x1 x0= x1, x2–x1= x2, … ,xn–xn-1= xn;

y M

m

0

a

xi

b

x

На кожному із отриманих відрізків знайдемо найменше і найбільше значення

функції.

[x0,x1]

m1, M1; [x1, x2]

m2, M2; … [xn-1, xn]

mn, Mn.

Складемо суми:

n

S n = m1 x1 + m2 x2 + … +mn xn = mi

xi

i

1

n

S n = M1 x1 + M2 x2 + … + Mn xn = M i

xi

i

1

Сума S називається нижньою інтегральною сумою, а сума S – верхньою

інтегральною сумою.

Так як mi

Mi, то S n

S n,

а

m(b – a)

S n S n

M(b – a).

Всередині кожного відрізку оберемо деяку точку .

x0 < 1 < x1, x1 < < x2, … , xn-1 < < xn.

Знайдемо значення функції в цих точках і складемо вираз, який називається

інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [a,b].

n

Sn = f( 1) x1 + f( 2) x2 + … + f( n) xn =

f ( i ) xi

i 1

Тоді можна записати: mi

xi

f( i)

xi

Mi

xi

n

n

n

Отже,

mi xi

f (

i ) xi

M i

xi

i

1

i 1

i

1

Sn

Sn

Sn .

Позначимо max xi – найбільший відрізок розбиття, а min xi – найменший.

Якщо max xi

0, то число відрізків розбиття відрізка [a,b] прямує до нескінченності.

n

n

Якщо Sn

f ( i )

xi

, то

lim

f (

i ) xi

S.

i 1

max

xi 0

i 1

Означення. Якщо при довільних розбиття відрізку [a,b] таких, що max xi 0 і

	n
довільному виборі точок i інтегральна сума Sn	f ( i ) xi прямує до границі S, яка
	i 1

називається визначеним інтегралом від f(x) на відрізку [a,b] .

b

Позначення : f (x)dx , де а – нижня границя, b – верхня границя, х – змінна

a

інтегрування, [a,b] – відрізок інтегрування.

n

b

Означення. Якщо для функції f(x)		існує границя lim						f (	i ) xi	f (x)dx, то
						max xi	0	i 1		a
функція називається інтегруємо на відрізку [a,b] .
				n		b
Також виконуються твердження:	lim			mi	xi	f (x)dx
max		xi	0	i 1		a
		n				b
lim			M i xi			f (x)dx
max xi	0	i 1				a

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] , то вона інтегровна на

цьому відрізку.

Властивості визначеного інтеграла

	b	b
1)	Af (x)dx A f (x)dx;
	a	a
	b	b	b
2)	( f1 (x)	f2 (x))dx f1 (x)dx	f2 (x)dx ;
	a	a	a
	a
3)	f (x)dx	0 ;
	a
				b	b
4)	Якщо f(x) (x) на відрізку [a,b]			a < b, то f (x)dx	(x)dx ;
				a	a
5)	Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на
	відрізку [a,b], то:
				b
		m(b a)		f (x)dx M (b a)
				a
6)	Теорема про середнє. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] , то на
	цьому відрізку існує точка		така, що

b

f (x)dx (b a) f ( ) .

a

7)Для довільних чисел a, b, c справедлива рівність:

b	c	b
f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx .
a	a	c

b	a
8) f (x)dx	f (x)dx .
a	b

Узагальнена теорема про середнє. Якщо функції f(x) і (x) неперервні на відрізку [a,b], і функція (х) знакопостійна на ньому, то на цьому відрізку існує точка

, така, що

b	b
	f (x) (x)dx f ( )	(x)dx .
a	a
Обчислення визначеного інтеграла
b
Нехай в інтегралі f (x)dx	нижня границя	а=const, а верхня границя b

a

змінюється. Очевидно, що якщо змінюється верхня границя, то змінюється і значення інтегралу.

x

Позначимо f (t)dt = Ф(х). Знайдемо похідну функції Ф(х) по змінній верхній

a

границі х.

d	x
	f (t)dt f (x) .

dx a

Аналогічну теорему можна довести для випадку змінної нижньої границі.

Теорема. Для всякої функції f(x), неперервної на відрізку [a,b] , існує на цьому відрізку первісна, а отже, існує невизначений інтеграл.

Теорема (Теорема Ньютона – Лейбниця). Якщо функція F(x) – будь-яка первісна від неперервної функції f(x), то

b

f (x)dx F(x)		b	F(b) F(a) - формула Ньютона – Лейбниця.
		a

a

Обчислення визначених інтегралів практично нічим не відрізняється від всіх тих методів, які були розглянуті вище при знаходженні невизначених інтегралів.