Математика для економістів Заоч. 2010 ч

План вивчення теми

1.Дослідження функції на екстремум.

2.Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

3.Умовний екстремум функції багатьох змінних.

4.Метод Лагранжа.

5.Типові оптимізаційні задачі економіки в сфері виробництва і споживання:

прибуток від виробництва товарів.

6.Задача цінової дискримінації.

7.Оптимізацій ний розподіл ресурсів.

8.Гранична норма заміни факторів.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується вивчити та законспектувати такі поняття, як екстремум функції багатьох змінних, умовний екстремум функції багатьох змінних.

Розглянути типові оптимізаційні задачі економіки.

Питання для самоконтролю

1.Що називається найбільшим і найменшим значенням функції з n невідомими?

2.Які достатні умови існування екстремуму функції двох змінних?

3.Записати схему дослідження функції двох змінних на екстремум.

4.У чому полягає метод множників Лангранжа ?

5.За яких умов функція двох змінних називається опуклою вниз?

6.Сформулювати умови існування точки умовного максимума (мінімума).

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Модуль І Змістовий модуль 4. Інтегрування функцій. Диференціальні та різницеві рівняння

Тема 12. Інтегральне числення

Мета роботи. Знати поняття невизначеного інтеграла, основні методи інтегрування. Вміти обчислювати визначений та невласні інтеграли, досліджувати інтеграли на збіжність. Виробити практичні навички застосування визначеного інтеграла в економіці.

План вивчення теми

1.Невизначений інтеграл та його властивості.

2.Первісна. Геометричний зміст невизначеного інтеграла.

3.Таблиця інтегралів основних функцій.

4.Інтегрування методом заміни змінної. Інтегрування частинами.

5.Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

6.Визначений інтеграл, геометричний зміст. Основні властивості визначеного інтеграла.

7.Формула Ньютона-Лейбниця. Методи інтегрування.

8.Наближене обчислення визначеного інтеграла за формулами прямокутників,

Симпсона.

9.Невласні інтеграли з однією або обома нескінченими границями.

10.Поняття про подвійний інтеграл.

11.Дослідження збіжності інтегралів.

12.Приклади застосування визначеного інтеграла в економіці.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Рекомендується вивчити поняття невизначеного інтеграла та первісної,

таблицю інтегралів основних функцій. Опанувати основні методи обчислення невизначеного, визначеного та невласних інтегралів, дослідження збіжності інтеграла. Набути навички застосування визначеного інтеграла в економіці.

Питання для самоконтролю

1.Що називається первісною даної функції? Навести приклади.

2.Сформулювати теорему про існування первісної.

3.Сформулювати та довести основні властивості невизначеного інтеграла.

4.У чому суть інваріантності формули інтегрування?

5.Які раціональні дроби називаються елементарними?

6.Як інтегруються елементарні дроби?

7.Як інтегруються елементарні дроби?

8.Який раціональний дріб називається правильним?

9.Записати розкладання правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

10.В чому полягає метод інтегрування раціонального дробу?

11.Записати розкладання багаточлена на лінійні множники та квадратні тричлени з дійсними коефіцієнтами.

12.Навести приклади інтегрування раціональних функцій.

13.Як обчислюються інтеграли sinn x cosm xdx ?

14.У якому випадку кажуть, що невизначений інтеграл не є елементарною функцією? Навести приклади.

15.Що називається визначеним інтегралом?

16.Записати формулу Ньютона-Лейбніца.

17.У чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу?

18.Сформулювати теорему про існування визначеного інтеграла.

19.Сформулювати та довести властивості збереження знака визначеного

інтеграла.

20.Сформулювати та геометрично проілюструвати теорему про оцінку інтеграла.

21.Сформулювати та геометрично проілюструвати теорему про середнє значення.

22.Сформулювати теорему про похідну від інтеграла зі змінною верхньою межею.

23.У чому полягає метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

24.У чому полягає метод заміни змінної?

25.Що називається невласним інтегралом першого роду?

26.Що називається невласним інтегралом другого роду?

27.Яке значення називають подвійним інтегралом?

28.У чому полягає геометричний зміст подвійного інтеграла?

29.Поняття повторного інтегралу.

30.Зв'язок між подвійним та повторним інтегралами.

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та

різницеві рівняння

Мета роботи. Вивчити основи диференціального числення. Вміти визначати тип диференціального рівняння та методи його розв‟язання. Знати поняття

різницевих рівнянь та їх застосування в економіці.

План вивчення теми

1.Диференціальні рівняння.

2.Геометричний зміст загального і частинного розв‟язків. Задача Коші.

Особливі розв‟язки.

3.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

4.Однорідні диференціальні рівняння.

5.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння Бернуллі.

6.Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні поняття та визначення.

7.Диференціальні рівняння, які розв‟язуються методом зниження порядку.

8.Однорідні і неоднорідні лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами другого і вищих порядків. Характеристичне рівняння.

9.Різницеві рівняння. Основні поняття: сітки та сіткові функції, лінійні звичайні різницеві рівняння та властивості їх розв‟язків.

10.Лінійні однорідні та неоднорідні різницеві рівняння. Системи лінійних різницевих рівнянь.

11.Застосування різницевих рівнянь в економіці: модель ринку з запізненням збуту, ринкова модель з запасами, динамічна модель Леонтьєва.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується вивчити та законспектувати такі поняття, як диференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні диференціальні рівняння першого порядку,

диференціальні рівняння вищих порядків, різницеві рівняння та властивості їх розв‟язків. Ознайомитись із застосуванням різницевих рівнянь в економіці.

Питання для самоконтролю

1.Яке диференціальне рівняння називається звичайним?

2.Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

3.Що називається розв‟язком диференціального рівняння?

4.Дати означення загального та частинного розв‟язків диференціального рівняння першого порядку.

5.Сформулювати теорему Коші про існування та єдність розв‟язку рівняння першого порядку.

6.Дати означення рівняння з відокремлюваними змінними. Як воно розв‟язується?

7.Дати означення лінійного рівняння першого порядку та викласти метод його інтегрування.

8.Навести рівняння, звідні до лінійних та викласти методи їх інтегрування.

9.Дати означення рівняння Бернуллі. Як воно розв‟язується?

10.Які методи розв‟язування лінійних рівнянь ви знаєте?

11.Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами?

12.Яке рівняння називається характеристичним?

13.Як знаходять характеристичне рівняння?

14.Який вигляд має загальний розв‟язок рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами, якщо:

А. Корені характеристичного рівняння дійсні та різні?

Б. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені?

15.Дайте визначення сітки, сіточної функції

16.Яку форму має лінійне різницеве неоднорідне рівняння n-го порядку з змінними коефіцієнтами?

17.Властивості розв‟язків лінійних різницевих рівнянь.

18.Властивості розв‟язків лінійних однорідних рівнянь.

19.Можливі випадки типів коренів характеристичних рівнянь однорідних

різницевих рівнянь.

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Модуль І.

Змістовний модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки

Тема 14. Ряди та їх застосування

Мета роботи. Знати поняття числових та функціональних рядів. Набути навички розкладання функції в степеневий ряд. Вміти досліджувати ряд на збіжність та застосовувати степеневі ряди для наближених обчислень.

План вивчення теми

1.Числові ряди.

2.Збіжні і розбіжні ряди. Необхідна ознака збіжності ряду.

3.Основні властивості рядів.

4.Геометричний, гармонічний, узагальнений гармонічний ряди.

5.Ряди з додатними членами. Теореми порівняння. Достатні признаки збіжності: Даламбера, Коші радикальний та інтегральний.

6.Ряди з додатними і від'ємними членами, знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Теорема Лейбниця.

7.Степеневі ряди. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.

8.Властивість степеневого ряду: почленне диференціювання та інтегрування.

Розкладання функцій в степеневі ряди.

9.Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Вивчити теоретичні відомості, ознайомитись з поняттями числового та функціонального рядів, необхідними та достатніми ознаками збіжності знакододатних та знакозмінних рядів. Опанувати застосування степеневих рядів для наближених обчислень.

Питання для самоконтролю

1.Що називається числовим рядом? Що називається загальним членом ряду?

Навести приклади.

2.Який ряд називається збіжним? Що називається його сумою? Який ряд називається розбіжним? Навести приклади.

3.Сформулювати та довести необхідну ознаку збіжності ряду. У чому полягає найпростіша достатня ознака розбіжності. Навести приклади.

4.Сформулювати та довести такі достатні ознаки збіжності: ознаки порівняння,

граничну ознаку порівняння; ознаки Д‟Аламбера і Коші; інтегральну ознаку Коші. Для яких рядів застосовані ці ознаки?

5.Сформулювати та довести ознаку Лейбниця. Для якого ряду застосована ця ознака?

6.Чому не можна досліджувати за ознакою Лейбниця на збіжність ряд

n 1

n 1

un

n 1 * 2n

1

n n

Lim

1

Lim

2n 1

Lim

Lim

un

n

n * 2

n 1

n

2

n

n

n

n

2

2n

n

7.У чому полягає наслідок із ознаки Лейбниця?

8.Сформулювати та довести достатню ознаку збіжності знакозмінного ряду.

9.Дайте визначення степеневого ряду.

10.Сформулюйте теорему збіжності степеневого ряду (теорема Абеля)

11.Як знайти радіус збіжності степеневого ряду.

12.Які властивості степеневого ряду?

13.Теорема про єдиність розкладу функцій в степеневі ряди.

14.Запишіть формулу Маклорена.

15.Запишіть формулу Тейлора.

16.Розкладання елементарних функцій в ряди Маклорена.

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки

Мета роботи. Вивчення теми надасть студентам можливість знати нарахування простих та складних відсотків, зрозуміти встановлення необхідної відсоткової ставки,

вміти розраховувати номінальну ставку та ефективну ставку.

План вивчення теми

1.Прості і складні відсотки у фінансових розрахунках.

2.Необхідна відсоткова ставка , дисконтування, неперервні відсотки.

3.Еквівалентність простих і складних ставок відсотків.

4.Розрахунок номінальної ставки і ставки ефективності.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Використовуючи список літератури, що наведено у посібнику, ознайомитись з основами фінансової математики. Письмово надати відповіді на запитання для самостійної роботи.

Питання для самоконтролю

1.Сформулюйте суть відсотків, відсоткових ставок та назвіть їх види.

2.Розрахунки за простими відсотками . Врахування інфляції.

3.Обчислення складних відсотків та урахування інфляції.

4.Що називається дисконтуванням?

5.Сформулюйте принцип еквівалентності у фінансових обчисленнях.

6.Як розраховується номінальна ставка і ставка ефективності?

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

4. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Модуль І. Вища математика

Змістовий модуль І. Алгебра і аналітична геометрія

Практичне заняття №1

Тема 1. Елементи теорії матриць і визначників

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати основні види матриць, набути навички виконання дій з матрицями, вивчити властивості визначників та способи їх обчислення, побудову оберненої матриці.

План заняття

1.Означення матриці та види матриць.

2.Лінійні дій з матрицями. Множення двох матриць.

3.Визначники та їх властивості.

4.Обернена матриця.

5.Ранг матриці.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел. Горизонтальні послідовності чисел називаються рядками, вертикальні – стовпцями. Числа, що утворюють матрицю, називаються її елементами. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка і стовпця, на перетині яких він знаходиться.

Елементи матриці позначаються aij, де i- номер рядка, а j- номер стовпця.

		a11	a12	...	a1n
	А =	a21	a22	...	a2n
		...	... ... ...
		am1	am 2	...	amn

Основні дії над матрицями Матриця може складатись як з одного рядка, так і з одного стовпця. Взагалі

кажучи, матриця може складатись навіть з одного елемента.

Означення. Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості стовпців (m=n),

то матриця називається квадратною.

Означення. Матриця виду:

1	0 ...	0
0	1 ...	0	= E,
... ... ... ...
0	0 ...	1

називається одиничною матрицею.

Означення. Якщо amn = anm , то матриця називається симетричною.

2	1	5
Приклад. 1	3	6	- симетрична матриця.
5	6	4

		a11	0	...	0
	Означення. Квадратна матриця виду	0	a22	...	0	називається
		...	...	...	0
		0	0	...	ann

діагональною матрицею.

Додавання і віднімання матриць зводиться до відповідних операцій над їхніми елементами. Самою головною властивістю цих операцій є те, що вони визначені

лише для матриць однакового розміру.

Означення. Сумою (різністю) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різність) елементів вихідних матриць.

cij = aij bij

С = А + В = В + А.

Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.

		a11	a12 ...		a1n
	A	a21	a22 ...		a2n
		...	...	...	...
		am1	am 2 ...		amn

(А+В) = А В А() = А А

Операція множення матриць

Означення. Добутком матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:

A B = C;

n
сij	aik bkj .
k	1

Із наведеного означення видно, що операція множення матриць визначена лише для матриць, кількість стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої. Такі матриці називаються узгодженими.

Властивості операції множення матриць

1)Множення матриць не комутативне, тобто АВ ВА навіть якщо визначені обидва добутки. Однак, якщо для деяких матриць співвідношення АВ=ВА виконується, то такі матриці називаються перестановочними.

Наприклад, одинична матриця є перестановочною з будь-якою матрицею такого ж розміру.

Перестановочними можуть бути лише квадратні матриці одного і того ж порядку.

А Е = Е А = А Очевидно, що для будь-яких матриць виконується наступна властивість:

A O = O; O A = O, де О – нульова матриця.

2)Операція множення матриць асоціативна, тобто якщо визначені добутки АВ

и(АВ)С, то визначені ВС і А(ВС), і виконується рівність:

(АВ)С=А(ВС).