Математика для економістів Заоч. 2010 ч

горизонтальна асимптота – частинний випадок похилої – відшукується як похила асимптота за умов

	k	lim	f (x)	0 , b lim f (x)	kx	lim f (x)
			x
		x		x		x
	і має вигляд y			b . До речі, умову lim			f (x)	0 можна не перевіряти, якщо b			lim f (x) -
							x
					x						x
	скінчена границя, оскільки в такому разі границя k lim								f (x)	завжди дорівнює нулю.
									x
								x
	Звідси можна зробити висновок:
	Для того що пряма y b				була горизонтальною асимптотою функції y=f(x),
	x (a;	) , x	(	; a) , необхідно і достатньо, щоб існувала скінчена границя b							lim f (x)

x

.

Загальний план дослідження функції

Процес дослідження функції складається із декількох етапів. Для найбільш повного уявлення про поведінку функції і характер її графіка необхідно визначити:

1) Область існування функції.

Це поняття включає в себе і область значень і область визначення функції.

2)Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.

3)З‟ясувати точки перетину функції з осями координат.

4)Дослідити функцію на неперервність. Встановити точки розриву (якщо вони є).

5)Визначити інтервали зростання і спадання функції.

6)Знайти точки максимуму і мінімуму та значення функції в цих точках.

7)Знайти максимальне і мінімальне значення функції на її області визначення

(якщо вони існують).

8)Визначити області опуклості і вгнутості, а також точки перегину функції.

9)Знайти асимптоти графіка функції (якщо вони існують).

10)Побудувати графік функції.

Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі (див. приклад 6).

Приклади

1. Функція f(x)= 1 має в точці х0=0 точку розриву 2 – го роду, так як
х
lim	f (x)	;	lim f (x)		.
x 0 0			x 0 0
		7.5
			5
		2.5
-10	-5			5	10
		-2.5
		-5
		-7.5
2. Дослідити функцію на неперервність f(x) =				sin x .
				x
Функція не визначена в точці х=0, але має в ній скінчену границю lim f (x)						1 , тобто в
					x 0
точці х=0 функція має точку розриву 1–го роду. Це – усувна точка розриву, так як
якщо довизначити функцію:

	sin x			,	при	x 0 .
f (x)		x
1,			при		x	0

Графік цієї функції:

		1
	0.	8
	0.	6
	0.	4
	0.	2
- 20	- 10	10	20
	- 0. 2

3. Знайти асимптоти і побудувати графік функції y		x2	2x 1	.
			x
1) Вертикальні асимптоти: y +	при x 0-0; y	-	при x 0+0, отже, х= 0-
вертикальна асимптота.

2) Похилі асимптоти:

k lim	x 2	2x 1			lim 1	2	1			1
		x	2			x		x	2
x					x

b lim( f (x) x)

lim

x2

2x 1

x lim

x2 2x 1 x2

lim

2x 1

lim 2

1

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Таким чином, пряма у=х+2 є похилою асимптотою.

Побудуємо графік функції:

			6
			4
			2
- 3	- 2	- 1	1	2	3
			- 2

	9x
4. Знайти асимптоти і побудувати графік функції y		.
	9 x 2

Прямі х = 3 і х = -3 є вертикальними асимптотами кривої.

Знайдемо похилі асимптоти: k

lim

9

0 ;

9

x

2

x

9

9x

b

lim

lim

x

0

;

x

2

9

x

9

x

1

x 2

Отже, y=0 – горизонтальна асимптота.

Побудуємо графік цієї функції.

																		6
																		4
																		2
									- 7. 5			- 5			- 2. 5					2. 5			5	7. 5
																		- 2
																		- 4
																		- 6
5. Знайти асимптоти і побудувати графік функції y																				x2	2x		3 .
																				x	2
Пряма х=-2 є вертикальною асимптотою кривої.
Знайдемо похилі асимптоти:
																				1	2		3
				k	lim		x 2		2x 3			lim		x 2			2x 3				x		x 2	1.
							x(x		2)					x		2	2x		lim			2
					x							x							x
																				1
																						x
																									4	3
b	lim	x 2	2x 3			x		lim		x 2		2x 3 x 2						2x		lim	4x 3			lim		x	4
			x	2									x			2					x		2			2
	x							x												x				x	1
																										x
Отже, пряма у = х – 4 є похилою асимптотою.
Графік функції:
									20
									15
									10
										5
		- 10			- 5											5				10
									- 5
									- 10
									- 15
									- 20
6. Дослідити функцію								y		x3	1 і побудувати її графік.
									x2
Знаходимо область існування функції. Очевидно, що областю визначення
функції є область (-					; -1)		(-1; 1)			(1;			).

Також є очевидним, що прямі х=1, х=-1 являються вертикальними

асимптотами кривої.
Областю значень даної функції є інтервал (-					; ).
Точками розриву функції є точки х = 1, х = -1.
Знаходимо критичні точки.
Знайдемо похідну функції
y	3x2 (x2	1) 2x x3		3x4 3x2	2x4		x4	3x2	.
	(x2	1)2		(x2 1)2			(x2	1)2

Критичні точки: x = 0; x = - 3 ; x = 3 ; x = -1; x = 1.

Знаходимо проміжки зростання і спадання функції. Для цього визначаємо знаки похідної функції в проміжках:

-< x < - 3 , y> 0, функція зростає

-3 < x < -1, y< 0, функція спадає

-1 < x < 0,

y < 0,

функція спадає

0 < x < 1,

y < 0,

функція спадає

1 < x <

3 ,

y < 0,

функція спадає

3 < x <

,

y > 0,

функція зростає.

Видно, що точка х=-

3

є точкою максимуму,

а точка х= 3

є точкою мінімуму.

Значення функції в цих точках дорівнюють відповідно -3

3 /2 і 3

3 /2.

Обчислимо другу похідну функції

y

(4x3

6x)(x2

1)2

(x4

3x2 )4x(x2

1)

(x2

1)4

(4x3 6x)(x4

2x2

1)

(x4

3x2 )(4x3

4x)

(x2

1)4

4x7

8x5

4x3

6x5

12x3

6x 4x7 4x5

12x5 12x3

(x2

1)4

2x5	4x3 6x		2x(x4	2x2 3)		2x(x2	3)(x2 1)		2x(x2	3)	.
(x2	1)4		(x2	1)4		(x2	1)4		(x2	1)3

Визначимо опуклість і вгнутість кривої на проміжках.

-< x < - 3 , y< 0, крива опукла

-3 < x < -1, y< 0, крива опукла

-1 < x < 0,

y

> 0, крива вгнута

0 < x < 1,

y

< 0,

крива опукла

1 < x <

3 ,

y

> 0,

крива вгнута

3 < x <

,

y

> 0,

крива вгнута

Про вертикальні асимптоти було вже сказано вище. Тепер знайдемо похилі

асимптоти:

k

lim

x 2

lim

1

1;

x

2

1

1

x

x

1

x 2

1

x3

x3

x3

x

x

x

0 .

b

lim

x

lim

lim

lim

x

2

x

2

1

x

2

1

1

x

1

x

x

x

1

x 2

Отримали рівняння похилої асимптоти – y=x.

Побудуємо графік функції:

		4
		3
		2
		1
- 2	- 1	1	2
		- 1
		- 2
		- 3
		- 4

7. Знайти кути перетину ліній:

															x		2			y		2			24 та y					1		x		2	.
																													2
Розв'язок. Знаходимо точки перетину ліній:
2 y y2				24 , y2							2 y 24 0 ,
y1			1			1	24 ,
12
y				1 5 4 ,				y				1 5 6				,		6				1			x	2		x	.
										2
1																						2
4	1	x	2		2
				, x		8	,	x				2 2 , x			2	2		2 , 2								2,4 ,			2			2,4 – точки перетину ліній.
	2							1

Для першої лінії:

2x 2yy 0 ,

y	2x						x	,
	2 y						y
									2		2							2						,
k	y 2	2,4
1									4									2
									2		2								2			.
k	y	2 2,4
1											4							2

Для другої лінії: y x ,

k2 y 2 2 2 2 , k2 y 2 2						2 2 .
Кут між кривими знаходиться за формулою

tg		k2			k1			, tg											k2			k1			,
													1
	1			k2k1														1 k2						k1
											2
				2	2
																4					2			2			5			2						5	2
tg											2																						,		arctg				.
	1																				2 1			2						2				1		2
													2
	1			2	2
											2

tg

tg

		k2		k1				,
2	1 k2			k1
								2
	2		2
															4				2	2		5			2		5			2						5	2
								2																									,		arctg					.
2															2 1					2					2					2				2			2
									2
	1		2			2
								2

8. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено значення

arctg(1,05).

Розв'язок. Нехай f ( x)

arctg x, тоді маємо

arctg(x

x)

arctg x

(arctg x) x;

arctg(x

x)

arctg x

x

.

1

x 2

Якщо x 1,

x

0,5, то arctg1,05

arctg1

0,5

0,025

0,811.

2

4

9. Знайти екстремум функції:

y

x3

3x 9x 1.

Розв'язок. Знайдемо похідну і прирівняємо її до нуля: y

3x2

6x

9

0,

x1

1 та x2

3

y 6x 6 , y 1

6 6 12 0, y 3 18 6 12 0

ymax

y

1

1

3 9

1

6 , ymin

y 3

27 27

27

1

26 .

2e3

10.

Знайти найбільше й найменше значення функції

y

x2

на сегменті

[8, 8] .

		4e	3 x2
Розв'язування. Функція неперервна на сегменті. Похідна функції	y					не
		33
				x

дорівнює нулю на інтервалі (8, 8) , але в точці x 0 її не існує. Це критична точка

функції y 2e3 x2 . При переході через цю точку зліва направо похідна змінює знак із мінуса на плюс, тому функція в точці x 0 має мінімум. Так як на розглянутому сегменті у функції існує єдиний екстремум–мінімум, то знайдений мінімум і є найменшим значенням функції на сегменті. Це найменше значення дорівнює 2,

найбільше значення функції – 2e2 досягається в кінцевих точках сегмента: x
			8 ,
1
x2 8 .
		Завдання

Дослідити функції на екстремум і побудувати їх графіки:

В.1

y

2

В.2

y

x

2

x

2

4

x

4

В.3

y

x2

1

В.4

y

2x2

x 3

x

6

2x

3

x

1

3

В.5

y

В.6

y x ln x

x

1

Питання для самоконтролю

8.Яка функція називається неперервною в точці?

9.Яка функція називається неперервною на відрізку?

10.Сформулювати властивості неперервних функцій.

11.Що називається асимптотою функції, Якими бувають асимптоти?

12.Сформулювати необхідну і достатні умови існування екстремуму функції однієї змінної.

13.Викласти схему дослідження функцій.

14.Як визначити найменше та найбільше значення функції на відрізку?

Тема 8. Граничний (маргінальний) аналіз

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати застосування похідної в економіці, такі граничні показники в мікроекономіці, як

гранична собівартість продукції, граничний дохід, граничні витрати, гранична продуктивність праці і т.п., також гранична схильність до споживання та збереження в макроекономічній моделі національного доходу. А також еластичність економічних показників.

План заняття

1.Граничні показники в мікроекономіці.

2.Еластичність економічних показників.

3.Максимізація прибутку.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Граничні показники в економіці Розглянемо два граничних показники в економіці: гранична собівартість та

граничні витрати.

Перший з них пов‟язаний із залежністю собівартості С виготовленої продукції від її обсягу Q : C f (Q). Так звана гранична собівартість характеризує собівартість

C приросту продукції Q :

MC QC .

В припущенні про неперервну залежність C від Q доцільна заміна різницевого відношення його границею:

	MC lim	C	C'(Q) .
		Q
	Q 0

Зазвичай, під граничною собівартістю розуміють саме цю величину (див.

Приклад 1).

Еластичність економічних показників В аналізі і прогнозах цінової політики застосовується поняття еластичності

попиту. Нехай D f (P) - функція попиту від ціни товару P . Тоді під еластичністю попиту розуміють процентну зміну попиту при зміні ціни товару на один процент:

E

D D 100% .

PP 100%

У випадку неперервної залежності P від Q зручно перейти до границі при

P 0 :