Математика для економістів Заоч. 2010 ч

Розмір дисконту, або облік, що утримується банком,

D Snd .

Складні проценти

Формула нарощування за складними процентами Складні проценти застосовуються в довгострокових фінансово-кредитних

операціях, якщо проценти на сплачуються періодично відразу після їх нарахування за минувший період часу, а додаються до суми боргу. Приєднання нарахованих процентів до суми, яка була базовою для їх нарахування, називають капіталізацією

процентів.	Нехай початкова сума боргу дорівнює P ,		S -	нарощена сума,	i - річна
ставка складних процентів; n - термін суди, тоді
	S	P(1 i)n .
Втому випадку, коли ставка складних процентів змінюється в часі, формула
нарощування набуває вигляду:
	S P(1 i )n1	(1 i )n2 .....(1	i )nk	,
	1	2	k
де i1,i2 ,..., ik	- послідовність значень ставок процентів,		що діють в періоди		n1, n2 ,..., nk

відповідно.

Номінальна та ефективна ставки процентів та їх облік

Означення. Нехай річна ставка складних відсотків дорівнює j , а число періодів нарахування протягом ріку m . Тоді щоразу проценти нараховуються за ставкою j m . Ставка j називається номінальною. Нарахування процентів за номінальною ставкою відбувається за формулою

S	P(1 j m)S ,
де N - кількість періодів нарахування, N	mn .

Означення. Ефективна ставка показує, яка річна ставка складних процентів

дає той самий фінансовий результат, що і m - разове нарощування в рік за ставкою

j m .

Якщо проценти капіталізуються m раз на рік, кожного разу за ставкою j m , то можна записати рівність для відповідних множників нарощування:

(1 i )n	(1 j m)m n ,
e

де ie - ефективна ставка, а j - номінальна ставка. Звідси отримаємо, що зв‟язок між ефективною і номінальною ставками виражається співвідношенням

ie (1jm)m 1.

Нарахування процентів в умовах інфляції Нарахування за простими процентами

Якщо нарощення за n років сума грошей складає S , а індекс цін дорівнює JP ,

то реально нарощена сума грошей з урахуванням їх покупної спроможності складає

C S JP .

Нехай очікуваний середній річний темп інфляції дорівнює h . Тоді річний

індекс цін складає (1 h) .

Якщо нарощування відбувається за простою ставкою протягом n років, то реальне нарощування при темпі інфляції h складає

C P(1 ni)JP ,

де в загальному випадку

	n
JP	(1 ht ) .
t	1

Нарахування за складними процентами Нарощення за складними процентами сума до кінця строку суди з урахуванням

падіння покупної спроможності грошей складає

C	P(1 i)n		,
		J
			P
	n
де індекс цін визначається виразом JP	(1 ht ) . В цьому випадку падіння покупної
	t 1
спроможності грошей компенсується при ставці i			h , яка забезпечує рівність C	P .
Фінансові ренти
Означення. Потік платежів, всі	члени	якого додатні величини, а		часові

інтервали постійні, називають фінансовою рентою.

Нехай наприкінці кожного року протягом		n років на розрахунковий рахунок
вноситься по R грошових одиниць, проценти нараховуються один раз на рік за
ставкою i . Наприкінці строку ренти її нарощена сума буде дорівнювати:
S R	(1 i)n	1	.
	i

Знайдемо нарощену суму за умови, що рента сплачується p раз на рік рівними платежами, а проценти нараховуються один раз наприкінці року.

Якщо R - річна сума платежів, то розмір окремого платежу дорівнює R p . Тоді нарощена сума обчислюється за формулою:

	S R	(1	i)n	1	.
		p (1	i)1| p	1

Приклад

1. Нехай фірмою взято в банку кредит у розмірі 100 тис. грн. на строк 3 роки.

Річна декурсивна ставка відсотків – 14%. Обчислити за формулою розрахунку простих відсотків суму відсоткових грошей та кінцеву суму боргу.

Розв'язок. Річна плата за кредит складає 14% від суми кредиту, тобто 14 тис. грн.

Оскільки розраховуються прості відсотки при сталій базі нарахування (100 тис. грн.),

щороку нараховується однакова сума (14 тис. грн.). За три роки плата за кредит складе 14*3=42 (тис. грн.). Кінцева сума боргу включає початкову суму боргу та плату за користування грошима: 100+ 42=142 (тис. грн.).

2. Нарощена сума грошей склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка – 4%

річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.

Розв'язок. Початкова сума грошей за простими відсотками дорівнює:

	P0	S	6		3.3	тис. грн.
		1 in	1 20 * 4

Початкова сума грошей за складними відсотками дорівнює:

	P0	S		6		2.7	тис. грн.
		1 i	n	1 0.04 20

Завдання

1. Фірмою взято кредит розміром 100 тис. грн. на рік. За умовою контракту відсотки нараховують щокварталу. Щоквартальна декурсивна відсоткова ставка півроку становить 3%, а кожного наступного кварталу збільшується на 1 пункт. Яку величину відсоткових грошей та кінцеву суму боргу повинна повернути фірма після завершення строку позики?

2.Нарощена сума склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка – 4% річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.

3.Якою буде реальна купівельна спроможність суми 100 тис. грн. через три роки, якщо нараховується 16% в рік за ставкою складних відсотків, а прогнозований рівень інфляції 15% щороку.

4.Кредит надано під 24% складних річних. Якою повинна бути еквівалентна ставка простих відсотків, якщо термін кредиту: а) 2 роки; б) півроку?

5.Банк нараховує за позику відсотки за номінальною ставкою 24%. Яка реальна дохідність фінансового зобов'язання, якщо відсотки нараховуються :

а) щомісяця, б) щокварталу, в) півроку?

Питання для самоконтролю

1.Сформулюйте суть відсотків, відсоткових ставок та назвіть їх види.

2.Розрахунки за простими відсотками . Врахування інфляції.

3.Обчислення складних відсотків та урахування інфляції.

4.Що називається дисконтуванням?

5.Сформулюйте принцип еквівалентності у фінансових обчисленнях.

6.Як розраховується номінальна ставка і ставка ефективності?

Література [1,2,4]

5. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ ДОМАШНЬОЇ

КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

1.Варіанти домашньої контрольної роботи обираються за порядковим номером студента в журналі обліку проведення занять викладача.

2.Під час виконання індивідуального завдання необхідно користуватися „Методичними рекомендаціями до практичних занять” та рекомендованою літературою.

Домашню контрольну роботу слід оформити відповідно до наступних вимог: А) Титульний аркуш; Б) Завдання № 1; В) Завдання № 2; Г) Завдання № 3; Д) Завдання № 4;

і т.д.

Варіант №1

Iсеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

				x	y	z	15,
				2x		y	8, .
					z	7.
2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:
				4		2	1
				1	3		1 .
				1		2	2
3.	1) Знайти	косинус	кута між		векторами AB і			AC . A(1;	2;3) , B(0; 1;2) ,
C(3; 4;5) .
2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках								A1, A2 , A3, A4	і його висоту,
опущену із вершини A4		на грань	A1 A2 A3 .	А1 (1,3,6),

A2 (2,2,1),

A3 ( 1,0,1),

A4 ( 4,6, 3).

4.Прибуток від продажу 50 одиниць деякого товару становить 50 грн., 100 од. – 200 грн. Визначити прибуток від продажу 500 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5.Подані координати вершин трикутника АВС :А (- 2,1,2) В (-4,-5,3) С (4,-2,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(3

n)2

(3

n)2

n

1

n . ; г)

а) lim

.; б)

limn( n2

1

n2

1) ; в) lim

2

2

n

(3

n)

(3

n)

n

n

n

1

(x3

lim

2x

1)(x 1)

. ; д) lim

1 2x

3

.

x

4

4x

2

5

x

1

x

4

x

2

7. Продиференціювати вказані функції:

x

arcsint

f (s)

1

2

а)

3

; б)

1

;

в) arctgy

xy

arcsin x

0 .

1 s 2

y

cos3 t

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y	x3	4	.
	x2

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) sin136 ;
	б) 5 .

10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z y2 2x2 7x у замкнутій області, обмеженій еліпсом

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

	x2
		y 2	1.
	4

а) (4 3x)e 3x dx. ; б)

dx

. ; в)

x3 6x2

13x 9

dx.

x

x 2

1

(x

1)(x

2)3

12. Знайти визначені інтеграли

а) e2

1

1 ln(x 1)

dx. ; б) a

7

x 3 dx

;

в)

2

dx

.

2

e

1

x 1

0

3

a

2

x

2

3 x 3

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

y	x 2 5x 6, y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

11

x2 8 dx .

1

15.

Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:

а) 4xdx

3ydy

3x 2 ydy

2xy 2 dx. ; б)

y

y 2

4

y

2. ;

x 2

x

в) y

y

x2

, y(1)

0.

г) 3x 2 e y dx

(x 3 e y

1)dy

0.

x

16.

Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

3y

2 y

1

x2.

17.

Обчислити (12x2 y 2

16x3 y3 )dxdy; D : x

x2 , y

1, y

x.

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

n 1

1

n

n2

2n

1

а)

; б)

. ; в)

( 1)n 1

.

2 n (n 1)!

3n

n

1

n(n

1)

n 2

n 1

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

(n

2)3

(x

3)2n .

n 1

2n

3

20. Позичку у 80 тис. грн. надано на півроку під 8% річних. Визначити ставку простих відсотків, що враховує інфляцію, та суму платежу, якщо річний індекс інфляції 110,1%.

Варіант №2

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

3x	5 y	z	17,
y	7	0,
4x	5 y	2z	31.
			2	1	0
2. Знайти власні значення і власні вектори матриці: 1				2	0 .
			1	1	1

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(0, 3,6),

B( 12, 3, 3),

C( 9, 3, 6).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 4,2,6),

A2 (2, 3,0),

A3 ( 10,5,8),

A4 ( 5,2, 4).

4. Витрати виробництва 100 одиниць деякого товару складають 300 грн., а 500

одиниць – 600 грн. Визначити витрати виробництва 400 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (- 4,1,1), В (1,10,2), С (8,3,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(3

n)4

(2

n)4

2n

3 n 1

а) lim

. ; б)

n2

3) ; в) lim

. ; г)

lim n(

n(n

2)

(1

n)

4

(1

n)

4

2n

1

n

n

n

x3

3x

2

lim

.; д)

lim

1

x

3

.

x

1

x

x2

x

8

2

3 x

7. Продиференціювати вказані функції:

а) f ( x) ( x 1)( x

2)( x

3) ; б)

x

1

cos t

; в)

x 2 y 2

e x y tgx

0 .

y

ln t 2

7

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x2

x

1

.

x

1

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)3 1,02 ; б) 120 .

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z x 2 2 y 2 2x 8 y 5 у замкнутім трикутнику, обмеженому осями координат і

прямою x y 4 .

ІІ семестр

11.

Знайти невизначені інтеграли:

1

ln x

dx.; в)

x3

6x2

13x 8

dx.

а) arctg

4x

1dx.; б)

2)3

x

x(x

12.

Знайти визначені інтеграли

1

(x

2

1)dx

/ 2

xe x2 dx .

а)

. ; б)

e2 x cos xdx ; в)

(x3

3x 1)2

0

0

0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій

(вісь обертання Ох):

2x x2 y 0,

2x2 4x y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4

x 2 16dx .

2

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

xy

3y3

2 yx2

.

2 y

2

x2

а) x 1 y 2

yy 1 x2

0. ; б)

;

в) y yctgx

2x sin x, y(

/ 2)

0. ; г) (3x 2

2

cos

2x

)dx

2x

cos

2x

dy 0.

y

y

y 2

y

16.

Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

y

6x 2

3x.

17.

Обчислити (9x2 y 2 48x3 y3 )dxdy; D : x

x2 .

1, y

x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

4 n

2n

n

n

n

n 4

( 1) n 1

а)

; б)

. ; в)

.;

3n 5

2n 1

n 1 (n)!

n 1

n 1

19.

Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x

3)n .

n 1 n

1 5n

20. Річний кредит розміром 200 тис. грн. видано під просту декурсивну ставку

12%. Визначити суму відсоткових грошей і кінцеву суму боргу.

Варіант №3

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x y 4z 21, z 2,

x y 4z 4.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

3 1 1

0 2 1 .

01 2

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(3,3, 1),

B(5,5, 2),

C(4,1,1).