Математика для економістів Заоч. 2010 ч

Означення. Якщо f(x)	A1 при х	а лише при x < a,	то lim	f (x) A1 -
			x a 0
називається границею функції f(x) в точці х = а зліва, а якщо f(x)			A2 при х	а лише

при x > a, то lim f (x) A2 називається границею функції f(x) в точці х = а справа.

x a 0

Зазначене означення відноситься до випадку, коли функція f(x) невизначена в самій точці х = а, але визначена в деякому довільному околі цієї точки.

у

f(x)

А2

А1

0

a

x

Границі А1 і А2 називаються також односторонніми границями функції f(x) в

точці х = а.

Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності

Означення. Число А називається границею функції f(x) при х , якщо для будь-якого числа >0 існує таке число М>0, що для всіх х, х >M виконується нерівність

A f (x)

При цьому припускається, що функція f(x) визначена в околі нескінченності.

Позначають: lim f (x)	A.
x
Графічно можна зобразити:
y	y
A	A

0

x

0

x

lim g(x)

x a

y	y
A	A

0

x

0

x

Аналогічно можна визначити границі

для будь-якого х<M.

lim f (x)	A для будь-якого х>M і lim f (x) A
x	x

							Основні теореми про границі
Теорема 1. limC			C , де С = const.
	x a
Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f(x) і g(x) мають
скінченні границі при х					а.
Теорема 2. lim( f (x)					g(x))			lim f (x)		lim g(x)
	x a							x a		x a
Теорема 3. lim[ f (x)					g(x)]			lim f (x)		lim g(x)
	x a							x a		x a
Наслідок. limC			f (x)				C lim f (x)
x	a						x	a
		f (x)				lim f (x)
Теорема 4.	lim					x	a		при lim g(x) 0
	x a	g(x)				lim g(x)				x a
						x	a

Теорема 5. Якщо f(x)>0 в околі точки х=а і lim f (x) A , то А>0.

x a

Аналогічно визначається знак границі при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.

Теорема 6. Якщо g(x) f(x) u(x) в околі точки х=а і

limu(x) A , то і

x a

lim A .

x a

Означення. Функція f(x) називається обмеженою в околі точки х = а, якщо існує таке число М>0, що f(x) <M в околі точки х = а.

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінчену границю при х	а, то вона
обмежена в околі точки х = а.
Нескінченно малі функції
Означення. Функція f(x) називається нескінченно малою при х	а, де а може
бути числом або однією з величин , + або - , якщо lim f (x) 0 .
x a

Нескінченно малою функція може бути лише якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малою

або ні.
Наприклад. Функція f(x) = xn є нескінченно малою при х					0 і не є нескінченно
малою при х	1, так як lim f (x) 1 .
	x	1
Теорема. Для того, щоб функція f(x) при х				а мала границю, яка дорівнює А,
необхідно і достатньо, щоб в околі точки х=а виконувалась умова
			f(x) = A + (x),
де (х) – нескінченно мала при х			а ( (х) 0 при х	а).
Властивості нескінченно малих функцій:
1) Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при х					а також нескінченно
мала функція при х а.
2) Добуток	фіксованого	числа	нескінченно малих функцій при х а також
нескінченно мала функція при х			а.

3) Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену в околі точки х=а є

нескінченно малою функцією при х а.

4)Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Нескінченно великі функції і їх зв‟язок з нескінченно малими

Означення. Границя функції f(x) при х а, де а- число, дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М>0 існує таке число >0, що нерівність

f(x) >M

виконується при всіх х, які задовольняють умові

0 < x - a < .

Позначається: lim f (x)	.
x a

Якщо в означенні замінити умову f(x) >M на f(x)>M, то отримаємо:

lim f (x)		,
x	a
а якщо замінити на f(x)<M, то:
lim f (x)		.
x	a

Графічно наведені випадки можна зобразити наступним чином:

a

x

a

x

a

x

Означення.	Функція називається нескінченно великою при х а, де а – число
або одна з величин	, +	або - , якщо lim f (x)				A , де А – число або одна з величин ,
			x a
+ або - .
Теорема. Якщо f(x)		0 при х а (якщо х				) і не дорівнює нулю, то
		y	1			.
				f (x)

Порівняння нескінченно малих функцій Нехай (х), (х) і (х) – нескінченно малі функції при х а. Будемо позначати ці

функції , і відповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їх спадання, тобто по швидкості їх наближення до нуля.

Наприклад, функція f(x)=x10 прямує до нуля швидше, ніж функція f(x)=x.

Означення. Якщо lim			0 ,		то функція	називається нескінченно малою більш
x a
високого порядку, ніж функція .
Означення. Якщо lim				A,	A 0, A	const , то і називаються нескінченно
x a

малими одного порядку.

Означення.

Якщо

lim

1,

то функції

і

називаються еквівалентними

x

a

нескінченно малими. Записують:

~ .

Наприклад. Порівняємо нескінченно малі при х 0 функції f(x)=x10 і f(x) = x.

lim

x10

lim x9

0

x

a x

x a

тобто функція f(x)=x10 – нескінченно мала більш високого порядку, ніж f(x) = x.

Означення. Нескінченно мала функція

називається нескінченно малою

порядку k відносно нескінченно малої функції

,

якщо границя lim

скінчена і

k

x a

відмінна від нуля.

Властивості еквівалентних нескінченно малих

1) ~ ,

lim

1

;

x

a

2) Якщо

~

і

~

, то

~ ,

lim

lim

1 1 1 ;

x

a

x a

3) Якщо

~

, то

~

,

lim

lim

1

1

;

x a

x a

4) Якщо ~

1 і

~

1

і lim

k , то і lim

1

k або lim

lim

1

.

x

a

x a

x

a

x a

1

1

Наслідок. а) якщо

~

1

і lim

k , то і lim

lim

1

;

x a

x a

x a

б) якщо

~

1

і lim

k , то lim

lim

.

x

a

x a

x a

1

Деякі важливі границі

Розглянемо lim

P(x)

, де P(x) = a0xn + a1xn-1

+…+an, Q(x)=b0xm+b1xm-1 +…+bm -

Q(x)

x

многочлени.

x n (a

a1

...

an

)

a

a1

...

an

P(x)

0

x

0

x

n

x

n

x n m

x

Q(x)

x

m

(b

b1

....

bm

)

b

b1

...

bm

0

x

x m

0

x

x m

	a0	a1		...		an
lim		x				x n		a0
		b1			bm			b
x	b0			...
							0
		x			x m

0,

при

n

m

Тоді: lim

P(x)

a0

,

при

n

m

Q(x)

x

b0

,

при

n

m

Перша важлива границя:

lim

sin x

1 .

x

x 0

1

x

Друга важлива границя:

lim 1

e .

x

x

Окрім двох зазначених важливих границь, можна записати наступні корисні на

практиці співвідношення:

lim

ln(1 x)

1;

lim

a x

1

ln a;

lim

(1 x)m

1

m.

x

x

x

x 0

x 0

x 0

Приклади

1.Знайти границю lim tg5x

x0 sin 7x

Розв'язок. Так як tg5x ~ 5x і

sin7x ~ 7x при х

0, то,

замінивши функції

еквівалентними нескінченно малими, отримаємо:

lim

tg5x

lim

5x

5

.

sin 7x

7x

7

x

0

x 0

2.

Знайти границю lim

x3

.

x

0

1

cos x

Розв'язок. Так як 1–cosx= 2 sin2

x

~ 2

x

2

при х

0, то lim

x3

lim

x3

lim2x 0 .

2

2

x 0

1

cos x

x

0

x2

x 0

2

3.

Знайти границю lim

tgx

lim

x

.

sin x2

x2

x

0

x

0

4.

Знайти границю lim

tgmx

lim

mx

m

.

x

0

sin nx

x

0

nx

n

5.

Знайти границю:

lim

tgx

tgx0

lim

sin(x

x0 )

lim

sin(x

x0 )

lim

1

1

1

1

x

x0

(x x0 ) cos x cos x0

x

x0

cos x cos x0

cos

2

x0

cos

2

x0

x x0

x x0

x x0

x x0

6.

Знайти границю:

2

sin(

/ 4

x)

sin x

cos x

sin(

/ 4

x)

1

lim

lim

2

lim

.

4x

4x

x

/ 4

x

/ 4

x

/ 4 2 2( / 4 x)

2 2

7. Знайти границю:

cos x

y

/ 2

x

cos(

/ 2

y)

sin y

1

lim

x

/ 2

y

lim

lim

.

2x

2 y

2

x

/ 2

y 0

y

0

y

2x

2 y

8. Знайти границю:

x

3

x 3

x

1

4 x

3

y

x

1

y

4

y 4

4

y

4

4

lim

lim

x

lim

lim 1

lim 1

x

1

x 1

y

y

y

x

x

y

y

y

y

4 z

1 z

4

z

y

lim 1

1

lim 1

e4

4

z

z

z

z

9. Знайти границю: lim

x2

6x

8

.

x2

x 2

8x

12

Розв'язок. Для знаходження цієї границі розкладемо на множники чисельник і

знаменник:

x2 – 6x + 8 = 0;

x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4;

D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4;

x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2 ;

x2 = (8 – 4)/2 = 2;

Тоді lim

(x

2)(x

4)

lim

x

4

2

1

.

(x

2)(x

6)

x

6

4

2

x 2

x 2

10. Знайти границю: lim

1

x x 2

1 x x 2

.

2

x 0

x

x

Розв'язок. Помножимо чисельник і знаменник дробу на спряжений вираз:

lim

1 x x2

1 x x2

lim

2x

=

2

1.

1 (1 1)

x

0 x(x

1)( 1

x

x2

1 x

x2 )

x

0 x(x

1)(

1 x

x2

1 x x2 )

11. Знайти границю: lim

x2

5x

6

.

x

2

9

x

3

Розв'язок.

lim

x 2

5x 6

x 2

5x

6 (x

2)(x

3)

lim

(x

2)(x

3)

3

2

1

.

x 2

9

(x

3)(x

3)

3

3

6

x 3

x

3

12. Знайти границю: lim

x3

6x2

11x

6

.

x

2

3x

2

x

1

Розв'язок. Розкладемо чисельник і знаменник на множники: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), так як

	x3 – 6x2 + 11x – 6	x - 1
x3 – x2	x2 – 5x + 6

-5x2 + 11x

-5x2 + 5x

6x - 6

6x - 6

0

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3);

	Тоді lim	(x 1)(x 2)(x 3)	2 .
		(x 1)(x 2)
	x 1

Знайти границі функції:

В. 1

1.	lim								x					4					;
				3
										x				24
	x	3
2.	lim				2x 2										x	6							;
					x			2					8x			12
	x	2
3.	lim					3x								1		2						;
								1						x	3
	x	1
4.	lim				x3									x		1						.
										x		3			1
	x
		В. 3
1.	lim					3x									4			;
					3
								28							x
	x	1
						x				2				x		12
2.	lim																							;
					2x						2			7x								3
	x	3
3.	lim								x					9		3					;
													x	2
	x	0
4.	lim						5x2								3x								1		.
										1				x							x		2
	x
		В. 5

Завдання

В. 2

1. lim 2sin									x								3cos						2	x				tgx	;
								2																4
	x
					2
2.	lim				x		3x									4			;
					2				5x 3
	x	1			2x
3.	lim					2x		1						3			;
						x	4
	x	4
4.	lim				2x 2				x					3				.
					3			4
	x					x
						В. 4
		1.				lim								8x3						4x				5				;
																	x		2			x
						x	0
																2
		2.				lim								x					8x					9				;
														2					10x					9
						x		9						x
		3.				lim								1					x					2		;
																1				x	2
						x	1
		4.				lim								3x 2						5		.
														x		3			1
						x
														В. 6

							2													3			2
1.	lim				x						1			2		;		1.	lim				x				26			;
							3																2				2
									9 x
	x	1																	x	5			x
2.	lim				x2						2x 8						;	2.	lim			x3			4x2								4x		;
						x		2			4x													x			3			8
	x	4																	x	2
3.	lim				11						x			3			;	3.	lim			2				x				8		;
					x		2				3x			2										1
	x	2																	x	4			2						x
																										2
4.	lim				2x6						x			2			.			4.			lim						3x7					2	.
							x			2	3																		3				x	7
	x																						x

Питання для самоконтролю

13.Що називається функцією? Навести приклади.

14.Що називається областю визначення та множиною значень функції?

15.Охарактеризувати основні способи завдання функції.

16.Які функції називаються основними елементарними функціями?

17.Яка функція називається складеною ? Навести приклади.

18.Яка функція називається елементарною?

19.Що називається числовою послідовністю?

20.Що називається границею числової послідовності?

21.Що називається границею функції в точці?

22.Які функції називаються нескінчено малими?

23.Які функції називаються нескінчено великими?

24.Ознаки існування границі послідовності.

Література [1,2,4]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 2

Тема 6. Диференціальне числення функції однієї змінної

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати поняття

функції однієї змінної, означення похідної, диференціала, їх геометричний зміст.

Набути навички обчислення похідної складної, оберненої та заданої неявно функцій.

Ознайомитись з правилом Лопіталя для обчислення границь.

План заняття

1.Функція однієї змінної. Означення похідної.

2.Похідна елементарних функцій.

3.Диференціал. Геометричний зміст похідної і диференціала.

4.Похідна складної, оберненої та заданої неявно заданої функцій.

5.Правило Лопіталя для обчислення границь.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Означення. Нехай X і Y – деякі числові множини і нехай кожному елементу x X за деякому закону f поставлено у відповідність лише один елемент y Y . Тоді визначена функціональна залежність y від x за законом y f (x) . При цьому x

називають незалежною змінною ( або аргументом), y - залежною змінною, множина

X – областю визначення (існування) функції, множина Y – областю значень (зміни)

функції.

Задати функцію - означає, вказати закон f визначення залежної змінної для кожного значення аргументу із області визначення функції.

Означення. Основними елементарними функціями називаються такі функції:

степенева, показникові, логарифмічна, тригонометрична і обернені тригонометричні

функції.

Означення. Елементарною функцією називається функція, яка утворюється за допомогою скінченої кількості арифметичних дій і суперпозицій основних елементарних функцій.

Означення. Похідною функції f(x) в точці х = х0 називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує:

f (x) lim	f (x	x)	f (x)	.
		x
x 0

у

f(x)

f(x0 + x)	P
	f
f(x0)	M