Математика для економістів Заоч. 2010 ч

Означення. Якщо для функції z f (x, y) , визначеній в деякій області, в деякому околі точки М0(х0,у0) виконується нерівність

f (x0 , y0 ) f (x, y)

то точка М0 називається точкою мінімуму.

Теорема. (Необхідні умови екстремуму). Якщо функція f (x, y) в точці (х0,у0)

має екстремум, то в цій точці або обидві її частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю f x (x0 , y0 ) 0, f y (x0 , y0 ) 0 , або хоча б одна з них не існує.

Цю точку (х0, у0) будемо називати критичною точкою.

Теорема. (Достатні умови екстремуму). Нехай в околі критичної точки (х0, у0)

функція f (x, y) має неперервні частинні похідні до другого порядку включно.

Розглянемо вираз:

D(x, y) f x2 (x, y) f y 2 (x, y)

f xy (x, y) 2

1) якщо D(x0, y0) > 0, то в точці (х0, у0) функція f (x, y) має екстремум, якщо

f x2 (x0 , y0 ) 0 - максимум,

якщо f x2 (x0 , y0 ) 0 - мінімум;

2)якщо D(x0, y0) < 0, то в точці (х0, у0) функція f (x, y) не має екстремуму;

Увипадку, якщо D = 0, висновок про наявність екстремуму зробити не можна.

Умовний екстремум

Умовний екстремум знаходиться, коли змінні х і у, що входять в функцію

u f (x, y) , не є незалежними, тобто існує деяке співвідношення (х,	у)=0,	яке
називається рівнянням зв’язку. Щоб знайти умовний екстремум функції	f (x, y)	при
наявності співвідношення (х, у)=0, записують функцію Лагранжа:

F(x, y) f (x, y) (x, y) ,

де - невизначений постійний множник, і шукають звичайний екстремум цієї допоміжної функції. Необхідні умови екстремуму зводяться до системи трьох рівнянь

F			f			0,
x			x		x
F			f			0,
y			y		y
(x, y)				0

з трьома невідомими x, y, , можна визначити ці невідомі.

Питання про існування і характер умовного екстремуму вирішується на основі

вивчення знаку другого диференціалу функції Лагранжа

d 2 F (x, y)	2 F	dx2	2	2 F	dxdy	2 F	dy2
	x2			x y		y2

для системи значень

x, y, , отриманої із необхідної умови існування екстремуму, за

умови, що dx і dy пов‟язані рівнянням

dx

dy 0 , dx2

dy2 0

x

y

А саме,

функція f (x, y) має

умовний максимум,

якщо

d 2F

0 ,

і умовний

мінімум, якщо d 2F

0. Зокрема, якщо детермінант D(x, y)

F '' (x, y) F '' (x, y)

F '' (x, y) 2 в

xx

yy

xy

стаціонарній точці додатній, то в цій точці є умовний максимум функції

f (x, y) , якщо

F ''

0 (або F ''

0 ), і умовний мінімум, якщо F ''

0 (або F ''

0 ).

xx

yy

ee

yy

Найбільше та найменше значення функції

Функція,

яка диференційована в обмеженій замкненій області,

досягає свого

найбільшого (найменшого) значення або в стаціонарній точці або в точці границі області. Розглянемо знаходження найбільшого (найменшого) значення функції в замкненій області на прикладі (див. приклад 1).

Застосування в задачах економіки Прибуток від виробництва різних видів продукції

Розглянемо типову задачу знаходження екстремуму функції багатьох змінних,

що виникає в економіці. Нехай x1, x2 ,...., xm					- кількість	вироблених m видів продукції, а
їх ціни відповідно	P , P ,...., P		(всі	P	- постійні	величини). Нехай витрати на
	1 2	m		i

виробництво цих видів продукції задані функцією витрат

C S (x1, x2 ,..., xm ) .

Тоді функція прибутку має вигляд

					P x	P x	... P x		x	S (x , x ,..., x ) .
					1 1	2 2	m			1 2	m
Максимум прибутку доцільно шукати як умову екстремуму функції багатьох
змінних	P x	P x	... P x	x	S (x , x ,..., x ) при			x		0 (при відсутності інших умов)
	1 1	2 2	m		1 2	m			i

0 , i 1,2,..., m.

xi

Ця умова приводить до системи алгебраїчних рівнянь відносно змінних xi

	Pi	S	0	, i 1,2,..., m.
		xi

Остання система рівнянь реалізує відоме правило економіки: гранична вартість

(ціна) продукції дорівнює граничним витратам на виготовлення цієї продукції.

Розв‟язком цієї системи рівнянь є набори, які складаються із m значень кожен.

Максимізація прибутку виробництва однорідної продукції Функція прибутку обчислюється за формулою

(K, L)	PF(K, L) WL RK ,
де F(K, L) - виробнича функція,	P -	ціна продукції, W і	R - відповідно,
факторні ціни на працю і капітальні витрати,		L і K - відповідно,	витрати трудових

ресурсів і капіталу. Розглянемо дві задачі, пов‟язані з визначенням максимуму прибутку.

1. Точка (K0 , L0 ) - називається оптимальним планом, якщо в ній функція

прибутку приймає максимальне значення. Знайти граничну норму заміщення виробничої функції F при оптимальному плані.

В точці	локального екстремуму				перші	похідні функції прибутку (K, L)
дорівнюють нулю, звідки маємо систему двох рівнянь:
		PF ' (K		, L ) R 0 , PF '		(K	, L ) W 0 .
		K	0	0	L	0	0
Як відомо, гранична норма заміщення першого ресурсу другим обчислюється
за формулою	F '	F ' , звідки при оптимальному плані отримаємо:						W R .
	L	K
2. Максимізація функції прибутку. Знайти оптимальний план і максимум
функції прибутку, якщо F (K , L)			2(KL)1|3 .		Таким чином, функція прибутку в даному
випадку має вигляд
				(K , L)	2(KL)1|3	WL RK .

Умови екстремуму приводять до системи двох лінійних алгебраїчних рівнянь

відносно координат K 0 і L0 оптимального плану:

2	PL1	3 K	2|3	R,
			0
3	0
2	PL1	3 K	2|3	W .
			0
3	0

Звідки отримаємо координати оптимального плану:

K	0	(2P 3)3	R2W , L (2P 3)3	RW 2 .
			0
Підстановка цих величин в функцію прибутку дає її максимум:
		ma[	(2P 3)3 RW .
		Приклади

1. На площині заданий трикутник ОАВ , утворений осями Ох, Оу і прямою

x y 1 0 . Потрібно знайти таку точку цього трикутника, для якої сума квадратів її

відстаней до вершин трикутника була б найменшою.

Розв‟язування. Так як вершини О, А і В трикутника мають відповідно

координати (0;0),(1;0),(0;1) , то можемо написати вираз для вищезгаданої суми квадратів відстаней від шуканої точки M (x, y) до вершин трикутника:

z 2x 2 2 y 2 (x 1)2 ( y 1)2 .

Знаходимо й прирівнюємо до нуля частинні похідні функції; одержуємо наступну систему рівнянь:

f (x, y)

x

f (x, y)

y

6x 2 0,

6 y 2 0.

	З цієї системи визначаємо x						1	, y	1	. Точці M (		1	;	1	) відповідає значення
							3		3		3		3
функції, що дорівнює					4	.
					3
	Досліджуємо далі функцію на контурі трикутника. При дослідженні функції
z	2x2	2 y2	(x	1)2		( y 1)2 у точках катета ОА					покладаємо y 0 . Одержуємо
z	2x2	(x	1)2	1 ,

причому x [ 0,1] . Знайдемо критичні точки цієї функції в інтервалі ( 0,1) , маємо

dz

6x

2

0, x

1

.

dx

3

Значення функції у цій точці і на кінцях проміжку відповідно дорівнюють:

z(

1

)

5

, z(0) 2 ,

z(1)

3 .

3

3

Таким чином, функція приймає найменше значення, що дорівнює

5

в точці з

3

координатою x

1

(відповідно y 0 ). Аналогічно досліджується функція на катеті

3

ОВ, найменше значення функції дорівнює

5

і досягається в точці з координатою

3

y

1

(відповідно x

0 ).

3

Для дослідження значень функції z

2x 2

2 y 2

(x 1) 2

( y 1) 2

на гіпотенузі АВ

підставимо у функцію замість змінної

y

її

вираз через

x , знайдений з рівняння

x

y

1 прямої АB: результаті одержуємо

z 3x 2

3(x

1) 2 ,

x

[0;1] .

Найменше значення функції на гіпотенузі АВ знаходиться

так само, як і на

катетах ОА й ОВ. Воно досягається в точці

M 2

(

1

;

1

) і дорівнює

2

. Порівнюючи

2

2

3

отримані значення функції, одержуємо, що найменше значення, яке дорівнює 43 ,

функції приймає в точці M1(13 ; 13) .

Завдання

1. Знайти екстремум функції двох змінних:

В. 1	Z x 2		xy	y 2	3x 6 y.	В. 2
В. 3	Z	x 2	xy	y 2	6x 3y.	В. 4
В. 5	Z	x 2	3xy y 2		6x 4 y.	В. 6

Z 3x 2		x3 3y 2	4 y.
Z	3x 2	4x 3y 2	x3 .
Z	2x 2	3xy y 2	4x 6 y.

2. Знайти найбільше та найменше значення функції Z в області D.

В. 1 Z x 3y;		D : x 2	y 2	4.
В. 2 Z x 2y 5;		D : x 0; y 0; x y 2.
В. 3	Z 3x 4y 5;	D :x 0; y 0; x y 1.
В. 4	Z xy;	D : 1 x 1; 2 y 2.
В. 5	Z 4x y;	D : x 2	y 2	1.
В. 6	Z 4x 3y 2; D : x 0; y 0; y x 1.

Питання для самоконтролю

1.Що називається найбільшим і найменшим значенням функції з n невідомими?

2.Які достатні умови існування екстремуму функції двох змінних?

3.Записати схему дослідження функції двох змінних на екстремум.

4.У чому полягає метод множників Лагранжа ?

5.За яких умов функція двох змінних називається опуклою вниз?

6.Сформулювати умови існування точки умовного максимуму (мінімуму).

Модуль І. Вища математика

Змістовий модуль ІV. Інтегрування функцій. Диференціальні та різницеві

рівняння

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 4

Тема 12. Інтегральне числення

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати основи інтегрального числення, зокрема поняття невизначеного інтегралу і основні методи інтегрування.

План заняття

1.Первісна функція.

2.Невизначений інтеграл та його властивості.

3.Основні методи інтегрування.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Первісна функція

Означення. Функція F(x) називається первісною функцією функції f(x) на відрізку [a,b] , якщо в будь-якій точці цього відрізку виконується рівність:

F (x) = f(x).

Необхідно зазначити, що первісних для однієї і тієї ж функції може бути нескінченно багато. Вони будуть відрізнятись один від одного на деяке постійне число:

F1(x) = F2(x) + C.

Невизначений інтеграл

Означення. Невизначеним інтегралом функції f (x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням: F(x) C .

Записують: f (x)dx F (x) C .

Умовою існування невизначеного інтегралу на деякому відрізку є неперервність функції на цьому відрізку.

Властивості:

1.	f (x)dx	(F (x) C)	f (x);	2. d f (x)dx f (x)dx;
3.	dF(x)	F (x) C;		4. C f (x)dx C f (x)dx;
5.	(u v	w)dx udx	vdx	wdx; де u, v, w – деякі функції від х.

Знаходження значення невизначеного інтегралу пов‟язано головним чином зі знаходженням первісної функції.

Таблиця основних інтегралів

	Інтеграл	Значення				Інтеграл	Значення
1	tgxdx	-ln	cosx	+C	9	e x dx	ex + C
2	ctgxdx	ln	sinx	+ C	10	cos xdx	sinx + C

3

a x dx

a x

11

sin xdx

-cosx + C

C

ln a

4

dx

1

arctg

x

C

12

1

dx

tgx + C

a2

x2

cos2

a

a

x

5

dx

1

ln

x

a

C

13

1

dx

-ctgx + C

x2

a 2

sin2

2a

x

a

x

6

dx

14

dx

x

ln

x

x 2

a 2

C

arcsin a

+ C

x 2 a 2

a 2

x 2

7

x

dx

x

1

C,

1

15

1

dx

ln

tg

x

C

cos x

1

2 4

8

dx

ln

x

C

16

1

dx

ln

tg

x

C

x

sin x

2

Методи інтегрування Розглянемо три основних методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування Метод безпосереднього інтегрування – інтегрування за допомогою таблиці основних

інтегралів та властивостей невизначеного інтеграла. Цей метод застосовується лише для деяких обмежених класів функцій.

Метод заміни змінної (підстановки)

Теорема. Якщо потрібно знайти інтеграл f (x)dx , але важко відшукати, то за допомогою заміни x= (t) і dx= (t)dt отримаємо:

f (x)dx f ( (t)) (t)dt .

Функцію намагаються обирати таким чином, щоб права частина зазначеної формули набула зручного для інтегрування вигляду.

Наприклад. Знайти невизначений інтеграл sin x cos xdx .

Зробимо заміну змінної t = sinx, dt = cosxdt.

1/ 2

2

3 / 2

2

3 / 2

tdt

t

dt

t

C

sin

x C.

3

3

Інтегрування частинами

Якщо u (x) і v (x) - диференційовані функції, то

udv uv vdu .

Ця формула дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

Інколи, щоб звести інтеграл до табличного, доводиться застосовувати формулу інтегрування частинами декілька разів.

Можливі такі випадки.

1.Якщо інтеграл має вигляд P(x) sin xdx , P(x) cos xdx або P(x)e x dx , де P(x) -

многочлен, то u = P(x) , а dv - вираз, що залишився;

2.	Якщо інтеграл має вигляд	ln xP(x)dx ,	arctgxP(x)dx ,	arcctgxP(x)dx ,
	arcsin xP(x)dx , arccosxP(x)dx , де P(x) - многочлен, то dv = P(x) , а u				- вираз, що
	залишився;
3.	Якщо інтеграл має вигляд eax sin bxdx, eax cosbxdx , sin(ln x)dx			або	cos(lnx)dx ,

то після двократного інтегрування частинами приходимо до початкового інтегралу з деяким коефіцієнтом. Розв‟язок здобутого лінійного рівняння і є первісною для шуканого інтеграла.

Інтегрування елементарних дробів

Означення. Елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:

1

Mx

N

I.

;

III.

;

ax

b

ax2

bx

c

II.

1

;

IV.

Mx

N

(ax

b)m

(ax2

bx

c)n

m, n – натуральні числа (m

2, n 2) і b2 – 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ax + b.

I.

dx

1

dt

1

1

ln

ax b

ln

t

C

C.

ax

b

a

t

a

a

II.

dx

1

dt

1

C

1

C;

(ax

b)m

a

t m

a(m

1)t m 1

a(m 1)(ax b)m 1

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути зображений у вигляді:

A

(2x

p)

B

Ap

Ax

B

dx

2

2

dx

A

2x p

dx B

Ap

dx

x 2

px q

x 2

px q

2 x 2

px q

2

x 2 px q

A

Ap

dx

A

ln

x 2

2B

Ap

ln

x 2

px q

B

px q

2

2

2

p 2

2

p

4q p 2

x

q

2

4

arctg

2x

p

C

4q

p 2

Отримали в загальному вигляді зведення інтегралу дробу виду III до двох табличних

інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладі:

		7x 2									84x						24										84x		24			u	6x			5; du						6dx;
							dx														dx										dx			u		5
																																						;
3x 2					5x	4			36x 2						60x			48									(6x 5)2		23			x
																																	6
1			14u			70 24		du			7				udu			23									du		7	ln(u 2		23)	23					arctg		u				C Взагалі,
6					u 2	23					3				u 2		23 3 u 2 23 6																3 23							23
	7	ln			36x 2	60x		48						23		arctg				6x					5		C.
6													3
																		23

якщо у трьохчлена ax2 + bx + c вираз b2 – 4ac >0, то дріб за означенням не є елементарною, однак, її можна інтегрувати зазначеним вище способом.

Розглянемо тепер методи інтегрування дробів IV типу.

Спочатку розглянемо частинний випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду

dx

можна шляхом виділення в знаменнику повного

(ax2

bx

c)n

квадрату зобразити у вигляді

du

. Зробимо наступне перетворення:

(u 2

s)n

du

1 s u 2

u 2

du

1

du

1 u 2 du

.

(u 2

s)n

s (u 2

s (u 2

s)n 1

s (u 2 s)n

s)n