Математика для економістів Заоч. 2010 ч

Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких y ba x.

Означення. Відношення	c	1	називається ексцентриситетом гіперболи, де

a

с – половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь.

Означення. Дві прямі, що перпендикулярні дійсній осі гіперболи і розташовані

симетрично відносно центру на відстані a / від нього, називаються директрисами гіперболи. Їх рівняння: x a .

	Отже:	x2		y 2	1 - шукане рівняння гіперболи.
		4	12

Парабола

Означення. Параболою називається множина точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від фіксованої точки, яка називається фокусом, і

від фіксованої прямої, яка називається директрисою і не проходить через фокус.

Розмістимо початок координат посередині між фокусом і директрисою.

Величина р (відстань від фокуса до директриси) називається параметром параболи.

Знайдемо канонічне рівняння параболи:

	у
А	М(х, у)

О

F

x

p/2 p/2

Із геометричних співвідношень: AM = MF; AM = x + p/2; MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4 y2 = 2px – рівняння параболи.

Рівняння директриси: x = -p/2.

Приклади

1. Знайти координати центра і радіус кола, якщо її рівняння задано і вигляді:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Розв'язок. Для знаходження координат центра і радіуса кола дане рівняння

необхідно привести до канонічного вигляду. Для цього виділимо повні квадрати: x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Звідси знаходимо О(2; -5/4); R = 11/4.

2. Скласти рівняння еліпса, якщо його фокуси F1(0; 0), F2(1; 1), більша вісь

дорівнює 2.

Розв'язок. Рівняння еліпса має вигляд:

x2

y 2

1. Відстань між фокусами:

a2

b2

, таким чином, a2 – b2 = c2 = ½,

2c =

0)2 (1

0)2

(1

2

згідно умові 2а = 2, звідки а = 1, b = a 2 c 2

1 1/ 2

2 / 2.

Отже:

x2

y 2

1.

12

1/ 2

3. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси

співпадають з фокусами еліпса з рівнянням

x2

y 2

1.

25

9

Розв'язок. Знаходимо фокусну відстань c2 = 25 – 9 = 16.

Для гіперболи: c2 = a2 + b2 = 16, =c/a = 2;

c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

4. На параболі у2 = 8х знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 4.

Розв'язок. З рівняння параболи отримаємо, що р = 4.

			r = x + p/2 = 4; отже:
			x = 2; y2 = 16; y = 4.
Шукані точки: M1(2; 4),		M2(2; -4).
5. Приведіть рівняння ліній до канонічного вигляду, визначте тип лінії. Збудуйте
лінію.
а) 16x2 9 y2 64x	54 y	161	0 ,
Розв'язок. 16 x2 4x	9 y2 6 y		161 0 ,

16 x2	4x	4 4 9 y2			6 y	9 9	161 0 ,
16 x	2 2	64	9 y	3 2	81	161	0 ,
16 x	2 2	9 y	3 2	144,

Y
2
1
0		X
1	3	5
-1
-2
		2b
-4

							2a
	x	2 2		y 3	2
							1 (гіпербола),
		9	16
O1 2; 3		– центр гіперболи a 3, b 4 – півосі гіперболи.

	2
б) x 2		4		y2	4 y ,
	3
					2						2
Розв'язок.		x		2 2					4 y2	4 y	,
					3

x2

x2

2

2

	4		4	y	2	4 y		4 4 ,
9
4			y	2	2		32	,
9						9

x 2 2				y 2	2	1 – це рівняння еліпса.
	32		8
9

	O 2; 2			4 2
		– центр еліпса ,	a				, b 2 2 – півосі еліпса.
	1			3

Завдання

1.Які з наведених рівнянь визначають кола?

Знайти центр С та радіус R кола, побудувати його.

В. 1	х2 + у2 – 10х + 4у + 4 = 0.	В. 4	х2 + у2 + х = 0.
В. 2	х2 + у2 – 10х + 4у + 29 = 0.	В. 5	х2 + у2 – 10у + 20 = 0.
В. 3	х2 + у2 + 4х – 60 = 0.	В. 6 х2 + у2 – 2х +4у +14 = 0.
2. Заданий еліпс.

Знайти: 1) його півосі; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння директрис; 5)

побудувати його.
В. 1	4х2	+ 9у2 = 25.	В. 4	х2	+ 15у2 = 15.
В. 2	25х2	+ 9у2 = 1.	В. 5	25х2	+ у2	= 50.
В. 3	9х2	+ у2 = 1.	В. 6	9х2	+ 5у2	= 45.

3. Задана гіпербола.

Знайти: 1) півосі а та b ; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння асимптот; 5)

рівняння директрис; 6) побудувати гіперболу.
В. 1	9х2	– 64у2 = 1.			В. 4	4х2 – 9у2		= 36.
В. 2	4х2	–	9у2	= 25.	В. 5	х2	– у2	= 1.
В. 3	х2	–	4у2	= 16.	В. 6	х2	– 16у2 = 16.

4.Встановити, що кожне з наведених рівнянь визначає параболу; знайти координати її вершини А та параметри. Побудувати параболу.

В. 1	у2 + х – 2у – 1 = 0.	В. 4	у2 + 4х – 4у = 0.
В. 2	4х2 – 8х – у – 7 = 0.	В. 5	2у2 – х – 12у + 14 = 0.
В. 3	х2 + 4х – 4у + 8 = 0.	В. 6	- х2 + 12х – 6у – 42 = 0.

Питання для самоконтролю

1.Що називається лінією другого порядку?

2.Що називається колом? Вивести рівняння кола з центром у точці M 0 x0 ; y0 .

3.Що називається еліпсом? Вивести канонічне рівняння еліпса.

4.Дослідити форму еліпса, відповідно канонічним рівнянням, та побудувати

його.

5.Що називається гіперболою? Вивести канонічне рівняння гіперболи.

6.Дослідити форму гіперболи, відповідно канонічним рівнянням, та побудувати її.

7.Що називається параболою? Вивести канонічне рівняння параболи.

Література [1,2,4]

Тема 4. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати канонічне рівняння прямої в просторі, рівняння площини, вміти визначати кут між прямими в просторі, взаємне розташування прямої і площини, умови паралельності і перпендикулярності прямих у просторі, площин та прямої і площини.

План заняття

1.Означення площини, види рівнянь площини.

2.Відстань від точки до площини.

3.Кут між площинами.

4.Пряма у просторі, види рівнянь прямої у просторі.

5.Кут між прямими у просторі.

6.Взаємне розташування прямої і площини у просторі.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Загальне рівняння площини

Означення. Площиною називається поверхня, усі точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax + By + Cz + D = 0,

			- вектор нормалі до площини.
де А, В, С – координати вектора N Ai	Bj	Ck

Можливі наступні випадки:

А = 0 – площина паралельна осі Ох В = 0 – площина паралельна осі Оу С = 0 – площина паралельна осі Оz

D = 0 – площина проходить через початок координат А = В = 0 – площина паралельна площині хОу

А = С = 0 – площина паралельна площині хОz

В = С = 0 – площина паралельна площині yOz

А= D = 0 – площина проходить через вісь Ох В = D = 0 – площина проходить через вісь Оу С = D = 0 – площина проходить через вісь Oz

А= В = D = 0 – площина співпадає з площиною хОу

А= С = D = 0 – площина співпадає з площиною xOz

В = С = D = 0 – площина співпадає с площиною yOz.

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки Для того, щоб через три будь-які точки простору можна було провести єдину

площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М1,

М2, М3 необхідно, щоб вектори M1M 2 , M1M3 , M1M були компланарні:

( M1M 2 , M1M3 , M1M ) = 0.

	M1 M {x x1 ; y y1 ; z z1}
Таким чином,	M1 M 2	{x2	x1 ; y2	y1 ; z2	z1} .
	M1 M 3	{x3	x1 ; y3	y1 ; z3	z1}

Рівняння площини, яка проходить через три точки:

	x	x1	y	y1	z	z1
	x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 .
	x3	x1	y3	y1	z3	z1
Рівняння площини по двом точкам і вектору, який колінеарне площині
Нехай задані точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) і вектор										, a3 ) . Запишемо
								a (a1	, a2

рівняння площини, яка проходить через задані точки М1 і М2 і довільну точку М(х, у,

z) паралельно вектору a .
Вектори	M1M {x x1 ; y y1 ; z z1}	і вектор		, a2	, a3 )	мають бути
			a (a1
	M1M 2 {x2 x1 ; y2 y1 ; z2	z1}

компланарними, тобто

( ) = 0

M1M , M1M 2 , a

Отже рівняння площини:

x x1 y y1 z z1

x2 x1 y2	y1 z2	z1 0
a1	a2	a3

Рівняння площини по напрямному вектору і точці

Теорема. Якщо в просторі задана точка М0(х0, у0, z0), то рівняння площини, яка проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі N (A, B, C) має вигляд:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Рівняння площини у відрізках

Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-

D)

A

x

B

y

C

z

1 0 ,

D

D

D

замінивши

D

a,

D

b,

D

c , отримаємо рівняння площини у відрізках:

A

B

C

x

y

z

1

a

b

c

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно з осями х, у, z.

Рівняння площини у векторній формі

p,

r

n

- радіус - вектор довільної точки М(х, у, z),

де r

xi

yj

zk

- одиничний вектор,

який має напрямок, перпендикуляра,

n

i cos

j cos

k cos

який опущено на площину з початку координат.

,і - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p – довжина цього перпендикуляра.
В координатах це рівняння має вигляд:
xcos + ycos				+ zcos			- p = 0.
Відстань від точки до площини
Відстань від довільної точки М0(х0, у0,						z0) до площини Ах+Ву+Сz+D=0
дорівнює:
d		Ax0 By0			Cz0		D		.
			A2	B2	C 2

Рівняння лінії у просторі Як на площині, так і в просторі будь-яка лінія може бути визначена як

сукупність точок, координати який в деякій обраній в просторі системі координат задовольняють рівнянню:

F(x, y, z) = 0.

Це рівняння називається рівнянням лінії в просторі. Крім того, лінія в просторі може бути визначена і інакше. Її можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь, кожна з яких задана яким-небудь рівнянням.

Нехай F(x, y, z) = 0 і Ф(x, y, z) = 0 – рівняння поверхонь, які перетинаються по лінії L.

Тоді пару рівнянь

F (x, y, z) 0 Ф(x, y, z) 0

назвемо рівнянням лінії в просторі.

Рівняння прямої в просторі по точці і напрямному вектору

Візьмемо довільну прямую і вектор S (m, n, p), паралельний заданій прямій.

Вектор S називається напрямним вектором прямої.

На прямій візьмемо дві довільні точки М0(x0, y0, z0) і M(x, y, z).

Позначимо радіус-вектори цих точок як r0 і r , очевидно, що

r - r0 = М 0 М .

Так як вектори М 0 М і S колінеарні, то вірно співвідношення

М 0 М = S t,

де t – деякий параметр.

z

S M1

M0

r0 r

0

y

x

r = r

Отже, можна записати:

+ S t.

0

Так як цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, то

отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути записано в координатній формі:

x

x0

mt

y

y0

nt

z

z0

pt

Цю систему рівнянь можна записати у вигляді:

x

x0

y

y0

z z0

- канонічне рівняння прямої у просторі.

m

n

p

Означення. Напрямними косинусами прямої називаються напрямні косинуси

вектора S , які можуть бути обчислені за формулами:

cos

m

;

cos

n

;

cos

p

.

m2

n2

p 2

m2

n2

p 2

m2

n2 p 2

Звідки отримаємо: m : n : p = cos

: cos

: cos .

Числа m,

n,

p

називаються кутовими

коефіцієнтами

прямої. Так як

S -

ненульовий вектор, то m, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два з цих чисел можуть дорівнювати нулю. В цьому випадку в рівнянні прямої необхідно прирівняти до нуля відповідні чисельники.

Рівняння прямої у просторі, яка проходить через дві задані точки

Якщо на прямій відмітити дві довільні точки M1(x1, y1, z1) і M2(x2, y2, z2), то координати цих точок мають задовольняти рівнянню прямої:

x2

x1

y2

y1

z2

z1

.

m

n

p

Крім того, для точки М1 можна записати:

x

x1

y

y1

z

z1

.

m

n

p

Розв‟язуючи сумісно ці рівняння, отримаємо:

x		x1		y		y1		z		z1	.
x	2	x		y	2	y		z	2	z
		1				1				1

Це рівняння прямої, яка проходить через дві точки у просторі.

Загальне рівняння прямої у просторі Рівняння прямої може бути розглянуто як рівняння лінії перетину двох площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

	r + D = 0,
N

де N - нормаль площини; r - радіус-вектор довільної точки площини.
Нехай в просторі задані дві площини: N1 r +D1=0 і					N 2 r +D2=0, вектори
нормалі мають координати: N1 (A1,B1,C1), N 2 (A2,B2,C2); r (x,y,z).
Тоді загальні рівняння прямої в векторній формі:
N1	r	D1	0	.
N 2	r	D2	0

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

A1 x B1 y C1 z D1	0
A2 x B2 y C2 z D2	0 .

Практична задача часто полягає у зведенні рівнянь прямих в загальному вигляді до канонічному виду.

Для цього потрібно знайти довільну точку прямої і числа m, n, p. При цьому напрямний вектор прямої може бути обчислений як векторний добуток векторів нормалі до заданих площин.

i

j

k

B

C

A

C

A

B

S N1 N2

A1

B1

C1

i

1

1

j

1

1

k

1

1

i m jn kp.

B2

C2

A2

C2

A2

B2

A2

B2

C2

Кут між площинами

Кут між площинами в просторі

пов‟язаний з кутом між нормалями до цих

площин

1 співвідношенням:

=

1 або

=1800-

1, тобто cos

= cos 1.

N 2

1

0

N1