Математика для економістів Заоч. 2010 ч

3)	Операція множення матриць дистрибутивна по відношенню до додавання,
тобто якщо мають зміст вирази А(В+С) і (А+В)С, то відповідно:
	А(В + С) = АВ + АС
	(А + В)С = АС + ВС.
4)	Якщо добуток АВ визначений, то для	довільного числа	вірним є
співвідношення:
	(AB) = ( A)B = A(	B).
5)	Якщо визначений добуток АВ , то визначений добуток ВТАТ і виконується
рівність:

(АВ)Т = ВТАТ, де індексом Т позначається транспонована матриця.

Означення. Матрицю В називають транспонованою матрицею А, а перехід від А до В транспонуванням, якщо елементи кожного рядка матриці А записати в тому ж порядку в стовпці матриці В.

	а11	a12	...	a1n			a11	a21	...	am1
А =	a21	a22	...	a2n	;	Т	a12	a22	...	am 2	;
	... ... ... ...					В = А =	... ... ... ...
	am1	am2	...	amn			a1n	a2n	...	amn
Іншими словами, bji = aij.
			Визначники (детермінанти)
						а11	a12	...	a1n
						a21	a22	... a2n
Означення. Визначником квадратної матриці А= ...							...	...	...	називається число,
						an1	an2	...	ann

яке може бути обчислено по елементам матриці за формулою:

n
det A =	( 1)k 1 a	M	1k	,
	1k
k	1

де М1к – детермінант матриці, отриманої з вихідної викреслюванням першого рядка і k – го стовпця. Визначники мають лише квадратні матриці, тобто матриці, у яких кількість рядків дорівнює кількості стовпців.

Взагалі кажучі, визначник можна обчислити за будь-яким рядком або стовпцем матриці, тобто справедлива формула:

n
detA =	( 1)k i a	ik	M	ik	, i = 1,2,…,n.
k	1

Визначник одиничної матриці дорівнює 1.

Для заданої матриці А число М1к називається додатковим мінором елемента матриці a1k. Таким чином, кожний елемент матриці має свій додатковий мінор.

Додаткові мінори існують лише в квадратних матрицях.

Означення. Додатковий мінор довільного елемента квадратної матриці aij

дорівнює визначнику матриці, яка отримана з початкової матриці викреслюванням i-

го рядка і j-го стовпця.

Властивість 1. Важливою властивістю визначників є наступне співвідношення:

	det A = det AT;
Властивість 2.	det ( A B) = det A det B.
Властивість 3.	det (AB) = detA detB

Властивість 4. Якщо в квадратній матриці поміняти місцями будь-яких два рядки (або стовпця), то визначник матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною.

Властивість 5. При множенні стовпця (або рядка) матриці на число її визначник множиться на це число.

Означення. Стовпці (рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їх лінійна комбінація, що дорівнює нулю, яка має нетривіальні (не нульові)

розв‟язки.

Властивість 6. Якщо в матриці А рядки або стовпчики лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо матриця містить нульовий рядок або нульовий стовпчик,

то її визначник дорівнює нулю.

Властивість 8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів одного з його рядків (стовпців) додати (відняти) елементи іншого рядка (стовпця), помножені на деяке не рівне нулю число.

Властивість 9. Якщо для елементів деякого рядка або стовпця матриці вірне: d = d1 d2 , e = e1 e2 , f = f1 f2 , то:

a b		c		a	b	c		a	b	c
d	e f			d1	e1	f1		d2	e2	f 2
k	l	m		k	l	m		k	l	m

Означення. Елементарними перетвореннями матриці назвемо наступні перетворення:

1)множення рядка на число, відмінне від нуля;

2)додавання до елементів одного рядка елементів другого рядка;

3)перестановка рядків;

4)викреслювання (видалення) одного з однакових рядків (стовпців);

5)транспонування.

Такі ж операції, що застосовуються для стовпців, також називаються елементарними перетвореннями.

За допомогою елементарних перетворень можна до будь-якого рядка або стовпця додати лінійну комбінацію решти рядків (стовпців).

Мінори Вище було використано поняття додаткового мінору матриці. Дамо означення

мінору матриці.

Означення. Якщо в матриці А виділити декілька довільних рядків і стільки ж довільних, то визначник, складений з елементів, розташованих на перетині цих рядків і стовпців називається мінором матриці А. Якщо виділено s рядків і стовпців, то отриманий мінор називається мінором порядку s.

Алгебраїчні доповнення

Означення. Алгебраїчним доповненням мінору матриці називається його додатковий мінор, помножений на (-1) в степені, що дорівнює сумі номерів рядків і номерів стовпців мінору матриці.

Зокрема, алгебраїчним доповненням елемента матриці називається його додатковий мінор, взятий зі своїм знаком, якщо сума номерів рядка і стовпця, на яких стоїть елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.

Теорема Лапласа. Якщо вибрано s рядків матриці з номерами i1, … ,is, то визначник цієї матриці дорівнює сумі добутків всіх мінорів, розташованих в обраних рядках на їх алгебраїчні доповнення.

Обернена матриця Визначимо операцію ділення матриць як операцію, обернену множенню.

Означення. Якщо існують квадратні матриці Х і А одного порядку, що задовольняють умові:

XA = AX = E,

де Е - одинична матриця того ж самого порядку, що і матриця А, то матриця Х називається оберненою до матриці А і позначається А-1.

Кожна квадратна матриця з не рівним нулю визначником має обернену матрицю і при цьому лише одну.

Ранг матриці

Як було зазначено вище, мінором порядку s називається визначник матриці,

утвореної із елементів початкової матриці, що знаходяться на перетині будь-яких обраних s рядків і s стовпців.

Означення. В матриці порядку m n мінор порядку r називається базисним,

якщо він не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r+1 і вище дорівнюють нулю, або не існують взагалі, тобто r співпадає з меншим із чисел m або n.

Стовпці і рядки матриці, на яких стоїть базисний мінор, також називаються

базисними.

В матриці може бути декілька різних базисних мінорів, які мають однаковий порядок.

Означення. Порядок базисного мінору матриці називається рангом матриці і позначається Rg А.

Важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.

Означення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення,

називаються еквівалентними.

Теорема. Найбільше число лінійно незалежних стовпців в матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків.

Приклади

			1	2	3			1	3	4
1. Задано матриці А = 2				1	4	; B =		5	7	8	. Знайти 2А + В.
			3	2	3			1	2	4
2	4	6				3	7	10
Розв‟язок. 2А = 4	2	8	, 2А + В =			9	9	16 .
6	4	6				7	6	10

1	0	3		1		1
2. Задано матриці А = 2	4	1	, В =	3	, С =	2	і число =2. Знайти
1	4	2		2		1

АТВ+ С.

1	2	1		1	2	1	1		1 1		2 3	1 2	9
Розв‟язок. AT= 0	4	4	; ATB = 0		4	4	3	= 0 1			4 3	4 2 =	4	;
3	1	2		3	1	2	2		3 1		1 3	2 2	10
			2					9		2		7
		C = 4		; АТВ+ С = 4					+ 4		= 8 .
			2					10		2		12

1

3. Знайти добуток матриць А = 4 і В = 2 4 1.

3

1	1	2	1	4	1 1		2	4	1
Розв‟язок. АВ = 4	2 4 1 = 4	2	4	4	4	1	8	16	4 .
3	3	2	3	4	3	1	6	12	3

1
ВА = 2 4 1 4	= 2 1 + 4 4 + 1 3 = 2 + 16 + 3 = 21.
3

4.	Знайти добуток матриць А= 1			2 і В =	3	4
					5	6
Розв‟язок. АВ = 1 2		3	4 = 3 10 4	12 = 13		16 .
		5	6
				1	2	1
5.	Обчислити визначник матриці А = 0				2 3 .
				3	1	1

Розв‟язок.	1	2	1		2	3			0	3				0		2		( 2 1 1 3) 2(0 1 3 3) (0 1 3 2) = -
	0	2	3	1				2				1
	3	1	1		1	1			3	1				3		1
5 + 18 + 6 = 19.
6. Задані матриці А =						1		2	, В =				5		2	. Знайти det (AB).
						3		4					1		3

Розв‟язок. 1-й спосіб: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2- й спосіб: AB =	1	5	2 1	1	2	2 3	7	8	,
	3	5	4 1	3	2	4 3	19	18

det (AB) = 7 18 - 8 19 = 126 – 152 = -26.

7. Задана матриця А = 13 24 . Знайти А3.

А2 = АА =		3 2 3 2				=	11 14			;	A3 =		3	2		11 14		=	47	78 .
		1	4	1	4		7	18					1	4		7	18		39	86
7. Визначити ранг матриці.
1	0	0	0	5		1	0	0	0	5	1	5	,		1	5				0 RgA = 2.
0	0	0	0	0													11		10 1
2	0	0	0	11		2	0	0	0	11	2	11			2	11

Завдання

1.Задані матриці:

		А	1	2	3	4
			1	2	0	1
Знайти матрицю С, якщо:
В. 1	С = А + 3В;	В. 2 С = 2А – В;
В. 4	С = -А + 3В;	В. 5 С = А – 4В;
	2. Задані матриці:

і В	0	2	1	3 .
	1	3	0	4

В. 3 С = А – 2В;

В. 6 С = -2А + В.

	1	2 3		1	3		2	1 .
А				; Â 4	5	; Ñ
	4	5	6	0	1		0	1

Обчислити добуток матриць:

В. 1	A B ;	В. 4	B A ;
В. 2	AT BT ;	В. 5	AT C ;

В. 3	BT	AT ;			В. 6	C BT .
	3. Побудувати матрицю А-1, обернену до заданої матриці А:
В. 1		1	3		В. 2	5		8		В. 3 А=	0	4
	А=	5 8		;		А= 4		1	;		3	8 ;
В. 4		1	8		В. 5		6	7		В. 6 А=	3	1
	А=	9	10	;		А= 3 1			;		6	5 .

Питання для самоконтролю

16.Що називається матрицею?

17.Як визначається сума двох матриць?

18.Як визначається добуток матриці на число?

19.Як визначається різниця двох матриць?

20.Як визначається добуток двох матриць?

21.Що називається оберненою матрицею?

22.У якому випадку оберненої матриці не існує?

23.Що таке транспонована матриця?

24.Сформулювати основні властивості визначників.

25.Що називається мінором та алгебраїчним доповненням?

26.Сформулювати та довести теорему про розклад визначника за елементами

рядка (стовпця). Чому дорівнює сума добутків елементів одного рядка

(стовпця).

27. Як обчислюються визначники вищих (четвертого, п‟ятого і т.д.) порядків?

Тема 2. Загальна теорія систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати системи лінійних рівнянь, розуміти геометричну інтерпретацію системи рівнянь другого порядку, вміти розв‟язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь за формулами Крамера та методом Гауса.

План заняття

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

-системи лінійних алгебраїчних рівнянь;

-теорема Кронекера-Капеллі;

-формули Крамера;

-метод Гауса.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Означення. Система m рівнянь з n невідомими в загальному вигляді

записується наступним чином:

a11 x1	a12 x2	...	a1n xn	b1
a21 x1	a22 x2	...	a2n xn	b2	,
.......... .......... .......... .......... .......
am1 x1	am2 x2	...	amn xn	bm

де aij – коефіцієнти, а bi – постійні. Розв‟язками системи є n чисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність.

Означення. Якщо система має хоча б один розв‟язок, то вона називається

сумісною. Якщо система не має жодного розв‟язку, то вона називається несумісною.

Означення. Система називається визначеною, якщо вона має лише один розв‟язок і невизначеною, якщо більше одного.

Означення. Для системи лінійних рівнянь матриця

		a11	a12	...	a1n
	А =	a21	a22	...	a2n
		...	... ... ...
		am1	am2	...	amn
		a11	a12	...	a1n
	*	a21	a22	...	a2n
	А =	...	... ... ...
		am1	am 2	...	amn

називається матриця системи, а матриця

	b1
	b2	називається розширеною матрицею системи.
	...
	bm

Означення. Якщо b1, b2, …,bm = 0, то система називається однорідною.

Однорідна система завжди сумісна, т. як завжди має нульове рішення.

Елементарні перетворення систем До елементарних перетворень відносяться:

1) Додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин другого,

помножених на одне і теж число, що не дорівнює нулю.

2)Перестановка рівнянь місцями.

3)Видалення із системи рівнянь, які є тотожностями для всіх х.

Теорема Кронекера – Капелли

(умова сумісності системи)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) німецький математик)

Теорема: Система сумісна (має хоча б один розв’язок) тоді і лише тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.

RgA = RgA*.

Метод Крамера

(Габріель Крамер (1704-1752) швейцарський математик)

Даний метод застосовується лише у випадку систем лінійних рівнянь, де число змінних співпадає з числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне з рівнянь не було б лінійною комбінацією решти.

Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0 (det A

0).

Дійсно, якщо будь-яке рівняння системи є лінійна комбінація інших, то якщо до елементів деякого рядка додати елементи іншого рідка, помножені на деяке число, за допомогою лінійних перетворень можна отримати нульовий рядок. Визначник в цьому випадку буде дорівнювати нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система із n рівнянь з n невідомими

a11 x1	a12 x2	...	a1n xn	b1
a21 x1	a22 x2	...	a2n xn	b2

.......... .......... .......... .......... .......

an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn

у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдиний розв’язок і цей розв’язок знаходиться за формулами:

xi = i/ , де

= det A, а i – визначник матриці, який отримано з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.

a11...a1i 1

b1

a1i 1 ...a1n

i =

a21...a2i i

b2

a2i 1 ...a2n

.

...

...

...

an1 ...ani 1

bn

ani 1 ...ann

Приклад.

a11 x1

a12 x2

a13 x3

b1

a21 x1

a22 x2

a23 x3

b2

a31 x1

a32 x2

a33 x3

b3

a11

a12

a13

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

A = a21

a22

a23 ;

1=

b2

a22

a23

;

2=

a21

b2

a23

; 3=

a21

a22

b2

;

a31

a32

a33

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

x1 = 1/detA;	x2 = 2/detA;	x3 = 3/detA.
Якщо система однорідна, тобто bi= 0, то при		0 система має єдиний нульовий

розв‟язок x1 = x2 = … = xn = 0.

При = 0 система має нескінчену кількість розв‟язків.

Метод Гаусса

(Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855) німецький математик)

Метод Гаусса може бути застосованим до систем лінійних рівнянь з довільним числом рівнянь і невідомих. Суть метода полягає в послідовному виключенні

невідомих.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

a11 x1	a12 x2	...	a1n xn	b1
a21 x1	a22 x2	...	a2n xn	b2
.......... .......... .......... .......... .......
am1 x1	am2 x2	...	amn xn	bm
Розділимо обидві частини 1–го рівняння на a11				0, потім:

1)помножимо на а21 і вичтемо із другого рівняння;

2)помножимо на а31 і вичтемо із третього рівняння;

і т.д.

Отримаємо:

x1 d12 x2 ... d1n xn d1

d 22 x2	d 23 x3	...	d 2n xn	d 2	, де d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
.......... .......... .......... .......... ......
d m 2 x2	d m3	...	d mn xn	d m