Математика для економістів Заоч. 2010 ч

sin

x

2sin2 x

1.

y

,

y

?

1.

y

2

,

y

?

cos2x

cos3 4x

2.

y tg 2

x 1

, y ?

2.

y

1 tg x

1

, y ?

2

x

3.

y

arccosx

,

y

?

3.

y

x arcsin x 2

2x ,

y

?

x

2

4.

y

xsin x arctgx,

y

?

4.

y

x3 arctgx3 ,

y

?

В. 5

В. 6

1.

y

3sin 3x

5

,

y

?

1.

y

cos2

sin 4x ,

y

?

cos x

2

tg

x

ctg

x

2x

2.

y

,

y ?

2.

y

2

2

, y ?

tg 2 2x

x

2 arccos

x 2

2

x3 ,

3.

y

2 1

x2

arcsin(2x),

y

?

3.

y

y ?

6

4.

y

arctg

2x

1

tg

1

,

y

?

4.

y

1

xarctgx

,

y

?

x

3

1

x 2

3. Розкласти функції за формулами Маклорена:

В.1

y

sin(x)

В.2

y

cos(x)

В.3

y tg(x)

В.4 y e x 2

В.5

y

ln(x

1)

В.6

y

arctg(x)

Питання для самоконтролю

28.Дати означення похідної заданої функції.

29.Який геометричний, механічний та фізичний зміст похідної?

30.Як знайти похідну, виходячи з її означення?

31.Залежність між неперервністю функції та її диференційованістю.

32.Сформулювати правила диференціювання.

33.Похідна складної та оберненої функцій.

34.Логарифмічна похідна.

35.Похідні неявної та параметрично заданої функції.

36.Похідні вищих порядків.

37.Описати спосіб графічного диференціювання.

38.Як визначається кут між лініями?

39.Що називається диференціалом функції?

40.Який геометричний та механічний зміст диференціала?

41.Назвати властивості диференціала.

42.У чому полягає інваріантність форми диференціала?

43.Як визначається диференціал функції через її похідну?

44.Сформулювати теорему Лагранжа.

45.Сформулювати теорему Коші.

46.Записати формулу Маклорена.

47.Записати формулу Тєйлора.

48.Сформулювати правило Лопіталя.

Тема 7. Дослідження функцій та побудова їх графіків

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати умови неперервності функцій, класифікацію точок розриву, вміти визначати асимптоти функції. А також вміти проводити дослідження функції на екстремум, вивчити необхідні і достатні умови існування екстремуму, знати алгоритм відшукання найбільшого і найменшого значення функції на відрізку та побудови графіків функцій.

План заняття

1.Неперервні функції. Означення та властивості неперервних функцій.

2.Точки розриву та їх класифікація.

3.Дослідження функції за допомогою похідної.

4.Екстремум функції.

5.Асимптоти.

6.Алгоритм дослідження функції та побудова її графіку.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Неперервність функції в точці

Означення. Функція f(x), визначена в околі деякої точки х0, називається

неперервною в точці х0, якщо границя функції і її значення в цій точці рівні, тобто

lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Означення. Якщо функція f(x) визначена в деякому околі точки х0, але не є неперервною в самій точці х0, то вона називається розривною функцією, а точка х0 –

точкою розриву.

Означення. Функція f(x) називається неперервною в точці х0, якщо для будь-

якого додатного числа >0 існує таке число			>0, що для довільних х, задовольняючих
умові	x x0	, виконується нерівність		f (x) f (x0 )	.
Приклад неперервної функції:
		y

f(x0)+ f(x0)

f(x0)-

0 x0- x0 x0+

x

Приклад розривної функції:

y
f(x0)+
f(x0)
f(x0)-
x0	x

Означення. Функція f(x) називається неперервною в точці х=х0, якщо приріст функції в точці х0 є нескінченно малою величиною:

f(x) = f(x0) + (x),

де (х) – нескінченно мала при х х0.

Властивості неперервних функцій

1) Сума, різність і добуток неперервних в точці х0 функцій – є функція,

неперервна в точці х0.

f (x0 ) ,

2) Частка двох неперервних функцій f (x) – є неперервна функція за умови, що g(x)

g(x) не дорівнює нулю в точці х0.

3) Суперпозиція неперервних функцій –є неперервна функція.

Неперервність деяких елементарних функцій

1) Функція f(x)=C, C = const – неперервна функція на всій області визначення.

		a	0	xn	a xn 1	...	a	n
2) Раціональна функція	f (x)				1				неперервна для всіх значень х,
		b xm			b xm 1	...	b
		0			1		m

крім тих, при яких знаменник обертається в нуль. Таким чином, функція цього виду неперервна на всій області визначення.

3) Тригонометричні функції sinх і cosх неперервні на своїй області визначення.

Точки розриву і їх класифікація

Розглянемо деяку функцію f (x) , неперервну в околі точки x0 , за винятком

може бути самої цієї точки. Із означення точки розриву функції слідує, що х=х0 є

точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній неперервною.

Слід зазначити також, що неперервність функції може бути односторонньою.

Пояснимо це наступним чином.

Якщо одностороння границя lim f (x) f (x0 ) , то функція називається

x x 0

неперервною справа.

х0

Якщо одностороння границя lim f (x)

x x 0

неперервною зліва.

то функція називається

х0

Означення. Точка х0 називається точкою розриву функції f (x) , якщо f (x) не

визначена в точці х0 або не є неперервною в цій точці.

Означення. Точка х0 називається точкою розриву 1- го роду, якщо в цій точці функція f (x) має скінченні, але не рівні одна одній праву і ліву границі:

lim	f (x)	lim	f (x)
x x0	0	x x0	0

Для виконання умов цього означення не потрібно, щоб функція була визначена в точці х=х0, достатньо того, що вона визначена зліва і справа від неї.

Якщо границя справа і границя зліва скінченні і рівні, а функція в цій точці не визначена, то точка х=х0 називається точкою усувного розриву.

Означення. Точка х0 називається точкою розриву 2 – го роду, якщо в цій точці функція f(x) не має хоча б однієї з односторонніх границь або хоча б один з них нескінченна.

Неперервність функції на інтервалі і на відрізку

Означення. Функція f(x) називається неперервною на інтервалі (відрізку),

якщо вона неперервна в будь-якій точці інтервалу (відрізка).

При цьому не є необхідною неперервність функції на кінцях відрізка або інтервалу, необхідна лише одностороння неперервність на кінцях відрізка або інтервалу.

Дослідження функції за допомогою похідної Зростання та спадання функцій

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [a, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку невід’ємна, тобто f (x) 0.

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на проміжку (а, b), причому f (x) > 0 для a < x < b, то ця функція зростає на відрізку [a, b].

Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то f (x) 0 на цьому відрізку. Якщо f (x)<0 в проміжку (a, b), то f(x)

спадає на відрізку [a, b].

Це твердження справедливе, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і

диференційована на інтервалі (a, b).

Теорему можна проілюструвати геометрично:

y

y

x

x

Точки екстремуму

Означення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій точці більше значень в усіх точках деякого інтервалу, який містить точку х1. Функція f(x)

має в точці х2 мінімум, якщо f(x2+ x) > f(x2) при будь-якому х ( х може бути і від‟ємним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум лише в точках, які знаходяться всередині цього відрізку. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

Означення. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками

екстремуму.

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму). Якщо функція f(x)

диференційована в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль в цій точці.

Наслідок. Обернене твердження невірне. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х=0 дорівнює нулю, однак в цій точці функція має лише перегин, а не максимум або мінімум.

Означення. Критичними точками функції називаються точки, в яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.

Розглянута теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

Приклад: f(x) = x
	Приклад: f(x) = 3 х
y		y

x

х
В точці х=0 функція має мінімум,	В точці х=0 функція не має ні
але не має похідної.	максимуму, ні мінімуму, ні
	похідної.

Взагалі кажучи, функція f(x) може мати екстремум в точках, де похідна не існує або дорівнює нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму). Нехай функція f(x)

неперервна в інтервалі (a, b), який містить критичну точку х1, і диференційована в усіх точках цього інтервалу (окрім, можливо, самої точки х1).

Якщо при переході через точку х1 зліва направо похідна функції f (x) змінює знак

з“+” на “-“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна змінює знак

з“-“ на “+”- то функція має мінімум.

Найбільше та найменше значення функції на відрізку

На основі вищесказаного можна встановити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого і найменшого значення функції на відрізку:

1)Знайти критичні точки функції.

2)Знайти значення функції в критичних точках.

3)Знайти значення функції на кінцях відрізка.

4)Вибрати серед отриманих значень найбільше і найменше.

Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків

Нехай в точці х=х1 f (x1)=0 і f(x1) існує і неперервна в деякому околі точки х1.

Теорема. Якщо f (x1) = 0, то функція f(x) в точці х=х1 має максимум, якщо f(x1)<0 і мінімум, якщо f(x1)>0.

Якщо f(x)=0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.

Опуклість і вгнутість кривої

Точки перегину

Означення. Крива обернена опуклістю вгору на інтервалі (а,b), якщо всі її точки лежать нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Крива, обернена опуклістю вгору, називається опуклою, а крива, обернена опуклістю вниз – називається вгнутою.

На рисунку показана ілюстрація наведеного означення.

у

x

Теорема 1. Якщо в усіх точках інтервалу (a, b) друга похідна функції f(x)

від’ємна, то крива y = f(x) обернена опуклістю вгору (опукла).

Означення. Точка, відтинаюча опуклу частину кривої від вгнутої, називається

точкою перегину.

В точці перегину дотична перетинає криву.

Теорема 2. Нехай крива визначається рівнянням y=f(x). Якщо друга похідна f(a)=0 або f(a) не існує і при переході через точку х=а f(x) змінює знак, то точка кривої з абсцисою х=а є точкою перегину.

Асимптоти

При дослідженні функцій часто буває, що при віддаленні координати х точки кривої у нескінченність крива необмежено наближається до деякої прямої.

Означення. Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки кривої до цієї прямої при віддаленні точки у нескінченність прямує до нуля.

Необхідно зазначити, що не кожна крива має асимптоту. Асимптоти можуть бути прямі і похилі. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення

ідозволяє більш точно визначати характер функції і поведінку графіка кривої.

Взагалі кажучи, крива, необмежено наближаючись до своєї асимптоти, може і перетинати її, причому не в одній точці, як показано на наведеному нижче графіку

		x
функції y	x	e 3	sin x . Її похила асимптота у=х.
				10
				5
		- 10		- 5	5	10
				- 5
				- 10
				- 15
				- 20

	Вертикальні асимптоти
Із означення асимптоти слідує, що якщо lim f (x)		або lim f (x)	або
	x a 0	x a 0
lim f (x)	, то пряма х=а – асимптота кривої y=f(x).
x a

Наприклад, для функції f (x)		2		пряма х=5 є вертикальною асимптотою.
	x		5

Похилі асимптоти

Припустимо, що крива y=f(x) має похилу асимптоту y=kx+b.

15
12.	5
10
7.	5
	5
2.	5
	1	2	3	4

Тоді lim[ f (x) (kx b)] 0 .

x

Для точного визначення прямої y=kx+b необхідно знайти спосіб обчислення коефіцієнтів k і b.

У виразі lim[ f (x)

(kx

b)]

0 виносимо за дужки х:

x

lim x

f (x)

k

b

0

x

x

x

Так як х

, то lim

f (x)

k

b

0 , так як b=const, то

x

x

x

lim

b

0;

limk

k .

x

x

x

Тоді lim

f (x)

k

0

0 ,

отже,

x

x

k

lim

f (x)

.

x

x

Так як lim f (x)

(kx

b)

0 , то lim f (x)

kx

limb

0 , отже,

x

x

x

b lim f (x) kx .

x

Горизонтальні асимптоти

Якщо в рівнянні похилої асимптоти y=kx+b функції y=f(x) маємо k =0, то таку похилу асимптоту називають горизонтальною асимптотою функції. Отже,