Математика для економістів Заоч. 2010 ч

1	1		С3 ;			1		1	C2			; 0		1				C1	;
	8							4						2
	C			1	;	C				5	; C				7		;
							2						3
	1		2						4					8

Отримаємо частинний розв‟язок (розв‟язок задачі Коші):

y

1

e2 x

1

x2

5

x

7

.

8

4

4

8

2. Розв‟язати рівняння y

y

0.

Запишемо характеристичне рівняння: k 3

1

0;

(k

1)(k 2 k

1)

0;

k1

1;

k 2

k 1

0;

D 1 4

3;

k2

1

3

i;

k3

1

3

i;

2

2

2

2

x

Загальний розв‟язок має вигляд: y

C e x

3

x

3

x .

e 2

C

2

cos

C

3

sin

1

2

2

3. Розв‟язати рівняння y IV

y

0.

Запишемо характеристичне рівняння: k 4

1

0.

(k 2 1)(k 2

1)

0;

k

1;

k

2

1;

k

3

i;

k

4

i.

1

Загальний розв‟язок: y

C ex

C

2

e x

C cos x

C

4

sin x.

1

3

4. Розв‟язати рівняння y

4y

4y

0.

Характеристичне рівняння: k 2

4k

4

0;

k1

k2

2.

Загальний розв‟язок: y

C e2 x C

2

xe2 x .

1

5. Знайти загальний розв‟язок рівняння y

y

.

x

Застосуємо підстановку z

y ;

z

y ;

z

z

;

dz

z

;

dz

dx

;

dz

dx

;

x

dx

x

z

x

z

x

ln

z

ln

x

ln C1 ;

z C1 x;

Виконуючи зворотну заміну, отримаємо:

y

C x;

y

C xdx

C1

x 2

C

;

2

1

1

2

y

C1

x

2

C

dx

C1

x3

C

x C

;

2

2

2

6

3

Загальний розв‟язок диференціального рівняння:

1;

y Cx3 C2 x C3 ;

Відмітимо, що це співвідношення є розв‟язком для всіх значень змінної х окрім значення х=0.

6. Розв‟язати рівняння y

4y

x .

Розв‟яжемо відповідне однорідне рівняння: y

4y

0.

k 3 4k 0;

k(k 2

4)

0; k

0; k

2

2;

k

3

2;

1

y C C

e2 x

C

e 2 x ;

1

2

3

Тепер знайдемо частинний розв‟язок початкового неоднорідного рівняння.

Сопоставимо праву частину рівняння з виглядом правої частини, розглянутим вище.

					P(x) x;	0.
Частинний		розв‟язок		будемо	шукати	у	вигляді:	y x r e x Q(x) ,	де
r 1;	0;	Q(x)	Ax B.
Тобто,		y Ax 2	Bx.

Тепер визначимо невизначені коефіцієнти А і В.

Підставимо частинний розв‟язок в загальному вигляді в початкове неоднорідне диференціальне рівняння.

y 2Ax B; y 2A; y 0;

	0 8Ax 4B x; 8A 1; A	1	; B 0;
		8

	Отже, частинний розв‟язок: y	x2	.
		8

Тоді загальний розв‟язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння:

y	x2	C C		e2 x	C	e 2 x .
	8	1	2		3

7. Розв‟язати рівняння y 2 y y 3e x .

Запишемо характеристичне рівняння для відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння:

k 2 2k 1 0; k1 k2

Загальний розв‟язок однорідного рівняння:	y C e x	C	2	xex .
	1

Тепер знайдемо частинний розв‟язок неоднорідного рівняння у вигляді:

y	x r e x Q(x)
1; r	2; Q(x) C;

y Cx 2 e x .

Скористаємось методом невизначених коефіцієнтів.

y 2Cxe x Cx 2 e x ;

y 2Ce x 2Cxe x 2Cxe x Cx 2 e x .

Підставляючи в початкове рівняння, отримаємо:

2Ce x 4Cxex

Cx2ex

4Cxex

2Cx2ex

Cx2ex

3ex .

2C

3;

C

3

.

2

Частинний розв‟язок має вигляд: y

3

x2 e x .

2

Загальний розв‟язок лінійного неоднорідного рівняння: y

C e x

C

xex

3

x2 e x .

2

1

2

Завдання

В1. Розв‟язати рівняння 2 y ''

x

0 .

Доведіть, що функція y=x+sinx задовольняє рівнянню yn

y

x .

В2. Розв‟язати диференціальне рівняння y ''

y '

e x .

Розв‟язати диференціальне рівняння.

y n

2 y'

8 y

0 ,

y(0)

2,

y'(0)

2 .

В3. Розв‟язати диференціальне рівняння

y n 4 y' 3y 0, y(0)

2, y'(0)

10 .

Розв‟язати диференціальне рівняння y n

6 y'

13y

0 .

В4. Розв‟язати рівняння y''

2x

1.

Розв‟язати диференціальне рівняння y n

6 y'

13y

0 .

В5. Розв‟язати рівняння y''

6 y'

9 y

9x 2

12x

2 .

Знайти розв‟язок рівняння

y" y'

6y

0 ,

y(0)

5

y'(0)

0 .

В6. Розв‟язати диференціальне рівняння при заданих умовах

y'' 4y' 4y

0 ,

y(0)

1,

y'(0) 5.

Розв‟язати рівняння y"

y'

2 y

e x .

Питання для самоконтролю

1.Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами?

2.Яке рівняння називається характеристичним?

3.Як знаходять характеристичне рівняння?

4. Який вигляд має загальний розв‟язок рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами, якщо:

А. Корені характеристичного рівняння дійсні та різні?

Б. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені?

Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та

різницеві рівняння

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати різницеві рівняння та системи лінійних різницевих рівнянь.

План заняття

1.Різницеві рівняння.

2.Системи лінійних різницевих рівнянь.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Однорідні різницеві рівняння

Означення. Лінійним різницевим рівнянням k -го порядку називається рівняння

виду

b	k y	b	k 1 y	n	... b y	n	f (n) ,	(n 0,1,2,...) ,
0		n 1			k

де b0 , b1 ,..., bk - сталі коефіцієнти.

Запишемо це різницеве рівняння в рівносильній формі:

a0 yn k a1 yn k 1

a2 yn k

2

.... ak yn

f (n) , (n

0,1,2,...) .

Число k називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна подати

в операторній формі:

L(S ) yn

f (n) , (n 0,1,2,...)

L(S) a

S k

a S k 1

a

S k 2 ....

a

k

,

Sy

k

y

k 1

.

0

1

2

Якщо f (n) 0 , різницеве рівняння називається

однорідним, а якщо f (n) 0 ,

різницеве рівняння називається неоднорідним. Для

однозначного визначення

розв‟язку зазвичай задаються початкові умови

yn

y0,n

(n

0,1,2,..., k

1) .

Означення. Розв‟язком різницевого рівняння

називається

послідовність

yn

(n 0,1,2,...) , підставлення якої в це рівняння перетворює його на тотожність.

Властивості

однорідного

різницевого

рівняння

a0 yn k

a1 yn k 1

a2 yn k 2 ....

ak yn

0 :

1. Якщо різницеве рівняння має розв‟язок yn

y1,n

(n 0,1,2,...) , то воно має також

розв‟язок yn c1 y1,n (n

0,1,2,...) , c1

const .

2. Якщо різницеве рівняння має два розв‟язки

yn

y1,n ,

yn y2,n ,

(n

0,1,2,...) ,

то

воно має також розв‟язок yn

y1,n

y2,n

(n 0,1,2,...) .

Звідси випливає, що це різницеве рівняння має також розв‟язок

yn

c1 y1,n

c2 y2,n , (n

0,1,2,...) ,

c1

const ,

c2

const .

Означення. Розв'язок різницевого рівняння k -го порядку

yn

c1 y1,n

c2 y2,n

...

ck yk ,n

називається загальним, якщо завдяки вибору довільних

сталих

c1 , c2 ,..., ck можна

задовольнити початкові умови

c1 y1,n c2 y2,n

...

ck yk ,n

y0,n ,

(n

0,1,2,..., k 1) .

При цьому дана система рівнянь завжди має розв‟язок відносно сталих c1 , c2 ,..., ck .

Загальний метод розв‟язування лінійних різницевих рівнянь зі сталими

коефіцієнтами

(метод

Ейлера).

Частинні

розв‟язки

однорідного

рівняння

a0 yn k

a1 yn k 1

a2 yn k 2 ....

ak yn

0 відшукуємо у вигляді

y

n

n ,

(n

0,1,2,...) ,

const .

Число

називається

мультиплікатором

розв‟язку різницевого рівняння.

Мультиплікатори визначаються із алгебраїчного рівняння

a0

k

a1

k 1

...

ak

0 .

Це рівняння називається мультиплікаторним рівнянням.

Теорема. Якщо мультиплікаторне рівняння має k

різних коренів

1 ,

2 ,..., k , то

загальний розв‟язок різницевого рівняння має вигляд:

y

n

C

n

C

n

...

C

k

n

, (n

0,1,2,...) .

1

1

2 2

k

Розглянемо випадок кратних коренів мультиплікаторного рівняння.

Теорема. Якщо мультиплікаторне рівняння a0					a1		... ak 0 має кратні
				k	k	1
корені 1 , 2 ,..., l кратності відповідно m1 ,..., ml			( m1 ...	ml	k ), то загальний розв‟язок
різницевого рівняння запишеться так:
	l
yn	in (ci,1	ci,2 n ...	ci,m nmi 1 ) , (n		0,1,2,...) .
			i
	i 1
Неоднорідні різницеві рівняння зі спеціальною правою частиною
Розв‟язування неоднорідного різницевого рівняння
a0 yn k	a1 yn k 1	a2 yn k 2 ....	ak yn	f (n) , (n			0,1,2,...)

завжди можна звести до підсумування відомих функцій, застосувавши метод варіації довільних сталих. Загальний розв‟язок різницевого рівняння є сумою частинного розв‟язку неоднорідного різницевого рівняння і загального розв‟язку однорідного різницевого рівняння.

Найчастіше неоднорідне різницеве рівняння має спеціальну праву частину

		L(S) y		n	Q (n)bn , b const ,					(n 0,1,2,...) ,
						l
де Ql	(n) - многочлен від n степеня l . Тоді має місце наступні теореми.
	Теорема. Якщо L(b)		0 ,		то			неоднорідне		різницеве	рівняння має частинний
розв‟язок вигляду
							y	n	P (n)bn , (n	0,1,2,...) ,
									l
де Pl	(n) - деякий многочлен від n степеня l .
	Теорема. Якщо L(b)		0		і	b		є	коренем рівняння		L( ) 0 кратності m , то
різницеве рівняння L(S) y		n	Q (n)bn				має частинний розв‟язок вигляду
			l
					y		n	nm P (n)bn , (n		0,1,2,...) .
									l

Многочлен Pl (n) від n степеня l можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Система лінійних різницевих рівнянь

Лінійне різницеве рівняння k - го порядку завжди можна звести до системи лінійних різницевих рівнянь вигляду

y1,n

1

a1,1 y1,n

a1,2 y2,n

...

a1,k yk ,n

f1 (n)

y2,n

1

a2,1 y1,n

a2,2 y2,n

...

a2,k yk ,n

f 2 (n)

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....

yk ,n 1

ak ,1 y1,n

ak ,2 y2,n

...

ak ,k yk ,n

f k (n)

n

0,1,2,...

Позначивши

y1,n

a11

a12

...

a1k

f1 (n)

yn

y2,n

, A

a21

a22

...

a2k

,

F (n)

f 2 (n)

,

...

... ... ... ...

....

yk ,n

ak1

ak 2

...

akk

f k (n)

дістанемо систему різницевих рівнянь у векторній формі:

yn 1

Ayn

F (n) , (n

0,1,2,...) .

Розв'язок однорідної системи різницевих рівнянь

yn 1

Ayn ,

(n

0,1,2,...) можна

дістати у вигляді

y

Ay

0

,

y

2

Ay

A2 y

0

, y

3

Ay

2

A3 y

0

, ...,

y

n

An y

0

.

1

1

Частинні розв‟язки однорідної системи різницевих рівнянь відшукаємо у

вигляді

y

n

X

n ,

X

const, X

0 .

Підставляючи yn

у систему різницевих однорідних рівнянь, дістаємо рівняння

X

n

1

AX n , X

AX .

Звідси випливає, що - власне число, X - власний вектор матриці має місце наступна теорема.

Теорема. Якщо матриця A порядку k має k різних власних чисел

то загальний розв‟язок системи різницевих рівнянь набирає вигляду

y

n

c X

n

c

2

X

n

... c

k

X

n , де

c , c

2

,..., c

k

- довільні сталі.

1

1 1

2 2

k k

1

Приклади

A . Отже,

1 , 2 ,..., k ,

1.	Знайдемо загальний розв‟язок різницевого рівняння
	yn 3 6 yn 2			12yn 1		8 yn	0 .
Розв'язок. Мультиплікаторне рівняння			3	6 2		12 8	0 має корінь =2 третьої
кратності. Тому загальний розв‟язок рівняння набирає вигляду
	y	n	2n (c c		n c n2 ) .
			1	2		3
2.	Знайдемо частинний розв‟язок різницевого рівняння

y

n 1

2y

n

3n .

Оскільки число

b =3

не

є коренем мультиплікаторного

рівняння

2

0 , то

частинний розв‟язок має вигляд

yn

A 3n . Підставляючи

yn

в різницеве рівняння,

дістаємо:

A 3n 1

2A 3n

3n , 3A 2A 1, A 1.

Частинний розв‟язок має вигляд y

n

3n .

3. Знайдемо загальний розв‟язок системи рівнянь

y1,n 1

y1,n

2 y2,n .

y2,n 1

4 y1,n

3y2,n

Розв'язок. Матриця A

1

2

має

власні

числа

1 5 ,

1 і відповідні

власні

4

3

2

вектори X1

1

, X 2

1 .

2

1

Загальний розв‟язок системи різницевих рівнянь подається так:

y

c

1 5n

c

1 (

1)n , (n 0,1,2,...) .

n

1

2

2

1

Завдання

1. Скласти рівномірну сітку і визначену на ній сіткову функцію при N=4, якщо

функція y

x 2 визначена на відрізку [0;1].

2. Знайти загальний розв'язок рівняння:

y(i 1)

ei y(i) 0 .

3.

Знайти

розв'язок

задачі

Коші

для

рівняння четвертого

порядку:

y(i

4)

4y(i

2) 4y(i)

0,i

4

із

заданими

початковими

умовами:

y(0)

1; y(1)

0; y(2)

6; y(3)

4

2 .

Питання для самоконтролю

1.Дайте визначення сітки, сіточної функції

2.Яку форму має лінійне різницеве неоднорідне рівняння n-го порядку з змінними коефіцієнтами?

3.Властивості розв‟язків лінійних різницевих рівнянь.

4.Властивості розв‟язків лінійних однорідних рівнянь.

5.Можливі випадки типів коренів характеристичних рівнянь однорідних різницевих рівнянь.

Модуль І. Вища математика

Змістовий модуль V. Ряди та їх застосування. Елементи фінансової математики

Тема 14. Ряди та їх застосування

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати числові ряди з додатними членами, необхідні та достатні ознаки збіжності знакододатніх рядів.

План заняття

1.Основні означення.

2.Властивості рядів.

3.Необхідна умова збіжності ряду.

4.Достатні умови збіжності знакододатніх рядів.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Основні означення

Означення. Сума членів нескінченої числової послідовності називається числовим рядом

u1 , u2 ,..., un ,...

				u1 u2	... un	...	un .
							n 1
При цьому числа u1 ,u2 ,... будемо називати членами ряду, а un – загальним
членом ряду.
					n
Означення.	Суми	Sn	u1	u2 ...	un	uk ,	n = 1, 2, … називаються
					k	1
частинними сумами ряду.
Означення.	Ряд u1	u2	...	un ...	un	називається збіжним, якщо збігається
					n 1

послідовність його частинних сум. Сума збіжного ряду – границя послідовності його

частинних сум.

lim Sn S,	S	un .
		n 1

Означення. Якщо послідовність частинних сум ряду розбіжна, тобто не має границі, або має нескінченну границю, то ряд називається розбіжним і йому не ставлять у відповідність ніякої суми.

Властивості рядів

1) Збіжність або розбіжність ряду залишиться незмінною якщо змінити,

відкинути або додати скінчену кількість членів ряду.

2) Розглянемо два ряди				un	і Cu n , де С – постійне число.
Теорема. Якщо ряд				un збігається і його сума дорівнює S, то ряд					Cu n
також збігається, і його сума дорівнює СS. (C							0)
3) Розглянемо			два ряди		un і	vn .	Сумою або різністю цих рядів буде
називатись ряд		(un	vn ) , де елементи отримані в результаті додавання (віднімання)
початкових елементів з однаковими номерами.
Теорема. Якщо ряди				un і	vn	збігаються і їх суми дорівнюють відповідно S
і , то ряд	(un	vn ) також збігається і його сума дорівнює S + .
				(un	vn )	un	vn	S
Різниця двох збіжних рядів також буде збіжним рядом.
Сума збіжного і розбіжного рядів буде розбіжним рядом.
			Необхідна умова збіжності ряду
Якщо ряд		un	збігається, то загальний член ряду un прямує до нуля
						limun	0 .
						n
Однак,	ця	умова не		є достатньою. Можна				лише стверджувати, що	якщо

загальний член ряду не прямує до нуля, то ряд точно є розбіжним. Наприклад,

	гармонічний ряд		1	є розбіжним, хоча його загальний член і прямує до нуля.
		n 1 n
				Ряди з невід‟ємними членами
	Теорема.	Для		збіжності ряду	un з невід’ємними членами необхідно і
	достатньо, щоб частинні суми ряду були обмежені.
				Ознака порівняння рядів з невід‟ємними членами
	Нехай задані два ряди un і vn				при un, vn 0.