Математика для економістів Заоч. 2010 ч

Питання для самоконтролю

1.Опишіть алгоритм розв'язування системи лінійних рівнянь матричним способом.

2.Що називається власним значенням та власним вектором матриці ?

3.Що називається квадратичною формою?

4.Наведіть приклади застосування матричного аналізу в економіці.

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 4. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Мета роботи. Знати основні елементи векторної алгебри, основні означення, вміти виконувати дії з векторами, обчислювати скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, знати їх властивості та геометричне застосування. Опанувати елементи аналітичної геометрії на площині та в просторі.

План вивчення теми

1.Вектори, основні означення.

2.Базис. Розкладання вектора за базисом.

3.Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, їх властивості та геометричне застосування: обчислення площ паралелограма і трикутника і об'ємів призми та піраміди.

4.Відстань між точками.

5.Пряма на площині, види рівнянь прямої на площині.

6.Умови паралельності і перпендикулярності прямих.

7.Кут між прямими на площині.

8.Лінії другого порядку: парабола, гіпербола, еліпс.

9.Рівняння прямої в просторі. Напрямний вектор прямої. Параметричні рівняння прямої.

10.Рівняння площини. Пряма як перетин двох площин. Умови паралельності і

перпендикулярності прямих і площин.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Вивчити теоретичні відомості. Ознайомитись з поняттями векторної алгебри та аналітичної геометрії. Законспектуйте відповіді на питання до самостійної роботи.

Питання для самоконтролю

1.Що називається лінійним простором?

2.Що таке векторний простір?

3.Що таке лінійна комбінація векторів?

4.Властивості лінійної незалежності.

5.Базис лінійного простору.

6.Що таке ранг системи векторів.

7.Які системи векторів є еквівалентними?

8.Що називається: вектором, ортом, нульовим вектором?

9.Які вектори називають рівними, колінеарними, компланарними?

10.Як визначається сума двох векторів, сума кількох векторів, різниця двох векторів, добуток вектора на число?

11.Сформулювати властивості лінійних операцій над векторами.

12.Що називається базисом на прямій, на площині, у просторі?

13.Що називається проекцією вектора на вісь? Сформулювати та довести властивості проекцій.

14.Що називається напрямним вектором прямої?

15.Скласти рівняння прямої, яка проходить через задану точку паралельно заданому вектору.

16.Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої на площині.

17.Вивести рівняння прямої з коефіцієнтом та рівняння прямої, що проходить через дві точки.

18.Вивести рівняння прямої у відрізках та загальне рівняння прямої.

19.Довести, що всяке рівняння Ax By C 0 визначає на площині Оху пряму

лінію. Дослідити загальне рівняння прямої.

20.Як знайти кут між двома прямими? Сформулювати і записати умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

21.Вивести формулу для знаходження відстані від точки до прямої.

22. Що називається лінією другого порядку?

23. Що називається колом? Вивести рівняння кола з центром у точці M 0 x0 ; y0 .

24.Що називається еліпсом? Вивести канонічне рівняння еліпса.

25.Дослідити форму еліпса, відповідно канонічним рівнянням, та побудувати його.

26.Що називається гіперболою? Вивести канонічне рівняння гіперболи.

27.Дослідити форму гіперболи, відповідно канонічним рівнянням, та побудувати її.

28.Записати та дослідити загальне рівняння площини.

29.Вивести рівняння площини, яка проходить через три точки.

30.Вивести рівняння площини у відрізках на вісях.

31.Як обчислити кут між двома площинами?

32.Які умови паралельності та перпендикулярності двох площин, двох прямих,

прямої і площини?

33. Вивести формулу для обчислення відстані від точки до площини?

Література [1];[3]; [4]; [5]

Модуль 1.

Змістовий модуль ІІ. Диференціальне числення функції однієї змінної та його

застосування в економіці.

Тема 5. Елементи теорії границь

Мета роботи. Вивчення теми надасть студентам можливість зрозуміти поняття границі функції та опанувати методи обчислення границь функцій.

План вивчення теми

1.Границя послідовності.

2.Границя функції.

3.Нескінченно малі і нескінченно великі величини.

4.Види невизначеностей.

5.Обчислення границь функцій.

6.Перша і друга важливі границі.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується вивчити поняття границі послідовності та границі функції, а також ознайомитись з поняттями нескінченно малих і нескінченно великих величин. Розглянути види невизначеностей та методи їх розкриття. Набути навички обчислення границь функцій та застосування першої і другої важливої границі.

Питання для самоконтролю

1.Що називається функцією? Навести приклади.

2.Що називається областю визначення та множиною значень функції?

3.Охарактеризувати основні способи задання функції.

4.Які функції називаються основними елементарними функціями?

5.Яка функція називається складеною ? Навести приклади.

6.Яка функція називається елементарною?

7.Що називається числовою послідовністю?

8.Що називається границею числової послідовності?

9.Що називається границею функції в точці?

10.Які функції називаються нескінченно малими?

11.Які функції називаються нескінченно великими?

12.Ознаки існування границі послідовності.

Література [1];[2] ; [3]; [4]; [5]

Тема 6. Диференціальне числення функції однієї змінної

Мета роботи. Вивчення теми надасть студентам можливість знати основи диференціального числення, здобути навички обчислення похідних функцій.

Ознайомитись із економічним змістом похідної.

План вивчення теми

1.Елементарні функції.

2.Похідна функції.

3.Геометричний та економічний зміст похідної.

4.Похідні основних функцій.

5.Правила диференціювання.

6.Похідна складної, оберненої, заданої неявно функції.

7.Диференціал функції. Геометрична інтерпретація диференціала.

8.Основні теореми диференціального числення.

9.Обчислення границь за правилом Лопіталя.

10.Формули Тейлора і Маклорена.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Вивчити та законспектувати такі поняття, як елементарні функції, похідна функції, похідні основних функцій та правила диференціювання. Ознайомитись та набути практичних навичок обчислення похідної складної, оберненої та неявно заданої функції. Застосовувати правило Лопіталя для обчислення границь функцій.

Питання для самоконтролю

1.Дати означення похідної заданої функції.

2.Який геометричний, механічний та фізичний зміст похідної?

3.Як знайти похідну, виходячи з її означення?

4.Залежність між неперервністю функції та її диференційованістю.

5.Сформулювати правила диференціювання.

6.Похідна складної та оберненої функцій.

7.Логарифмічна похідна.

8.Похідні неявної та параметрично заданої функції.

9.Похідні вищих порядків.

10.Описати спосіб графічного диференціювання.

11.Як визначається кут між лініями?

12.Що називається диференціалом функції?

13.Який геометричний та механічний зміст диференціала?

14.Назвати властивості диференціала.

15.У чому полягає інваріантність форми диференціала?

16.Як визначається диференціал функції через її похідну?

17.Вивести правила диференціювання суми, різниці, добутку та частки двох функцій.

18.Вивести правила диференціювання складеної функції.

19.Вивести правило диференціювання оберненої функції.

20.Як диференціювати неявно задану функцію? Навести приклад.

21.Сформулювати теорему Ферма.

22.Сформулювати теорему Ролля.

23.Сформулювати теорему Лагранжа.

24.Сформулювати теорему Коші.

25.Записати формулу Маклорена.

26.Записати формулу Тєйлора.

27.Сформулювати правило Лопіталя.

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 7. Дослідження функцій та побудова їх графіків

Мета роботи. Знати математичний апарат та розуміти процедуру дослідження функцій, вміти виконувати побудову їх графіків.

План вивчення теми

1.Область визначення функції.

2.Неперервність функцій.

3.Точки розриву 1-го та 2-го роду.

4.Асимптоти функції.

5.Дослідження функції на екстремум.

6.Необхідна і достатні умови існування екстремуму.

7.Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

8.Побудова графіків функцій.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується ознайомитись з основами дослідження функцій та побудови їх графіків. Письмово надайте відповіді на запитання для самостійної роботи.

Питання для самоконтролю

1.Яка функція називається неперервною в точці?

2.Яка функція називається неперервною на відрізку?

3.Сформулювати властивості неперервних функцій.

4.Що називається асимптотою функції, Якими бувають асимптоти?

5.Сформулювати необхідну і достатні умови існування екстремуму функції однієї змінної.

6.Викласти схему дослідження функцій.

7.Як визначити найменше та найбільше значення функції на відрізку?

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 8. Граничний (маргінальний) аналіз

Мета роботи. Зрозуміти роль та сутність граничного аналізу та його економічного змісту. Набути навички математичного дослідження економічних

показників.

План вивчення теми

1.Застосування похідної в економіці.

2.Граничні показники в мікроекономіці: гранична собівартість продукції,

граничний доход, граничні витрати, гранична продуктивність праці і т.п.

3.Гранична схильність до споживання та збереження в макроекономічній моделі національного доходу.

4.Еластичність економічних показників.

5.Максимізація прибутку.

6.Оптимізація оподаткування підприємств.

7. Закон спадної ефективності виробництва.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Використовуючи список літератури, що наведено у посібнику, рекомендується вивчити та законспектувати такі поняття, як граничні показники в мікроекономіці,

еластичність економічних показників. Надайте письмові відповіді на запитання для самостійної роботи.

Питання для самоконтролю

1.Поясніть економічний зміст похідної.

2.Наведіть приклади застосування похідної в економіці.

3.Поясніть , що таке граничні показники в економіці. Наведіть приклади.

4.Сформулюйте задачі на визначення оптимального розв'язку: максимум прибутку, оптимізація оподаткування і т.ін.

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Модуль І

Змістовний модуль 3. Диференціальне числення функції багатьох змінних та його застосування в економіці

Тема 9. Основні поняття функції багатьох змінних та їх інтерпретація в економічній теорії.

Мета роботи. Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички побудови області визначення функції багатьох змінних. Ознайомитись із застосуванням функції багатьох змінних в економіці.

План вивчення теми

1.Функція багатьох змінних.

2.Область визначення функції багатьох змінних.

3.Інтерпретація в економіці: функція корисності, виробничі функції.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно ознайомитись з порядком побудови області визначення функції багатьох змінних. Використовуючи список літератури, що наведено у посібнику,

вивчити та законспектувати такі поняття, як область визначення функції багатьох змінних. Надайте інтерпретацію функції багатьох змінних в економіці.

Питання для самоконтролю

1.Що називається функцією багатьох змінних?

2.Що називається областю визначення функції багатьох змінних та який її геометричний зміст?

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 10. Диференційованість функцій багатьох змінних

Мета роботи. Виробити практичні навички обчислення частинних похідних,

похідної складної та неявно заданої функцій. Вивчити поняття поверхні та лінії рівня.

Ознайомитись із економічним застосуванням в економіці.

План вивчення теми

1.Частинні похідні.

2.Повна похідна.

3.Повний диференціал.

4.Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях.

5.Похідна складної та заданої неявно функції.

6.Похідна за напрямом.

7.Градієнт функції та його властивості.

8.Поверхні та лінії рівня.

9.Лінія та поверхня байдужості в економічній теорії споживання.

10... Ізокванта випуску в теорії виробника.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Використовуючи список літератури, що наведено у посібнику, ознайомитись із правилами диференціювання функції багатьох змінних. Набути навичок застосування частинних похідних та градієнта функції в економіці.

Питання для самоконтролю

1.Що являє собою графік функції z = f(x, y)? У чому полягає метод перерізів?

2.Що називається лінією рівня функції z = f(x, y)? Навести приклад.

3.Дати означення неперервної функції трьох змінних, n змінних.

4. Що називається границею функції z = f(M) M M0?

5.Що називається поверхнями рівня функції u = f(x, y, z)?

6.Дати означення неперервної функції двох змінних у точці та на множині точок.

7.Що називається замкненою обмеженою областю?

8.Сформулювати властивості функції z = f(x, y), неперервної у замкненій обмеженій області.

9.Дати означення частинної похідної функції двох змінних по одній з них.

З‟ясувати її геометричний зміст.

10.Як визначають частинні похідні другого та третього порядку від функції двох змінних?

11.Сформулювати теорему про рівність других мішаних похідних.

12.Дати означення диференційовності функції z = f(x, y).

13.Довести теорему про неперервність диференційовної функції.

14.Довести теорему про існування частинних похідних диференційовної функції.

15.Вивести достатні умови диференційовності функції двох змінних.

16.Дати означення повного диференціала функції двох змінних та вказати формулу для його знаходження. Узагальнити цю формулу для функції n змінних.

17.Як застосовується повний диференціал функції для наближеного обчислення її значень?

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]

Тема 11. Екстремум та умовний екстремум функції багатьох змінних

Мета роботи. Опанувати дослідження функції багатьох змінних на екстремум.

Вивчити метод Лагранжа. Ознайомитись із економічними застосуваннями.