Математика для економістів Заоч. 2010 ч

dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далі повторимо ці ж дії для другого рівняння системи, потім – для третього і

т.д.

Приклади

1. Визначити сумісність системи лінійних рівнянь:

										x1			3x2			5x3		7x4		9x5		1
										x1			2x2			3x3		4x4		5x5		2		.
										2x1			11x2			12x3			25x4			22x5		4
Розв‟язок.
		1	3	5	7		9	1		3			5			7	9			1		3	5	7	9
A = 1			2 3			4 5 ~ 3 9 15 21 27 ~ 1 3 5 7 9 ~
		2	11	12	25		22	2		11			12		25		22			2	11		12	25	22
~	1	3	5	7		9 .									1	3		1	6		5	0	RgA = 2.
	2	11	12	25	22										2	11
		1	3	5		7	9	1		1			3			5	7		9		1
A* =		1	2	3		4	5	2		~ 0			0			0	0		0		1			RgA* = 3.
		2	11	12		25	22	4		2			11		12		25		22		4
		Система несумісна.
		2. Визначити сумісність системи лінійних рівнянь
																x1		4x2		1
																3x1		2x2		4
																7x1		10x2		12 .
																5x1		6x2		8
																3x1		16x2			5
					1		4
					3		2		1	4
Розв‟язок. А =					7	10 ;							= 2 + 12 = 14							0;		RgA = 2;
					5		6		3	2
					3		16
							1	4		1			1			4	1				1		4	1
							3	2		4			0			14	7				0	2		1	1	4	1
				A* = 7 10 12									~ 0 38 19 ~ 0 2											1 ~
							5	6		8			0			26	13				0	2		1	0	2	1
							3	16		5			0			4	2				0	2		1
													4			2	0.			RgA* = 2.
											1
											0		2

Система сумісна.

3. Розв‟язати системи за формулами Крамера:

										2x			y	0;					x		y z	0;
							а)										б)		2x		y	z 5;
										x	3y			7;
																			2 y		z	3.
а) Знаходимо визначники , x,												y :
		1		7;		x				0	1			7, y				2	0		14.
	2
	1	3								7	3							1	7
За формулами		x			x	7				1, y			y	14			2.
						7								7

б)

1	1	1		0	1	1
2	1	1	1, x	5	1	1	1,
0	2	1		3	2	1

		1	0	1			1	1	0
y		2	5	1		2, z	2	1	5	1,
		0	3	1			0	2	3
x	1, y		2,z	1.

4. Розв‟язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса.

								2x1	x2	x3	5
								x1	2x2	3x3	3 .
								7x1	x2	x3	10
Запишемо				розширену					матрицю			системи:			А*	=
2	1	1	5	1	2	3	3	1	2	3	3	1	2	3	3
1	2 3		3 ~ 2		1	1	5 ~ 0		5	7 11 ~ 0			5	7 11
7	1	1	10	7	1	1	10	0	15	22	31	0	0	1	2

Таким чином, початкова система може бути зображена у вигляді:

x1 2x2 3x3 3

5x2 7x3 11

, звідки отримаємо: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

x3 2

5. Розв‟язати систему рівнянь методом Гаусса.

5x y z 0

x 2 y 3z 14 . 4x 3y 2z 16

Розв‟язок. Складемо розширену матрицю системи:

5	1	1	0		1	2	3	14		1	2	3	14		1	2	3	14
1	2	3	14	~	4	3	2	16	~	0	5	10	40	~	0	5	10	40 Таким чином,
4	3	2	16		5	1	1	0		0	11	16	70		0	0	6	18

початкова система має бути зображена у вигляді:

x 2 y 3z 14

5 y 10z 40 , звідки отримаємо: z = 3; y = 2; x = 1.

6z 18

Завдання

Розв‟язати системи рівнянь методами Крамера і Гаусса:

	x 3y		z	5
1.	4x	y	z	24	2.
	2x		5z	5
	4x	5 y		2z	6
4.	x	10z		22	5.
	x		2 y	z	4

x	6 y	5z	0		3x	4 y	z	10
x 2 y 4z			1	3.	2x 3y 4z 2
	3y	5z	8		x	10y	z	20
2x 4 y z 0					3x 4 y z 3
x 5 y 2z 2				6.		x y 2z		4
x	2 y	3z	5			x 5z		9

	x1	x2	x3	x4	4
7.	2x1	x2	3x3	2x4 1
	x1	x3	2x4	6
	3x1	x2	x3	x4	0

Питання для самоконтролю

1.Яка система лінійних рівнянь називається сумісною; несумісною;

визначеною; невизначеною?

2.Записати формули Крамера. В якому випадку вони застосовуються?

3.Сформулювати теорему Кронекера-Капеллі.

Тема 3. Елементи матричного аналізу

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість виробити практичні навички щодо матричного запису системи лінійних рівнянь та матричного способу розв‟язання системи лінійних рівнянь, знати поняття лінійних операторів,

власних векторів і власних значень, ознайомитись із застосуванням матричного аналізу в економіці.

План заняття

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

-матричний запис та матричний спосіб розв‟язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь;

-лінійні оператори;

-власні вектори та власні значення;

-квадратичні форми;

-приклади застосування матричного аналізу в економіці.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Матричний метод рішення систем лінійних рівнянь Матричний метод застосовується до розв‟язку систем рівнянь, де кількість

рівнянь дорівнює кількості невідомих.

Метод є зручним для розв‟язку систем невисокого порядку.

Метод базується на застосуванні властивостей множення матриць.

Нехай задано систему рівнянь:

		a11 x1	a12 x2	...	a1n xn		b1
		a21 x1	a22 x2	...	a2n xn		b2 .
		.......... .......... .......... .......... .......
		an1 x1	an2 x2	...	ann xn		bn
	a11	a12 ... a1n				b1			x1
Складемо матриці A =	a21	a22 ...	a2n ;	B =		b2	;	X =	x2 .
	... ... ... ...					...			...
	an1	an2 ...	ann			bn			xn

Систему рівнянь можна записати у вигляді:

A X = B.

Зробимо наступне перетворення: A-1 A X = A-1 B,

т. як А-1 А = Е, то Е Х = А-1 В і тоді

Х = А-1 В.

Для застосування даного методу необхідно знаходити обернену матрицю, що може бути пов‟язано з розрахунковими складностями при розв‟язку систем високого порядку.

Власні значення та власні вектори матриці

Означення. Вектор х називається власним вектором матриці А, якщо існує таке число , що виконується рівність:

						A х	х .
При цьому число			називається власним значенням (характеристичним числом)
матриці А, яке відповідає вектору х .
Означення. Якщо задана квадратна матриця
	a11	a12 ...	a1n
А =	a21	a22 ...	a2n	, то власні значення матриці А можна знайти як корені 1,
	... ... ... ...
	an1	an2 ...	ann
2, … , n рівняння:
					a11	a12	...	a1n
					a21	a22	...	a2n	0
					...	...	...	...
					an1	an 2	...	ann

Це рівняння називається характеристичним рівнянням, а його ліва частина -

характеристичним многочленом матриці А.

	Нехай задана матриця А = a11				a12 . Тоді матриця А має власний вектор з
				a21	a22
	власним значенням	, тобто А х		х .
	x1	x1	a11 x1	a12 x2	або	(a11	)x1	a12 x2	0
	x2	x2	a21 x1	a22 x2		a21 x1	(a22	)x2	0
	Т. як власний вектор		x ненульовий, то х1 і х2 не дорівнюють нуль одночасно.

Так як дана система однорідна, то для того, щоб вона мала нетривіальний розв‟язок,

визначник системи має дорівнювати нулю. В протилежному випадку за правилом Крамера система має єдиний розв‟язок – нульовий, що неможливо.

a11

a12

(a11

)(a22

)

a12 a21

2

(a11

a22 ) (a11a22

a12 a21 ) .

a21

a22

Отримане рівняння є характеристичним рівнянням матриці А.

Таким чином, можна знайти власний вектор

х (х1, х2) матриці А з власним

значенням , де

- корінь характеристичного рівняння, а х1 і х2

– корні системи

рівнянь при підстановці в неї значення .

Якщо характеристичне рівняння не має дійсних коренів, то матриця А не має

власних векторів.

Квадратичні форми

Означення. Однорідний многочлен другого степеня відносно змінних х1 і х2

Ф(х

, х ) = а

x 2

2a x x

2

a

22

x 2 ,

1

2

11

1

12

1

2

який не містить довільного члена і невідомих в першому степені, називається

квадратичною формою змінних х1 і х2.

Означення. Однорідний многочлен другого степеня відносно змінних х1, х2 і х3

Ф(x , x	2	, x ) a x2			a	22	x2	a	33	x2	2a x x		2	2a	23	x	2	x 2a x x			3	,
1		3	11	1			2			3	12	1						3	13	1

який не містить довільного члена і невідомих в першому степені, називається

квадратичною формою змінних х1, х2 і х3.

Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Квадратична форма має

симетричну матрицю А =

а11

а12 . Визначник цієї матриці називається визначником

а12

а22

квадратичної форми.

Нехай на площині задано ортогональний базис е1 , е2 . Кожна точка площини має

в цьому базисі координати х1, х2.

Якщо задана квадратична форма Ф(х , х

) = а

11

x 2

2a

x x

2

a

22

x

2 , то її можна

1

2

1

12

1

2

розглядати як функцію від змінних х1 і х2.

Зведення квадратичних форм до канонічного виду

Розглянемо деяке лінійне перетворення А з матрицею А

а11

а12 .

а12

а22

Це симетричне перетворення можна записати у вигляді: y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

де у1 і у2 – координати вектора Ах в базисі е1 , е2 .

Очевидно, що квадратична форма може бути записана у вигляді:

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Якщо в якості базису взяти сукупність власних векторів лінійного

перетворення, то в цьому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд:

А

1

0

.

0

2

При переході до нового базису від змінних х1 і х2 ми переходимо до змінних х1

і х2 . Тоді:

Ф

х1 у1

х2 у2

у1

а11 х1

а12 х2 .

у2

а12 х1

а22 х2

Тоді у1

1 х1 ,

у2

2 х2 .

Вираз

Ф(х , х

2

)

1

(х )2

2

(х

2

)2

називається канонічним видом квадратичної

1

1

форми. Аналогічно можна привести до канонічного виду квадратичну форму з більшою кількістю змінних.

Теорія квадратичних форм використовується для зведення до канонічного виду рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Приклади

1. Розв‟язати систему рівнянь матричним способом:

										5x			y	z	0
											x		2 y	3z	14 .
										4x			3y 2z		16
					x	0				5		1		1
Розв‟язок. Х =					y	, B = 14		, A =		1		2		3
					z	16				4		3		2
Знайдемо обернену матрицю А-1.
					1	1
				5
= det A =				1	2	3	5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
				4	3	2
									1 1							1 1
M11 =	2 3		= -5;				M21	=				= 1;			M31 =			= -1;
	3	2							3	2						2	3

M12	=	1	3	10;		M22 =	5		1			14;	M32	=		5	1		16;
		4	2				4		2							1	3
M13	=		2		5;	M23 =		5	1			19;	M33	=		5	1		11;
		1
		4	3					4	3							1	2

1	5				1	1								1					1													1					1					1
a11	30		;		a12	30		;						a13	30						;
																																6					30					30
a211		10		;	a221				14			;			a231							16				;				A-1 =				1					7				8			;
	30							30													30											3					15					15
a 1	5				a 1		19							a 1						11												1					19					11
			;					;																;
																																6					30					30
31	30				32	30								33					30
Зробимо перевірку:
								5							1						1
			5		1	1		30							30						30									25	10	5				5	14					19				5	16	11
AA-1 = 1					2	3		10							14						16							1		5	20	15				1	28					57				1	32	33 = E.
											30					30							30						30
			4		3	2																								20	30	10				4	42					38				4	48	22
								5						19							11
								30							30						30

Знаходимо матрицю Х.

	1			1				1						1		0	14			16
x	6			30				30			0		6				30			30
Х = y = А-1В =		1			7			8			14	=		1		0		98		128
		3	15					15						3			15			15
z											16
	1		19					11					1	0			266			176
	6			30					30				6				30				30

Розв‟язок системи: x =1; y = 2; z = 3.

2. Знайти характеристичні числа і власні вектори матриці

А = 52 43 .

1

2 .

3

Розв'язок. Запишемо характеристичне рівняння:

	5		4			(5	)(3 ) 8				15 3 5		2	8 0
	2	3
								2 - 8	+ 7 = 0;
Корені характеристичного рівняння:								1 = 7;			2 = 1;
Для кореня 1 = 7:	(5 7)x1			4x2			0	2x1	4x2 0			.
	2x	(3		7)x		2	0	2x	4x	2	0
	1							1

Із системи отримаємо залежність: x1 – 2x2 = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; 0,5t) де t- параметр.

	Для кореня	2	= 1:	(5 1)x1 4x2		0	4x1	4x2	0
				2x1	(3 1)x2	0	2x1	2x2	0

Із системи отримаємо залежність: x1 + x2 = 0. Власні вектори для другого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; -t) де t- параметр.

Отримані власні вектори можна записати у вигляді:

					u1 t(e1		0,5e2 );		u2 t(e1			e2 ).
3. Звести до канонічного виду квадратичну форму
					Ф(х	, х ) = 27 х 2			10х х		2	3х 2 .
					1	2	1		1			2
Розв'язок. Коефіцієнти: а11 = 27,						а12 = 5, а22 = 3.
Запишемо характеристичне рівняння:									5			0 ;
								27
								5	3
					(27 -		)(3 -		) – 25 = 0
						2 - 30 + 56 = 0
						1 = 2;			2 = 28;
Отже,	Ф(х , х		)	2х 2	28х 2 .
	1	2		1	2

Завдання

1. Знайти матрицю Х із рівняння:

1.1.	1		2	Х		4	6	;		1.2. Х	5	1			1	1	;
	2		5			2	1				2	3			2	3
1.3.	Х	7		9		4	1		;	1.4.		4		6	Х	2		5	;
		4		5		1		3				2		1		1		3
1.5.	3			2	Х	2		4	;	1.6.		Х	3		2		1		7 .
	5			4		6		8					4		3		3		5

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

5 1 4

1.1. 3 3 2 1.2.

6 2 10

5 4 3

1.4. 5 3 2 1.5.

3 4 1

11 6 2

6 10 4

2 4 6

6 3 2

3 5 1

5 2 9

3 1 2

1.3.

5

3

1

6 4 2

3 5 4

1.6. 1 3 2

4 2 8

3. Підприємство випускає 4 види виробів з використанням чотирьох видів сировини. Норми використання сировини представлені елементами матриці А:

Вид сировини

	1	2	3	4
	2	3	4	5	1
А=	1	2	5	6	2	Вид виробу
	7	2	3	2	3
	4	5	6	8	4

Знайти витрати сировини кожного виду виробу: відповідно 60, 50, 35 та 40

одиниць.

4.На підприємстві з робітниками чотирьох категорій привезли заробітну плату

вкупюрах : по 100 грн. -1850 купюр, по 50 грн. – 230 купюр, по 10 грн. - 250 купюр,

по 1 грн. – 740 купюр. Заробітна плата робітника 1-ї категорії складає 962 грн., 2-ї

категорії – 713 грн., 3-ї категорії = 452 грн., 4 –ї категорії – 261 грн.

Визначити, скільки робітників кожної категорії працює на підприємстві , якщо кожному робітнику видали заробітну плату мінімальним числом купюр.

5. Структурна матриця торгівлі чотирьох країн має вигляд:

	0,2	0,3	0,2	0,2
А=	0,4	0,3	0,1	0,2 .
	0,3	0,3	0,5	0,2
	0,1	0,1	0,2	0,4

Знайти бюджети цих країн, які відповідають бездефіцитній торгівлі за умови,

що суму бюджетів задано: x1 x2 x3 x4 6270.

Питання для самоконтролю

5.Опишіть алгоритм розв'язування системи лінійних рівнянь матричним способом.

6.Що називається власним значенням та власним вектором матриці ?

7.Що називається квадратичною формою?

8.Наведіть приклади застосування матричного аналізу в економіці.

Тема 4. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати елементи векторної алгебри, зокрема такі поняття, як вектори, базис, вміти виконувати дії з векторами, обчислювати скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Також