6. 4. Распределение Пуассона
Распределение Пуассона является частным случаем биномиального распределения, используемым при очень низкой вероятности интересующих нас событий. Другими словами, это распределение описывает вероятность редких событий. Формулой Пуассона можно пользоваться при p < 0,01 и q ≥ 0,99.
Уравнение Пуассона является приближенным и описывается следующей формулой:
(6.9)
где μ представляет собой произведение средней вероятности события и числа наблюдений.
В качестве примера рассмотрим алгоритм решения следующей задачи.
Условие задачи
За несколько лет в 21 крупной клинике России было проведено массовое обследование новорожденных на предмет заболевания младенцев болезнью Дауна (выборка в среднем составляла 1000 новорожденных в каждой клинике). Были получены следующие данные:
-
Число клиник
11
6
2
1
1
0
Число заболеваний
0
1
2
3
4
5
Задание
Определить среднюю вероятность заболевания (в пересчете на число новорожденных).
Определить, на какое число новорожденных в среднем приходится одно заболевание.
Определить вероятность того, что среди 100 случайно выбранных новорожденных обнаружится 2 младенца с болезнью Дауна.
Решение
Определяем среднюю вероятность заболевания. При этом мы должны руководствоваться следующими рассуждениями. Болезнь Дауна зарегистрирована лишь в 10 клиниках из 21. В 11 клиниках заболеваний не обнаружено, в 6 клиниках зарегистрировано по 1 случаю, в 2 клиниках – 2 случая, в 1-й клинике – 3 и в 1-й клинике – 4 случая болезни. 5 случаев заболевания не было обнаружено ни в одной клинике. Для того чтобы определить среднюю вероятность заболевания, необходимо общее число случаев (6·1 + 2·2 + 1·3 + 1·4 = 17) разделить на общее число новорожденных (21000):
Число новорожденных, на которое приходится одно заболевание, является величиной обратной средней вероятности, т. е. равно общему числу новорожденных, отнесенному к числу зарегистрированных случаев:
Подставляем значения p = 0,00081, n = 100 и i = 2 в формулу Пуассона:
Ответ
Вероятность того, что среди 100 случайно выбранных новорожденных обнаружится 2 младенца с болезнью Дауна, составляет 0,003 (0,3%).
Задачи по теме Задача 6. 1
Задание
Пользуясь данными задачи 5.1 по времени сенсомоторной реакции, вычислить асимметрию и эксцесс распределения ВР.
Задача 6. 2
200 учащихся выпускных классов были протестированы на уровень интеллектуальности (IQ). После нормирования полученного распределения IQ по стандартному отклонению были получены следующие результаты:
|
Классовый интервал |
Частоты IQ |
Классовый интервал |
Частоты IQ |
|
– 4,0 ¸ – 3,5 s |
0 |
0 ¸ 0,5 s |
31 |
|
– 3,5 ¸ – 3,0 s |
2 |
0,5 ¸ 1,0 s |
14 |
|
– 3,0 ¸ – 2,5 s |
6 |
1,0 ¸ 1,5 s |
4 |
|
– 2,5 ¸ – 2,0 s |
12 |
1,5 ¸ 2,0 s |
2 |
|
– 2,0 ¸ – 1,5 s |
18 |
2,0 ¸ 2,5 s |
1 |
|
– 1,5 ¸ – 1,0 s |
28 |
2,5 ¸ 3,0 s |
1 |
|
– 1,0 ¸ – 0,5 s |
39 |
3,0 ¸ 3,5 s |
0 |
|
– 0,5 s ¸ 0 |
42 |
3,5 ¸ 4,0 s |
0 |
Задание
Пользуясь критериями Колмогорова и хи-квадрат, определить, соответствует ли полученное распределение показателей IQ нормальному.