8. 5. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
Коэффициент корреляции Спирмена (rs) используется в тех случаях, когда оба ряда переменных представлены ранговыми (порядковыми) шкалами. Для вычисления коэффициента Спирмена можно пользоваться двумя разными формулами, которые дают, в принципе, один и тот же результат:
1)
;
(8.7)
2)
.
(8.8)
Коэффициент корреляции Спирмена, так же как и rxy, может варьировать от –1 до +1. rs = 1 только в том случае, когда ранги обоих признаков в точности совпадают по х и у.
При расчете коэффициента Спирмена вручную (на микрокалькуляторе) рекомендуется использовать рабочую таблицу для промежуточных вычислений, которая имеет следующий вид:
|
xi |
yi |
xi – yi |
(xi – yi)2 |
xiyi |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x1 x2 . . . xn |
y1 y2 . . . yn |
x1 – y1 x2 – y2 . . . xn – yn |
(x1 – y1)2 (x2 – y2)2 . . . (xn – yn)2 |
x1y1 x2y2 . . . xnyn |
|
Σxi |
Σyi |
Σ(xi – yi) |
Σ(xi – yi)2 |
Σxiyi |
В зависимости от выбора формулы можно использовать столбцы 1 ¸ 4 либо 1, 2, 5.
Если в рядах переменных (или хотя бы в одном из них) имеются связанные (повторяющиеся) ранги, то следует пользоваться формулой (8.7) с соответствующей поправкой на связанные ранги:
(8.9)
где Tx = (Nx3 – Nx):12 и Ty = (Ny3 – Ny):12 (Nx и Ny, соответственно, число связанных рангов в ряду x и в ряду y).
Статистическая значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена определяется аналогично значимости коэффициента корреляции Пирсона (табл. XIII, XV и X Приложений).
Рассмотрим порядок расчета коэффициента Спирмена на примере следующей задачи.
Условие задачи
12 учащихся были проранжированы психологом по их открытой неприязни к преподавателю (xi) и к другим учащимся (yi). Результаты экспертной оценки приведены ниже (табл. 8.4):
Таблица 8.4
|
№№ Исп. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
xi |
2 |
8 |
12 |
3 |
1 |
6 |
7 |
10 |
4 |
9 |
11 |
5 |
|
yi |
6 |
5 |
10 |
7 |
3 |
4 |
9 |
8 |
1 |
11 |
12 |
2 |
Задание
Определить, существует ли связь между открытой неприязнью учащихся к преподавателю и к другим учащимся.
Решение
Составляем рабочую таблицу для вычисления коэффициента корреляции Спирмена (табл. 8.5) и вносим полученные результаты в соответствующие формулы:
Таблица 8.5
|
xi |
yi |
(xi – yi)2 |
xiyi |
|
2 8 12 3 1 6 7 10 4 9 11 5 |
6 5 10 7 3 4 9 8 1 11 12 2 |
16 9 4 16 4 4 4 4 9 4 1 9 |
12 40 120 21 3 24 63 80 4 99
10 |
|
|
Σ |
84 |
608 |
132
В таблице критических значений коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена находим: rкр = 0,58 (β1 = 0,95); 0,71 (β2 = 0,71).
Вывод
Корреляция является статистически значимой для 1-го уровня.