11.3.2. Основные методы, используемые в факторном анализе

Метод главных компонент (компонентный анализ)

Каждый из N объектов представляется в виде точки в n-мерном пространстве, каждая ось которого соответствует одному из параметров. Облако точек имеет форму, близкую к m-мерному эллипсоиду, и становится идеальным эллипсоидом в случае нормального распределения. Оси эллипсоида соответствуют главным компонентам. Следовательно, в компонентном анализе производится вращение исходной системы координат к новой системе в полном пространстве параметров – ортогональное преобразование, при котором каждый из n параметров выражается через n главных компонент. Целью вращения является нахождение в пространстве общих факторов одной из возможных осей координат, которая должна быть наложена на конфигурацию векторов для получения факторной структуры. Важным свойством компонент является то, что каждая из них по порядку учитывает максимум суммарной дисперсии параметров. Другими словами, первая главная компонента есть линейная комбинация исходных параметров, учитывающая максимум их суммарной дисперсии; вторая главная компонента не коррелирует с первой и учитывает максимум оставшейся дисперсии и т.д. до тех пор, пока вся дисперсия не будет учтена. Сумма дисперсий всех главных компонент равна сумме дисперсий всех исходных параметров. При этом принято выражать параметры в стандартной форме, при которой дисперсия параметра равна единице (следовательно, суммарная дисперсия равна n).

Метод главных факторов

Представляет собой приложение метода главных компонент к редуцированной корреляционной матрице, у которой на главной диагонали стоят значения общностей. Выражение для определения коэффициентов при общих факторах записывается уравнением z_j = a_j1F₁ + ... + a_jpF_p + ... + a_jmF_m (j = 1, 2, ..., n), в котором не учитывается специфический фактор.

Сумма квадратов факторных коэффициентов дает значение общности данного параметра, а член указывает на вклад фактораF_p в общность параметра z_j.

На первой стадии анализа ищут коэффициенты при первом факторе так, чтобы сумма вкладов фактора в суммарную общность была максимальной. Эта сумма равна V₁ = ++ ... +.

Для определения коэффициентов при втором факторе F₂ необходимо максимизировать функцию V₂ = ++ ... +, которая представляет собой сумму вкладовF₂ в остаточную общность и т.д.

В отличие от метода главных компонент, на главной диагонали стоят числа, меньшие единицы (оценки общностей), поэтому m < n. Процедура факторизации в данном случае несколько проще, нежели при использовании метода главных компонент, и процесс прекращается, когда сумма собственных значений становится равной суммарной общности n параметров.

Центроидный метод

Название метода происходит от понятия центроида, или центра тяжести. Поскольку параметры можно рассматривать как набор n векторов в m-мерном пространстве, где m число общих факторов, то скалярное произведение любой пары векторов соответствует коэффициенту корреляции между соответствующими векторами (напомним, что величина коэффициента корреляции равна косинусу угла между двумя векторами).

Процедура анализа состоит в повороте системы координат таким образом, чтобы первая ось проходила через начало координат и «центр тяжести» n точек концов векторов. После этого можно вычислить проекции векторов (координаты параметров) на первую ось новой системы. С помощью специальных алгоритмов определяются коэффициенты при первом центроидном факторе.

Для нахождения второго фактора вычисляют матрицу первых остатков. Остаточные корреляции вычисляются как скалярные произведения пар остаточных векторов в пространстве m - 1 измерений. Процедура последовательно повторяется до тех пор, пока не будут вычислены факторные веса и нагрузки всех остальных факторов.

В отличие от предыдущих методов, в центроидном методе используется процедура «отражения», когда после вычисления нагрузки каждого фактора все оставшиеся отрицательные векторы поворачивают на 180° (напомним, что уровень связи не зависит от знака корреляции).