7.7. Использование критерия χ2 Пирсона и критерия λ Колмогорова для оценки различий между двумя выборками

Использование критерия χ² для оценки соответствия экспериментальных распределений теоретическим (нормальному или равномерному) подробно обсуждалось в разделе 6. Тот же критерий может использоваться и для сравнения двух эмпирических распределений на предмет достоверности различий между ними.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу:

Условие задачи

В опытах с участием 100 испытуемых (50 мужчин и 50 женщин) регистрировалось время простой сенсомоторной реакции (ВСМР) в ответ на звуковой стимул. Получены следующие результаты (табл. 7.3):

Таблица 7.3

ВСМР в секундах
Классовый Интервал	0,10 ¸ 0,12	0,12 ¸ 0,14	0,14 ¸ 0,16	0,16 ¸ 0,18	0,18 ¸0,20	0,20 ¸0,22	0,22 ¸0,24
Частоты встречаемости ВСМР
Мужчины	2	15	26	5	2	0	0
Женщины	0	12	20	8	7	2	1

Задание

Пользуясь критерием χ² Пирсона, определить, достоверны ли различия распределений ВСМР у мужчин и женщин.

Решение

1. Строим рабочую таблицу для предварительных расчетов (табл. 7.4):

Таблица 7.4

Обозна-чение интер-вала	Классовый интервал в секундах	Эмпирические частоты (мужчины)	Эмпирические частоты (женщины)	Сумма эмпирических частот	Теоретиче-ские частоты
1	2	3	4	5	6
A В C D E F G	0,10 ÷ 0,12 0,12 ÷ 0,14 0,14 ÷ 0,16 0,16 ÷ 0,18 0,18 ÷ 0,20 0,20 ÷ 0,22 0,22 ÷ 0,24	2 15 26 5 2 0 0	0 12 20 8 7 2 1	2 27 46 13 9 2 1	1 13,5 23 6,5 4,5 1 0,5
Сумма		50	50	100

Столбец 1 служит исключительно для экономии: в дальнейшем мы не будем указывать границы классовых интервалов – нам будет достаточно того, что распределение включает в себя 7 количественных градаций (классов). В столбцах 2, 3 и 4 отражены данные из условия задачи. Столбец 5 служит для дальнейших вычислений.

Теоретические частоты (столбец 6) в данном случае вычисляются следующим образом:

1) в случае равноценных выборок теоретическая частота в каждом классе вычисляется как среднее арифметическое двух эмпирических частот;

2) если объемы выборок различны, то теоретическая частота вычисляется как сумма эмпирических частот в данной строке, умноженная на сумму в каждом столбце (по вертикали) и отнесенная к общей сумме частот.

Для дальнейших вычислений вносим данные в табл. 7.5:

Таблица 7.5

	Мужчины			Женщины
Интервал	fэксп	.fтеор.		fэксп	.fтеор.
1	2	3	4	5	6	7
A В C D E F G	2 15 26 5 2 0 0	1 13,5 23 6,5 4,5 1 0,5	1,00 0,17 0,39 0,35 1,39 1,00 0,50	0 12 20 8 7 2 1	1 13,5 23 6,5 4,5 1 0,5	1,00 0,17 0,39 0,35 1,39 1,00 0,50

Можно видеть, что это – типичная таблица для вычисления критерия χ² (см. раздел 6). Значения в столбцах 3 и 6 для мужчин и женщин одинаковы; это естественно, так как теоретические частоты соответствуют средним значениям экспериментальных частот в каждой выборке. Тем не менее χ² следует рассчитывать, суммируя все значения в столбцах 4 и 6 (т. е. по обеим выборкам).

В итоге получаем χ² = 9,6. В табл. VI Приложений для уровня значимости 0,95 и ν = N – 1 = 6 находим значение χ²_кр., равное12,6.

Вывод

Различия между распределениями не являются статистически достоверными.

Для решения задачи можно использовать критерий Колмогорова в несколько иной модификации, нежели при сравнении экспериментального распределения с теоретическим. Для этого оформляем рабочую таблицу следующего вида (табл. 7.6):

Таблица 7.6

	Экспериментальные частоты		Накопленные экспериментальные частоты		Относительные накопленные частоты		d
Интервал	fм	fж	Fм	Fж	F*м	F*ж
1	2	3	4	5	6	7	8
A В C D E F G	2 15 26 5 2 0 0	0 12 20 8 7 2 1	2 17 43 48 50 50 50	0 12 32 40 47 49 50	0,04 0,34 0,86 0,96 1,00 1,00 1,00	0 0,24 0,64 0,80 0,94 0,98 1,00	0,04 0,10 0,22 0,16 0,06 0,02 0

Рекомендуется следующий порядок вычислений:

1. В столбце 1 – условные обозначения временных интервалов; в столбцах 2 и 3 – экспериментальные частоты мужчин (2) и женщин (3).

2. В столбцах 4 и 5 – накопленные частоты для мужчин (4) и женщин (5). Напомним, что накопленные частоты вычисляются путем простого суммирования частот от первого до последнего класса.

3. В столбцах 6 и 7 – относительные накопленные частоты (F* = F/n). Другими словами, каждая накопленная частота в столбцах 4 и 5 делится на 50.

4. Вычисляем критерий λ по формуле Колмогорова в следующей модификации:

(7.9)

В нашем случае:

Вывод

Распределения отличаются друг от друга с вероятностью 0,822 (см. Приложения, табл. VII). Другими словами, соответствие между распределениями можно констатировать лишь с вероятностью 0,178.

Чем можно объяснить причины несоответствия результатов, полученных с помощью критериев χ² и λ? По-видимому, критерий Колмогорова, основанный на накоплении эмпирических частот, является более чувствительным к различиям и позволяет зафиксировать те тонкие нюансы, которые недоступны критерию Пирсона. Таким образом, в целом, можно усомниться в том, что различий вообще не существует. Кстати говоря, более мощные критерии (Стьюдента и Фишера), которые также можно применить к решению данной задачи, дают достоверные различия между двумя выборками на уровне значимости 0,95.

В заключение следует констатировать, что оценка различий между двумя распределениями по вышеупомянутым критериям может быть использована лишь в случае отсутствия достаточной информации о каждом конкретном значении переменной в выборках.