10.3. Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ (ОДА) является достаточно информативным метрическим методом оценки влияния. Используется в тех случаях, когда требуется изучить однократное или повторное действие одного фактора. Говоря о повторном действии фактора, имеется в виду, что фактор представлен несколькими градациями, т. е. имеет 1, 2, 3, ..., J уровней (например, повторный курс лечения психотропным препаратом, повторные сеансы психокоррекции и т. д.).

Для проведения дисперсионного анализа не обязательно проводить измерения на одной и той же выборке, т. е. нет необходимости подвергать одних и тех же субъектов влиянию всех исследуемых градаций фактора. Напротив, для каждого из J уровней (градаций фактора) берется n независимых наблюдений. Естественно, что при таком подходе принимается целый ряд допущений, иногда достаточно произвольных. Предполагается, в частности, что n наблюдений на каждом уровне независимы друг от друга и взяты из нормальной совокупности с дисперсией s². Предполагается также, что дисперсия s² одинакова на всех J уровнях (гипотеза однородности, или гомоскедактичности).

Однофакторный дисперсионный анализ включает в себя ряд этапов.

1. Результаты эксперимента представляются в виде следующей таблицы (двумерного массива) (табл. 10.3):

Таблица 10.3

	Условия опыта (градации фактора)
	1	2	3	...	J
	X11	x12	x13	...	x1J
Повторные	X21	x22	x23	...	x2J
наблюдения	.	.	.	...	.
	.	.	.	...	.
	.	.	.	...	.
	xn1	xn2	xn3	...	xnJ

2. Для каждой выборки испытуемых определяется случайная (внутригрупповая) дисперсия SS_W, связанная с вариабельностью переменной внутри каждой градации фактора:

. (10.2)

3. Вычисляется факториальная (межгрупповая) дисперсия SS_b, связанная с влиянием градаций фактора:

. (10.3)

4. Вычисляется общая дисперсия SS_c, которая соответствует сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий: SS_c = SS_b + SS_W. Общую дисперсию можно также вычислить по следующей формуле:

. (10.4)

5. Вычисляется показатель силы влияния как отношение межгрупповой дисперсии к общей:

(10.5)

6. Определяется число степеней свободы:

а) число степеней свободы, связанное с межгрупповой дисперсией: n₁ = J - 1;

б) число степеней свободы, связанное с внутригрупповой дисперсией: n₂ = J (n - 1).

7. Вычисляется показатель достоверности влияния:

(10.6)

Достоверность определяется по критерию Фишера для определенного уровня значимости по соответствующей таблице. Стандартное значение F_ст. определяется на перекресте столбца, соответствующего значению n₁ и строки, соответствующей значению n₂. Вывод о том, что влияние фактора статистически значимо, принимается, если F ³ F_ст.

Для удобства работы с переменными рекомендуется пользоваться рабочей таблицей представления данных (табл. 10.4):

Таблица 10.4

1	2	...	J	1	2	...	J
x11 x21 . . . xn1	x12 x22 . . . xn2	... ... ... ... ... ...	x1J x2J . . . xnJ	x11^2 x21^2 . . . xn1^2	x12^2 x22^2 . . . xn2^2	... ... ... ... ... ...	x1J^2 x2J^2 . . . xnJ^2

Для вычисления промежуточных значений удобно пользоваться таблицей следующего вида (табл. 10.5):

Таблица 10.5

№№	Вычисляемый параметр	Последовательность вычислений
1		xi (левая часть рабочей таблицы) суммируются по каждому столбцу и возводятся в квадрат: (x11 + x21 + ... + xn1)^2 (x12 + x22 + ... + xn2)^2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x1J + x2J + ... + xnJ)^2 Полученные квадраты суммируются и делятся на n.
2		Суммируются по столбцам квадраты чисел в правой части таблицы; полученные суммы квадратов суммируются построчно: ^+ + . . . . . . . . . . . . . ^+
3	SSW = (2) – (1)	Из результата (2) вычитается результат (1), получается внутригрупповая дисперсия SSW.
4		Суммируются все варианты по столбцам и по строкам, возводятся в квадрат и делятся на общее число значений Jn.
5	SSb = (1) – (4)	Из результата (1) вычитается результат (4), получается межгрупповая дисперсия SSb
6	SSC = (2) – (4) = (3) + (5)	Общую дисперсию SSC можно получить двумя путями - либо вычитанием результата (4) из результата (2), либо суммированием результатов (3) и (5), т. е. межгрупповой и внутригрупповой дисперсией.
7	= (5)/(6)	Показатель силы влияния вычисляется как отношение результатов (5) и (6), т.е. как отношение межгрупповой дисперсии к общей.
8		Вычисляется отношение (5)/(3) и умножается на J(n-1)/(J-1), получается показатель достоверности влияния.

Рассмотрим алгоритм вычислений на примере конкретной задачи.

Условие задачи

Исследовалось влияние возраста как фактора на уровень нейротизма, определяемого по тесту Айзенка. Тестирование проводилось в 4-х группах испытуемых разного возраста (соответственно, 7-й, 8-й, 9-й и 10-й классы) по 10 человек в каждой группе.

Получены следующие результаты (табл. 10.6):

Таблица 10.6

	Градации фактора
	Значения переменных				Квадраты значений переменных
Классы	7-й	8-й	9-й	10-й	7-й	8-й	9-й	10-й
Индивидуальные значения	16 6 19 10 11 13 21 14 13 11	9 14 19 16 20 18 14 22 12 17	21 17 23 12 12 17 15 21 9 9	9 13 19 14 13 12 15 23 14 17	256 36 361 100 121 169 441 196 169 121	81 196 361 256 400 324 196 484 144 289	441 289 529 144 144 289 225 441 81 81	81 169 361 196 169 144 225 529 196 289
Σ	134	161	156	149	1970	2731	2664	2359
(Σ)^2	17956	25921	24336	22201

Задание

С помощью однофакторного дисперсионного анализа определить, является ли влияние возраста как фактора на уровень нейротизма статистически значимым.

Алгоритм решения

1.

2.

3. SS_w = (2) – (1) = 9724 – 9041 = 683;

4. 

5. SS_b = (1) – (4) = 9041 – 9000 = 41;

6. SS_c = (2) – (4) = (3) + (5) = 9724 – 9000 = 683 + 41 = 724;

7. 

8.

Ответ

F = 0,720 < F_кр. = 2,86. Влияние возраста как фактора на уровень нейротизма не является статистически значимым.