9.2. Анализ линейной зависимости методом наименьших квадратов

Зависимость типа y = a + bx называется линейной. Для математического описания этой формы зависимости достаточно определить величину коэффициента b и свободного члена a в координатах y = f (x).

Рис. 9.2. Параметры линейной зависимости (объяснение в тексте)

В данном случае b – тангенс угла наклона функции b > 0, если функция возрастает и b < 0 в случае убывающей функции. Если же функция параллельна оси абсцисс, т.е. значения y_i не зависят от аргумента, то b = 0.

a = y₀ – ордината точки при x = 0. Величина свободного члена а положительна (a > 0), если точка пересечения функции с осью ординат лежит выше нуля; a < 0, если точка пересечения лежит ниже начала координат.

Метод наименьших квадратов основан на одном из свойств среднего арифметического значения: сумма квадратов отклонений от среднего меньше суммы квадратов отклонений от любой другой точки (см. 4. 3). Таким образом, вычисляя параметры a и b линейной функции, мы задаем такое положение линии, при котором сумма квадратов отклонений (расстояний) эмпирических (экспериментальных) точек от теоретически рассчитанной прямой минимальна.

Вычисление тангенса угла наклона функции (b)

где и. (9.1)

Таким образом, (9.2)

Другими словами, для вычисления тангенса угла наклона достаточно рассчитать две уже знакомые нам величины – дисперсию значений аргумента (S_xx) и ковариацию (S_xy).

Вычисление свободного члена (а) в уравнении линейной регрессии:

(9.3)

Кроме двух вышеуказанных показателей, при использовании метода наименьших квадратов часто вычисляют величину ошибки регрессии (s ). Ошибка регрессии по сути является аналогом стандартного отклонения. Она отражает степень точности определения положения линейной функции в данной системе координат.

Вычисление ошибки регрессии:

где . (9.4)

Величина ошибки регрессии может отражать:

а) величину разброса экспериментальных точек относительно теоретических значений функции, т.е. она тем больше, чем больше сумма квадратов отклонений от теоретической функции (при полном совпадении экспериментальных и теоретических значений s = 0);

б) нелинейность функции в данной системе координат (для определения нелинейности функции не следует пренебрегать ее графическим изображением и не следует пытаться описать уравнением линейной регрессии функцию, которая явно не является линейной).

Ошибка коэффициента уравнения линейной регрессии (тангенса угла наклона) определяется по формуле:

(9.5)

где σ – величина ошибки регрессии, m - число измерений для каждого y (при условии повторения эксперимента).

В тех случаях, когда возникает необходимость сравнить между собой две индивидуальные или усредненные функции на предмет достоверности их различий, можно использовать величины тангенса угла наклона с соответствующим доверительным интервалом: b₁ ± t×s_b и b₂ ± t×s_b. Вывод о достоверности различий делается в том случае, когда доверительные интервалы для двух испытуемых (или двух выборок) не перекрываются между собой (так же как и в случае определения достоверности различий между выборками по критерию Стьюдента (см. подраздел 7.4.)).

Для того чтобы приобрести определенный навык в расчетах подобного рода, рассмотрим задачу из области психофизики.

Условие задачи

В психофизических исследованиях субъективной оценки громкости (R) тонального звука, проведенных на 50 испытуемых, были получены следующие данные (табл. 9.1):

Таблица 9.1

I, дБ	10	20	30	40	50	60	70	80	90
R	1,4	2,9	6,8	10,5	17,4	27,5	66,1	107,2	158,5

Задание

Принимая, что усредненные оценки громкости описываются степенной функцией Стивенса, с помощью метода наименьших квадратов рассчитать основные параметры психофизической функции субъективной оценки громкости.

Решение

1. Учитывая тот факт, что степенная функция Стивенса y = k·S ⁿ есть в то же время двойная логарифмическая функция типа log y = n·log S + C, и то, что шкала децибелов представляет собой логарифмическую шкалу (20 дБ = 1 лог. ед.), проводим следующие преобразования:

а) преобразуем физическую шкалу сенсорного стимула в логарифмические единицы по десятичному основанию по принципу х = I / 20.

б) логарифмируем значения субъективной шкалы по принципу y = lg R (табл. 9.2).

Таблица 9.2

x	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5
y	0,15	0,46	0,83	1,02	1,24	1,44	1,82	2,03	2,20

2. Вычисляем предварительные (рабочие) параметры:

3. Вычисляем основные параметры психофизической функции:

Вывод

Субъективная оценка громкости тонального звука для данной группы испытуемых описывается степенной функцией Стивенса следующего типа:

у = 0,51х – 0,032, или R = 1,076 I^0,51 + C (антилогарифм 0,032 равен –1,076).

В некоторых случаях возникает задача сравнения между собой психофизических функций у двух или более испытуемых на предмет достоверности их различий. Попарное сравнение можно сделать, определяя тангенс угла наклона функции с доверительным интервалом. Так, различия можно считать статистически достоверными, если интервалы b₁ ± t_n-1·σ_b1 и b₂ ± t_n-1·σ_b2 не имеют области перекрытия.