Вопрос№13 Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.

Bbbb

Вопрос№14

Схема исследования функции и построения ее графика.

Схема исследования функции и построения ее графика.

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность – нечетность.

3.Найти точки пересечения графика функции с осями координат , т.е. решить соответственно уравнения и .

4.Найти вертикальные асимптоты.

5.Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

6.Найти критические точки.

7.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

8.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

9.Построить график функции.

Заметим, что исследование функции удобно проводить одновременно с заполнением таблицы, в которой отражены все характерные особенности.

Пример Построить график функции . 1. Областью определения функции является вся числовая прямая.

2. , т.е. функция четная.

3. Из уравнения следует, что , т.е. график функции пересекается с осями координат в точке .

4.Вертикальных асимптот нет, поскольку нет точек разрыва функции.

5 .Наклонные и горизонтальные асимптоты находим с помощью известных формул и применением правила Лопиталя:

. Значит - горизонтальная асимптота. Других асимптот нет.

6.Найдем критические точки (точки возможного экстремума и точки возможного перегиба). Для этого приравняем к нулю первую и вторую производные: или , откуда получаем и - точки возможного экстремума. Далее , откуда . Следовательно, критические точки даются решениями биквадратного уравнения : . – точки возможного перегиба.

Поскольку рассматриваемая функция четна, рассмотрим ее график на положительной полуплоскости, а потом отразим его симметрично на отрицательную. Для облегчения построения графика, поместим результаты исследования вопросов монотонности, экстремума, выпуклости, точек перегиба в следующую таблицу:  

	«-»	0	«+»		“+”	0	“-”
			“+” È	0			“+” Ç	0	“-” È
	Убыв.		Возр.	Перегиб	Возр.		Убыв.	Перегиб	Убыв.

Поскольку область определения функции – вся числовая прямая, то минимум и максимум этой функции совпадают с ее локальными экстремумами.Учитывая проведенное исследование функции, ее неотрицательность, а также ее четность, построим график (Рис.).

Вопрос№15 Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…

Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда. Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un.Если сущ. конечный предел: , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.